haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题

发布时间:2014-03-14 11:41:18  

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题

答题时注意:

1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交.

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1

.设a1,则代数式3a3?12a2?6a?12的值为( ).

(A)24 (B)25 (C

)10 (D

)12 2.对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对与之间的运算(a,b)(c,d)“△”为:(a,b)△(c,d)=(ac?bd,ad?bc).如果对于任意实数u,v, 都有(u,v)△(x,y)=(u,v),那么(x,y)为( ).

(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(﹣1,0) (D)(0,-1)

x

3.若x?1,y?0,且满足xy?xy?x3y,则x?y的值为( ).

y

911 (D) 22

4.点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点F,设

(A)1 (B)2 (C)

S四边形EADF?S1,S?BDF?S2,S?BCF?S3,S?CEF?S4,则S1S3与S2S4的大小关系为

( ).

(A)S1S3?S2S4 (B)S1S3?S2S4 (C)S1S3?S2S4 (D)不能确定 5.设S?

1111

,则4S的整数部分等于( ). ?????3333

12399

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.若关于x的方程(x?2)(x2?4x?m)?0有三个根,且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长,则m的取值范围是 .

7.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8. 同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .

8.如图,点A,B为直线y?x上的两点,过A,B两点分别作y轴的平行线交双曲线y?(x>0)于C,D两点. 若BD?2AC,则4OC2?OD2 的值为 .

1x

9

.若y?为 . 的最大值为a,最小值为b,则a2?b2的值 10.如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为35,正方形CDEF内接于△ABC,且其边长为12,则△ABC的周长为 .

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?0的两个整数根恰好比方程x2?ax?b?0的两个根都大1,求a?b?c的值.

12.如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH于点P,求证:点P为

CH的中点

.

13.如图,点A为y轴正半轴上一点,A,B两点关于x轴对称,过点A任作直线交抛物线y?22x于P,Q两点. 3

(1)求证:∠ABP=∠ABQ;

(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60o,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.

14.如图,△ABC中,?BAC?60?,AB?2AC.点P在△ABC

内,且PA?PB?5,PC?2,求△ABC的面积.

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1.A

解:

因为a??1,

a?1?, a2?6?2a, 所以

3a3?12a2?6a?12?3(a6?2a)?12(6?2a)?6a?12

??6a2?12a?60

??(66?2a)?12a?60?24.

2.B

?ux?vy?u,?u(x?1)?vy?0,

解:依定义的运算法则,有?即?对任何实数vx?uy?v,v(x?1)?uy?0??

u,v都成立. 由于实数u,v的任意性,得

(x,y)=(1,0).

3.C

y?1解:由题设可知y?x,于是

x?yx3y?x4y?1,

所以 4y?1?1, 故y?91,从而x?4.于是x?y?. 22

S1?EFS4??,S2BFS34.C 解:如图,连接DE,设S?DEF?S1?,则

从而有S1?S3?S2S4.因为S1?S1?,所以S1S3?S2S4.

5.A

解:当k?2,, 3 ? , 99时,因为

111?11??????, k3kk2?12?k?1kkk?1?所以 1?S?1?111111?5??????1???. ??32333994?22?99?100 于是有4?4S?5,故4S的整数部分等于4.

二、填空题

6.3<m≤4

x2,解:易知x?2是方程的一个根,设方程的另外两个根为x1,则x1?x2?4,

x1x2?m.显然x1?x2?4?2,所以

x1?x2?2, ??16?4m≥0,

2,??16?4m≥

0,所以

?2, ??16?4m≥0, 解之得 3<m≤4.

7.

解: 在36对可能出现的结果中,有4对:(1,4),(2,3),(2,3),(4,1)的和为5,所以朝上的面两数字之和为5的概率是

8.6

解:如图,设点C的坐标为,点D的坐标为,(a,b)(c,d)

则点A的坐标为,点B的坐标为(a,a)(c,c). 因为点C,D在

双曲线y?1上,所以ab?1,cd?1. x

1941?. 369由于AC?a?b,BD?c?d, 又因为BD?2AC,于是

c?d?2a?b,c2?2cd?d2?(4a2?2ab?b2),

所以 ( 4a2?b2)?(c2?d2)?8ab?2cd?6,

即4OC2?OD2?6.

9.3 2

11解:由1?x≥0,且x?≥0,得≤x≤1.

