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第二十四届希望杯初三第1试试题及答案解析

发布时间:2014-03-14 11:41:30  

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛

初三 第1试试题

2013年3月17日 上午8:30至10:00

竞赛结束时,只交答题卡,试卷可带走。答案于今日10:00在以下网站和微博公布:

“希望杯”官方网站:http://www.hopecup.org “希望杯”微博:http://e.weibo.com/xiwangbei 《数理天地》官方网站:http://www.mpw91.com 《数理天地》微博:http://e.weibo.com/shulitiandi 未经“希望杯”组委会授权,任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷,也不准以任何形式(包括网络)转载。

一、选择题(每小题4分,共40分)

nm1.若m,n是方程x2-25x+1=0的两个根,则 的值是( d ) mn

(A)±5. (B)±5. (C) ±65. (D) ±85.

2图1

2.设⊙O的半径是5,点P不在⊙O外,若点O与点P的距离|OP|=m-2m+2,

则m的取值范围是( b)

(A)m<-1或m>3.(B)-1≤m≤3. (C)m≤-1. (D)m≥3.

3.如图1,⊙O内的点P在弦AB上,点C在圆O上,PC⊥OP,若BP=2,AP=6,则CP的长等于(a )

(A)23. (B) 4. (C2. (D) 32.

4.图2是类似“羊头”的图案,它左右对称,由正方形,等腰直角三角形构成,如果标在数字“13”2,那么标有数字“2”的等腰直角三角形斜边的长是( )

(A)4. (B)22. (C)2. 3(D). 2

5.若m,n分别是20的整数部分和小数部分,则与(m+n)(n-m)的差的绝

对值最小的整数是( ) (A)-55. (B)-56. (C)-16. (D)-15.

图2 6.如图3,铁路MN和公路PQ在点O处交汇,∠QON=30°.点A在OQ

上,AO=240(米).当火车行驶时,周围200米以内会受噪音的影响,现有一列火车沿MN方向以72千米/时的速度行驶(火车的长度忽略不计),那么,A处受噪音影响的时间为( )

(A)12秒. (B)16秒. (C)20秒. (D)24秒.

7.In △ABC as shown in fig.4,AB=AC ,BD=EC,BE=CF,if ∠A=50°, then the degree of ∠DEF is( )

(A)60°. (B)65°. (C)70°. (D)75°.

8.如图5,⊙O1的半径是1,正方形ABCD的边长是6,点O2是正方形的中心,O1O2垂直AD于P点,O1O2=8.若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现( )

(A)3次. (B)5次. (C)6次. (D)7次.

9.如图6,在同一个坐标系内,二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y2=dx+e(d≠0)的图象相交于点A(m,n)和点B(p,q).当y1<y2时,用m,p表示x的取值范围,则是( ).

(A)m<x<p. (B)x<m. (C)x>p. (D)x>m.

10.如图7,在正方形ABCD中,点M、N分别在边AB、BC上运动(不与正方形的顶点重合),且BN=2AM,若图中的三个阴影三角形中至少有两个相似,则这样的点M有(

) 图7 初三 第 1 页 共 4 页

图3 fig.4 图5 图6

(A)1个. (B)2个. (C)3个.

二、A组填空题(每小题4分,共40分) (D)4个.

1111.已知实数a,b不相等,并且a2+1=5a,b2+1=5b,则+ ab11112.If a1=1-a2=1-a3=1-then a2003 in terms of m is. ma1a2 图

8

13.如图8,在3×2的方格纸上,以某三个格点为顶点的三角形中,等腰三角形共有 个.

2x2-y2+2z2-4xy14.若实数x,y,z使2x+y+z=0和3x+2y+5z=0成立,并且z≠0,则的值是 . x-5z+7xz

15.若一个三角形的三边的长是2,13,17,则此三角形的面积是 .

16.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),

当-2≤x≤5时,y的最大值为12,则该抛物线的解析式为 .

17.如图9,直角梯形纸片ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=10,BC=25,

9 AD=15,以BD为折痕,将△ABD折起,旋转180°后,点A到点A1,则凹

五边形BDCEA1的面积为 .

18.如图10,将边长为a的正方形ABCD绕其顶点C顺时针旋转45°,得四边形A’B’CD’,

则图中阴影部分的面积是 .

19.If (a+4)-(a-3)=7,then the value range of real number a is

20.如图11,从边长为5的正方形纸片ABCD中剪去直角△EBF(点E在边AB上,点图

10

F在边BC上).若EB+BF=15,则五边形AEFCD的面积的最小值是

三、B组填空题(每小题8分,共40分) 图11 21.图12是由若干个棱长为1厘米的正方体堆成的几何体,它的三视图中,面积最大

的是 平方厘米,这个几何体的体积是 立方厘米.

22.如图13,在△ABC中,∠A=30°,AB=AC=2,BD是边AC上的高,利用此图可求得tan15°= ,BC.

23.在直角坐标系内,如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数,则称该点为整点.若凸n边形的顶点都是整点,并且多边形内部及其边上没有其它整点,则n= .

