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浙江省绍兴县杨汛桥镇中学2013届九年级数学竞赛模拟试题9

发布时间:2013-09-25 18:10:34  

1.已知二次函数y?mx?(m?3)x?3(m?0)的图象如图所示。

(1)这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)(x1?x2),与y轴交于点C,且AB=4,⊙M过A、B、C三点,求扇形MAC的面积;

(2)在(1)的条件下,抛物线上是否存在点P,使△PBD(PD垂直于x轴,垂足为D)被直线BC分成面积比为1:2的两部分?若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由。 2

15、解(1)?y?(mx?3)(x?1)?x2?33,x1??1?AB??(?1)?4?m?1mm

?y?x2?2x?3,解得A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3),5?OBC=45,?AMC?90,R?S??;4??

-

(2)设PD与BC交点为E,P(x,y),

?yy??x?3当S?PBE:S?BED?2:1时,可设),得?33?y?x2?2x?3?

?x?2?x?3??或?(舍去)?P(2,

??y??3?y?0115当S?PBE:S?BED?1:2时,同理可得P(,?24

115故存在P(2,?3)或P(,?24

21、有如图所示的五种塑料薄板(厚度不计):①两直角

边分别为3、4的直角三角形ABC;

②腰长为4、顶角为36?的等腰三角形JKL;

③腰长为5、顶角为120?的等腰三角形OMN;

④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS;

⑤长为4且宽(小于长)与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ。

它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内、外直径分别为2.4、2.7的铁圆环。

我们规定:如果塑料板能穿过铁环内圈,则称为此板“可操作”;否则,便称为“不可操作”。

⑴证明:第④种塑料板“可操作”;

⑵求:从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。

略解:⑴由题意可知四边形PQRS必然是等腰梯形,(2分)不妨设

QS?PR?QR?4,PQ?PS?RS=x,分别过点S、Q作QR、RS的垂线,垂足为

4?x

RIRSx,即?,解得x?2?2。 ?I、F,则由△QRF∽△RSI得到xRFQR4

2

∴SI?RS2?IR2?x2?(4?x2)??2<2.4,2

∴第④种塑料板“可操作”。 (5分)

⑵如上图所示,分别作直角三角形ABC斜边BC上的高AH、等腰三角形JKL的腰JL上的高KE、等腰三角形OMN底边上的高MG,易求得:AH=2.4, MG=2.5. (2分) 又由⑴可得等腰梯形PQRS的锐角底角是72?,△JKL≌△PQR,∴KE=SI. 而黄金矩形WXYZ的宽等于4??1?2?2>2.4, (4分)2

∴第①②④三种塑料板“可操作”;而第③⑤两种塑料板“不可操作”。

∴从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率P?

7。(3分) 10

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