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浙江省绍兴县杨汛桥镇中学2013届九年级数学竞赛模拟试题14

发布时间:2013-09-25 18:10:35  

1、已知PA是圆O的切线,切点为A,PA=2.AC是圆O的直径,

PC与圆O交于点B,PB=1,则圆O的半径

2、如图,△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.求证:ED2=EB?EC.

证明:因为EA是圆的切线,AC为过切点A的弦,

所以∠CAE=∠CBA.

又因为AD是DBAC的平分线,所以∠BAD=∠CAD

所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE

所以,△EAD是等腰三角形,所以EA=ED.

又EA2=EC?EB,

所以ED2=EB?EC.

AC上的点(不与点A,C重合)3、已知?ABC中,AB=AC, D是 ?ABC外接圆劣弧?,延

长BD至E。

(1) 求证:AD的延长线平分?CDE;

(2) 若?BAC=30,?ABC中BC边上的高为

求?ABC外接圆的面积。

(Ⅰ)如图,设F为AD延长线上一点

∵A,B,C,D四点共圆,

∴∠CDF=∠ABC

又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,

且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,

对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,

即AD的延长线平分∠CDE.

(Ⅱ)设O为外接圆圆心,连接AO交BC于H,则AH⊥BC.

连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=15, ∠ACB=75,

000 ∴∠OCH=60.

设圆半径为r,则r+

r=2+,a得r=2,外接圆的面积为4?。 2

22、如图,过圆O外一点M作它的一条切线,切点为A,过A作直线AP垂直直线OM,垂足为P.

(1)证明:OM?OP=OA2;

(2)N为线段AP上一点,直线NB垂直直线ON,且交圆O于B点.过B点的切线交直线ON于K.证明:∠OKM=90°

证明:(1)因为MA是圆O的切线,

所以OA⊥AM,又因为AP⊥OM,

在Rt△OAM中,由射影定理知OA2=OM?OP,

故OM?OP=OA2得证.

(2)因为BK是圆O的切线,BN⊥OK,同(1)有:

OB2=ON?OK,又OB=OA,

所以OM?OP=ON?OK,即 ONOP=OMOK,又∠NOP=

∠MOK,

所以△ONP~△OMK,

故∠OKM=∠OPN=90°.

即有:∠OKM=90°.

如图,已知?ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,?B?60,F在AC上,且

(1)证明:B,D,H,E四点共圆:(2)证明:CE平分?DEF。 AE?AF。0

解:

(Ⅰ)在△ABC中,因为∠B=60°,

所以∠BAC+∠BCA=120°.

因为AD,CE是角平分线,

所以∠HAC+∠HCA=60°,

故∠AHC=120°.

于是∠EHD=∠AHC=120°.

因为∠EBD+∠EHD=180°,

所以B,D,H,E四点共圆.

(Ⅱ)连结BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD=30°

由(Ⅰ)知B,D,H,E四点共圆,

所以∠CED=∠HBD=30°.

又∠AHE=∠EBD=60°,由已知可得EF⊥AD,

可得∠CEF=30°.

所以CE平分∠DEF.

22、如图,已知AP是⊙O的切线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交于B,C两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点.

(Ⅰ)证明A,P,O,M四点共圆;

(Ⅱ)求∠OAM+∠APM的大小.

解:(Ⅰ)证明:连接OP,OM.

因为AP与⊙O相切于点P,所以OP⊥AP.

因为M是⊙O的弦BC的中点,所以OM⊥BC.

于是∠OPA+∠OMA=180°.

由圆心O在∠PAC的内部,可知四边形的对角互补,

所以A,P,O,M四点共圆.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得A,P,O,M四点共圆,所以∠OAM=∠OPM.

由(Ⅰ)得OP⊥AP.

由圆心O在∠PAC的内部,可知∠OPM+∠APM=90°.

所以∠OAM+∠APM=90°.

1、过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A、B,所作割线交圆于C、D两点,C在P、D之间,在弦CD上取一点Q,使?DAQ??PBC。

求证:?DBQ??PAC

1、证明 ∵A、B、C、D四点共圆,∴?ADC??ABC,

由已知?DAQ??PBC,

∴?ADC??DAQ??ABC??PBC??PBA,而?PQA是△ADQ的一个外角, ?PQA??ADC??DAQ,∴?PQA??PBA.

故P、A、Q、B四点共圆,从而?ABQ??APQ.

所以?QBD??CBD??ABQ??ABC

?(180???CAD)??APQ??ADC?(180???APQ??ADC)??CAD ??PAD??CAD??PAC.命题得证.

1、在锐角三角形ABC中,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长.

C

(本题满分50分)在锐角三角形ABC中,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,DBE=7,求AK的长. G

H

解:∵ BC=25,BD=20,BE=7, K∴ CE=24,CD=15.

6

∵ AC·BD=CE·AB,? AC=AB, ①

5∵ BD⊥AC,CE⊥AB,?B、E、D、C共圆,

66

?AC(AC-15)=AB(AB-7),?(AB-15)=AB(AB-18),

55∴ AB=25,AC=30.?AE=18,AD=15. 1

∴ DE=15.

2

延长AH交BC于P, 则AP⊥BC. ∴ AP·BC=AC·BD,?AP=24. 连DF,则DF⊥AB,

1

∵ AE=DE,DF⊥AB.?AF=9.

2

∵ D、E、F、G共圆,?∠AFG=∠ADE=∠ABC,??AFG∽?ABC, ∴

AKAF9?24216,?AK= APAB2525

A

F

1815

A

FB

24

25

P

7

B

1. 已知⊙O与?ABC的边AB、AC分别相切于P和Q,与?ABC外接圆相切于D,

.求证:?POQ?2?MDC. M是PQ的中点(如图)

15、已知⊙O与?ABC的边AB、AC分别相切于P和Q,与?ABC外接圆相切于D,.求证:?POQ?2?MDC. M是PQ的中点(如图)

证明:如图,连结AO、AD、DO和DQ. ∵ AP、AQ分别与⊙O相切于P、Q

∴ AP?AQ

∵OP和OQ都是⊙O的半径,

?APO??AQO?90? ……5分 ∴ 由对称性知?POQ?2?AOQ,且OA?PQ于M. ∴ OD?OQ?OM?OA,即22ODOA ……10分 ?OMOD

又∵?DOM??AOD,∴?DOM∽?AOD

∴ ?ODM??OAD ……15分

过D作两圆的公切线DE,则?CDE??CAD

又∵OD?DE,即?ODE?90

∴ ?

?MDC?90???ODM??COE?90???OAD??DAC?90???OAQ??AOQ

故?POQ?2?MDC. ……20分

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