22

y2?11??? 22由于313<<1,所以当x=时,y2取到最大值1,故a=1. 424

11或1时,y2取到最小值

,故b=. 222

当x=

所以,a2?b2?

10.84 3. 2

解:如图,设BC=a,AC=b,则

a2?b2?352=1225. ①

又Rt△AFE∽Rt△ACB,所以12b?12,故 ?abFEAF,即?CBAC

12(a?b)?ab. ② 由①②得

222 (a?b, )?a?b?2ab1?225(?24a)?b

解得a+b=49(另一个解-25舍去),所以

a?b?c?49?35?84.

三、解答题

11.解:设方程x2?ax?b?0的两个根为?,?,其中?,?为整数,且?≤?,则方程x2?cx?a?0的两根为??1,??1,由题意得

?????a,???1????1??a,

两式相加得 ???2??2??1?0, 即 (??2)(??2)?3,

???2?1,???2??3,所以 ? 或? ??2?3;??2??1.??

????1,????5, 解得 ? 或? ??1;???3.??

又因为a?? 所以 (???),b???,c??([??1)?(??1)],

a?0,b??1,c??2

a?8,b,?1;或者, 5c?

故a?b?c??3,或29

.

12.证明:如图,延长AP交⊙O2于点Q, 连接AH,BD,QB, QC,QH.

因为AB为⊙O1的直径,

所以∠ADB?∠BDQ?90°, 故BQ为⊙O2的直径.

于是CQ?BC,BH?HQ.

又因为点H为△ABC的垂心,所以AH?BC,BH?AC.

所以AH∥CQ,AC∥HQ,四边形ACQH为平行四边形. 所以点P为CH的中点.

13.解:(1)如图,分别过点P, Q作y轴的垂线,垂足分别为C, D. 设点A的坐标为(0,t),则点B的坐标为(0,-t). 设直线PQ的函数解析式为y?kx?t,并设P,Q的坐

(xQ,yQ)(xP,yP)标分别为 ,.由

?y?kx?t,?22 ?y?x,?3?

得 x2?kx?t?0,

23

于是 xPxQ??t,即 t??xPxQ.

222222xP?tx?xxxP(xP?xQ)PPQBCyP?tx??????P. 于是 2BDyQ?tx2?txQx?xxxQ(xQ?xP)QPQQ33333223

又因为xPCBCPC??P,所以. ?QDxQBDQD 因为∠BCP?∠BDQ?90?,所以△BCP∽△BDQ, 故∠ABP=∠ABQ

.

(2)解法一 设PC?a,DQ?b,不妨设a≥b>0,由(1)可知

∠ABP=∠ABQ?30?,BC

,BD

所以 AC

?2,AD

=2.

因为PC∥DQ,所以△ACP∽△ADQ. 于是aPCAC,即?,

?

bDQAD所以a?b.

333由(1)中xPxQ??t,即?ab??

,所以ab?,a?b?

2222

于是可求得a?2b?

将b?12代入y?x2,得到点Q

,). 232

3再将点Q的坐标代入y?kx?

1,求得k??

所以直线PQ

的函数解析式为y??1. ?

1,或y?1. 根据对称性知,所求直线PQ

的函数解析式为y?解法二 设直线PQ的函数解析式为y?kx?t,其中t?1. 由(1)可知,∠ABP=∠ABQ?30?,所以BQ?2DQ.

. 故

2xQ?将yQ?22xQ代入上式,平方并整理得 3

42224xQ?15xQ?9?0,即(4xQ?3)(xQ?3)?0.

所以

xQ?

2

3

23232又由 (1)得xPxQ??t??,xP?xQ?k.

若xQ?2代入上式得

xP? 从而

k?(xP?xQ)?.

32

2 从而

k?(xP?xQ)?. 32

?

1,或y?1. 同理,若xQ?

可得xP??所以,直线PQ

的函数解析式为y?14.解:如图,作△ABQ,使得

则△ABQ∽△ACP . ?QAB??PAC,?ABQ??ACP,

由于AB?2AC,所以相似比为2.

于是

AQ?2AP?BQ?2CP?4. ?QAP??QAB??BAP??PAC??BAP??BAC?60?.

由AQ:AP?2:1知,?APQ?90?

,于是PQ??3.

所以 BP2?25?BQ2?PQ2,从而?BQP?90?. 于是

AB2?PQ2?(AP?BQ)2?28?.

S?ABC?

126?3AB?ACsin6?0?AB?. 282

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com