haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

2012年全国初中数学竞赛试题及参考答案

发布时间:2014-03-14 11:41:22  

2012年全国初中数学竞赛试题

一、选择题(共5小题,每小题6分,共60分. 每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,

|a?b||b?c|可以化简为

( ).

(A)2c?a (B)2a?2b (C)?a (D)a

2.

如果a??21?1

2?3?a的值为( ).

(A

)(B

(C)2 (D

)b3.如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数y =(b ≠0 )的图象有x

两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).

(A)(2,3) (B)(3,-2) (C)(-2,3) (D)(3,2)

4. 在平面直角坐标系xOy中,满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x,y)的个数为( ).

(A)10 (B)9 (C)7 (D)5

5.如果a,b为给定的实数,且1?a?b,那么1,a?1, 2a?b,a?b?1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ).

(A)1 (B)112a?1 (C) (D) 244

6.如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,

△ABC是等边三角形.?ADC?30?,AD = 3,BD = 5,

则CD的长为( ).

(A)32 (B)4

(C)25 (D)4.5

7.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

8.如果关于x的方程 x2?px?q?0(p,q是正整数)的正根小于3, 那么这样的方程的个数是( ).

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

9.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为p0,p1,p2,p3,则p0,p1,p2,p3中最大的是( ).

(A)p0 (B)p1 (C)p2 (D)p3

11110.黑板上写有1 ,?共100个数字.每次操作先从黑板上的23100

数中选取2个数a,b,然后删去a,b,并在黑板上写上数a?b?ab,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是( ).

(A)2012 (B)101 (C)100 (D)99

二、填空题(共5小题,每小题6分,共30分)

11.按如图的程序进行操作,规定:程

序运行从“输入一个值x”到“结果是

否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么

x的取值范围是.

12.如图,正方形ABCD的边长为

E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB

分别交于点M,N,则△DMN的面积是 .

13.如果关于x的方程x2+kx+

那么x1

x220112012329k-3k+= 0的两个实数根分别为x1,x2,24 的值为

14.2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 .

15.如图,四边形ABCD内接于⊙O,

AB是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,

交点为E. 作BF⊥EC,并与EC的延长线

交于点F. 若AE = AO,BC = 6,则CF的

长为 .

三、解答题(共4题,每题15分,共60分)

(m?3)x?m?2,当?1?x?3时,恒有y?0;关16.已知二次函数y?x2?

于x的方程x2?(m?3)x?m?2?0的两个实数根的倒数和小于?

值范围.

9.求m的取10

17.如图,⊙O的直径为AB,⊙O ?O1过点O,且与⊙O内切于点B.C为⊙O上的点,OC与?O1交于点D,且OD?CD.点E在OD上,且DC?DE,BE的延长线与?O1交于点F,求证:△BOC∽△DO1F.

18.已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数.

当a≥2012时,求a的最小值.

?x2012,满足19.求所有正整数n,使得存在正整数x1,x2, ,

x1?x2???x2012,且122012?????n. x1x2x2012

2012年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1 。C

解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知

b?a?0?c,且b?c,

所以

|a?b||b?c|??a?(a?b)?(c?a)?(b?c)??a.

2.B

解:1?

2?11

3?

a?1?21?1?1?11? 3.D

解:由题设知,?2?a?(?3),(?3)?(?2)?b,所以a?,b?6. ?y???解方程组??y???2x,?x??3,?x?3,3得? ? y??2;?y?2.6,?

x23

所以另一个交点的坐标为(3,2).

注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).

4.B

解:由题设x2+y2≤2x+2y, 得0≤(x?1)2?(y?1)2≤2.

因为x,y均为整数,所以有

2222??(x?1)?0,??(x?1)?0,??(x?1)?1,??(x?1)?1, ? ? ? ?2222??(y?1)?0;??(y?1)?1;??(y?1)?0;??(y?1)?1.

解得

?x?1,?x?1,?x?1,?x?0,?x?0,?x?0,?x?2,?x?2,?x?2, ? ? ? ? ? ? ? ? ??y?1;?y?2;?y?0;?y?1;?y?0;?y?2;?y?1;?y?0;?y?2.

以上共计9对. (x,y)

5.D

解:由题设知,1?a?1?a?b?1?2a?b,所以这四个数据的平均数为

1?(a?1)?(a?b?1)?(2a?b)3?4a?2b, ?44

(a?1?)a(?b?1)?4a?4b2中位数为 , ?24

4?4a?2b3?a4?b21于是 ??. 444

6.B

解:如图,以CD为边作等边△CDE,连接AE.

由于AC = BC,CD = CE,

∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE,

所以△BCD≌△ACE, BD = AE.

又因为?ADC?30?,所以?ADE?90?.

在Rt△ADE中,AE?5,AD?3,

于是DE

?4,所以CD = DE = 4.

7.D

解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,x,y均为非负整数. 由题设可得

?x?2?n(y?2), ?y?n?2(x?n),?消去x得 (2y-7)n = y+4,

2n =(2y?7)?1515?1?. 2y?72y?7

因为15为正整数,所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只2y?7

能为4,5,6,11.从而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7.

8.

C

解:由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为?q?0,故方程的根为一正一负.由二次函数y?x2?px?q的图象知,当x?3时,y?0,所以32?3p?q?0,即 3p?q?9. 由于p,q都是正整数,所以p?1,1≤q≤5;或

符合题意. p?2,1≤q≤2,此时都有??p2?4q?0. 于是共有7组(p,q)

9.D

解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以p0?98910,因此p3最大. ,p1?,p2?,p3?36363636

10.C

解:因为a?b?ab?1?(a?1)(b?1),所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变.

设经过99次操作后黑板上剩下的数为x,则

111x?1?(1?1)(?1)(?1)???(?1), 23100

解得 x?1?101,x?100.

二、填空题

11.7<x≤19

解:前四次操作的结果分别为

3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.

由已知得 x-26≤487,

x-80>487.

解得 7<x≤19.

容易验证,当7<x≤19时,3x?2≤487 9x?8≤487,故x的取值范围是 7<x≤19.

12.8

解:连接DF,记正方形ABCD的边长为2a. 由题

设易知△BFN∽△DAN,所以

ADANDN2???, BFNFBN1

2由此得AN?2NF,所以AN?AF. 3

在Rt△ABF中,因为AB?2a,BF?a,所以

AF??, 于是

cos?BAF?AB. ?AF5

由题设可知△ADE≌△BAF,所以 ?AED??AFB,

?AME?1800??BAF??AED?1800??BAF??AFB?90?. 于是

AM?AE?cos?BAF?,

5

2MN?AN?AM?AF?AM?, 3S?MNDMN4??. S?AFDAF15

1

2又S?AFD??(2a)?(2a)?2a2,所以S?MND?

因为a?S?MND?8.

213.? 348S?AFD?a2.

1515

解:根据题意,关于x的方程有

39?=k2-4(k2?3k?)≥0, 42

由此得 (k-3)2≤0.

又(k-3)2≥0,所以(k-3)2=0,从而k=3. 此时方程为x2+3x+

3x1=x2=?. 29=0,解得4

故x1

x220112012=12=?. x23

14.8

解:设平局数为a,胜(负)局数为b,由题设知

2a?3b?130,

由此得0≤b≤

43.

又 a?b?(m?1)(m?2),所以2a?2b?(m?1)(m?2). 于是 2

0≤b?130?(m?1)(m?2)≤43,

87≤(m?1)(m?2)≤130,

由此得 m?8,或m?9.

当m?8时,b?40,a?5;当m?9时,b?20,a?35,a?

题设.

故m?8.

15.32 2a?b55,不合?22

解:如图,连接AC,BD,OD.

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.

依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD是⊙O

的内接四边形,所以

∠BCF =∠BAD,

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ,因此 BCBA. ?CFAD因为OD是⊙O的半径,AD = CD,所以OD垂直平分AC,OD∥BC, 于是 DEOE??2. 因此 DCOB

DE?2CD?2AD,CE?3AD.

由△AED∽△CEB,知DE?EC?AE?BE.因为AE?

所以 2AD?3AD?BA3?BA,BA=22AD ,故 22

CF?AD?. ?

BC?2BABA3,BE?BA, 22

三、解答题

16.解: 因为当?1?x?3时,恒有y?0,所以

2??(m?3)?(4m?2)?0,

2即(m?1)?0,所以m??1.

????(3分)

当x??1时,y≤0;当x?3时,y≤0,即

(?1)2?(m?3)(?1)?m?2≤0,

且 32?3m(?3?)m?≤20,

解得m≤?5.

????(8分)

设方程x2??m?3?x??m?2??0的两个实数根分别为x1,x2,由一元二次方程根与系数的关系得

x1?x2???m?3?,x1x2?m?2.

因为

119

???,所以 x1x210

x1?x2m?39

????, x1x2m?210

解得m??12,或m??2.

因此m??12.

????(15分)

17. 证明:连接BD,因为OB为?O1的直径,所以

?ODB?90?.又因为DC?DE,所以△CBE是等腰三角

形.

????(5分)

设BC与?O1交于点M,连接OM,则?OMB?90?.又因为OC?OB,所以

?BOC?2?DOM?2?DBC?2?DBF??DO1F.

????(10分)

又因为?BOC,?DO1F分别是等腰△BOC,等腰△DO1F的顶角,所以

△BOC∽△DO1F.

????(15分)

18.解:设a-b = m(m是素数),ab = n2(n是正整数).

因为 (a+b)2-4ab = (a-b)2, 所以 (2a-m)2-4n2 = m2,

(2a-m+2n)(2a-m-2n) = m2.

????(5分)

因为2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n (m为素数),所以

2a-m+2n?m 2,2a-m-2n?1.

(m?1)2m2?1

解得 a?,n?.

44

2

(m?1)

于是 b= a-m?.

4

????(10分)

(m?1)2

又a≥2012,即≥2012.

4

(89?1)2

又因为m是素数,解得m≥89. 此时,a≥=2025.

4

当a?2025时,m?89,b?1936,n?1980. 因此,a的最小值为2025.

????(15分)

?x2012都是正整数,且x1?x2???x2012,所以 19.解:由于x1,x2, ,

x1≥1,x2≥2,?,x2012≥2012.

于是 n?

122012122012

????≤?????2012. x1x2x2012122012

????(5分)

?x2012?2012?2012,则 当n?1时,令x1?2012,x2?2?2012, ,

122012

?????1. x1x2x2012

????(10分)

?xk?k, 当n?k?1时,其中1≤k≤2011,令 x1?1,x2?2, ,

xk?1?(2012?k)(k?1),xk?2?(2012?k)(k?2),x2012?(2012?k)?2012,则

1220121?????k?(2012?k)??k?1?n. x1x2x20122012?k综上,满足条件的所有正整数n为1, 2, , ?2012.

????(15分)

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com