图12 图13 图14 图15

24.如图14,直角梯形ABCD中,AB=1.5,CD=2,AF=1,AD=3,AB∥EF∥CD,∠A=90°,分别以AD,FE所在的直线为x轴,y轴建立坐标系(AD,FE为正方向),若抛物线y=ax2+bx+c过点B、C,并且它的顶点M在线段EF上,则a= ,b= ,c= .

25.如图15,△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AB=AD=2,点M在DC上,以M为圆心,以DM为半径的半圆切边BC于点N,交MC于点P,则DM= ,曲边△NCP的面积= .

附加题(每小题10分,共20分)

1.若f(x)=6x3-11x2+ax-6可以被g(x)=2x-3整除,则af(x)>0时,x的取值范围是 .

2.有一堆黑,白围棋子,如果从中每次取出3枚黑子和2枚白子,当黑子被取完或剩下1枚或2枚时,则还剩35枚白子,如果每次取出5枚黑子和7枚白子,当白子被取完或剩下不足7枚时,则还剩下35枚黑子,那么这堆棋子中,原有黑子

初三 第 2 页 共 4 页

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初三第1试答案与解析

一、选择题(每小题4分,共40分)

1.选:D;【解析】根据一元二次方程根与系数的关系有:m+n5,mn=1,

(m+n(n+m)-4mnnm(m+n)(n-m)∴ (25)2-4=±5 mnmnmn

2.选:B;【解析】|OP|=m2-2m+2=(m-1)2+1≤5,|m-1|≤2,-1≤m≤3

3.选:A;【解析】根据垂径定理及相交弦定理可得:AP·BP=PC2,PC=24.选:B;【解析】正方形11边长为2;正方形9边长为22;正方形7边长为4;正方形5边长为42;正方形3边长为4,∴标有数字“2”的等腰直角三角形斜边的长是22.

5.选:C;【解析】m=4,n20-4,(m+n)(n-m)=20-8)=20-165≈-15.7771.

6.选:B;【解析】作AB⊥于MN于B,以A为圆心,以200m为半径作圆交MN于C、D,

1AB=×OA=12,BC200-120=160,CD=2BC=320米,72千米/时=20米/秒,320÷20=16秒. 2

7.选:B;【解析】△BDE≌△CEF,∠DEC=∠DEF+∠FEC=∠B+∠BDE,∴∠DEF=∠B=65°.

8.选:B;【解析】与AB相切两次,与BC相切一次,再与CD相切两次.

9.选:A;【解析】利用函数图象解不等式,可以直接得到结论.

110.选:B;【解析】设正方形边长为a,AM=x(x<a),BM=a-x,NB=2x,NC=a-2x,当△DAM≌△2

1DCN时,x=a-2x,x=a,有意义;当△DAM与△MBN相似时,a:x=(a-x):2x,无有意义解,或a:x=2x:3

517(a-x),无有意义解;当△MBN与△DCN相似时,a:(a-2x)=(a-x):2x,xa,或a:(a-2x)=2x:(a-x),4

无解.所以只有两种.

二、A组填空题(第小题4分,共40分)

211(a+b)-2ab11.23;【解析】a、b是方程x-5x+1=0的两根,所以a+b=5,ab=1+= abab2

1m-1m-112.m;【解析】a1=1-=,a2=1-,a=1+m-1=m,??,变化周期为3,3|2013,∴a2003 =m mmm-1m-13

13.68;【解析】“

个;“”这样的有6×4=24个;“”这样的有7×2=14个;“”这样的有2×4=8”这样”这样的有2×4=8个;“”这样的有2×4=8个;“”这样的有1×4=4个;“

的有1×2=2个;共68个.

?2x+y+z=0?①111114.;【解析】? ①×2-②得:x=3z,代入得:y=-7z,代入原式= 55?3x+2y+5z=0?②

515.;【解析】如图:215,可算出S△=8-3-2- = . 22

16.y=x2-2x-3或y=-3x2+6x+9;【解析】对称轴是x=(-1+3)÷2=1,在-2≤x≤5这个范围内,当a<0时,过(1,12),可得y=-3x2+6x+9;当a>0时,由于|-2-1|<|5-1|,所以过(5,12),可得y=x2-2x-3

5117.;【解析】S梯形ABCD(15+25)×10=200,设BE=x,作DF⊥BC于F,DE=BE=x,根据勾股62

6516532522定理,x2-(15-x)=10,得:xS△BED=×10=,S6266

梯形ABCD五边形BDCEA1=S△A1BD+ S△CED= S△ABD+ S△CED= S -S△BED=200-3258755= 666

初三 第 3 页 共 4 页

18.(2-1)a2;【解析】∵旋转45°,∴A、B’、C共线,(AD、A’B’交于E),

11S阴影=S△ACD-S△AEB’=a2-(2a-a)22-1)a2 2219.a≥3;(a+4)-(a-3)=7,∴|a+4|-|a-3|=7,这个等式可以理解为在数轴上a与-4的距离比a与3的距离大7,而3与-4的距离刚好是7,所以3及3右边的点都满足,所以a≥3.

120.23;【解析】设BE=x,五边形ABCFE的面积为y, 8

1111111则y=25-x(15-x)=2-x+25=-(x-15)2+23,y最小值=23 2222288

三、B组填空题(第小题8分,共40分)

21.6;7;【解析】主视图面积为:4;左视图面积为:4;俯视图面积为:6.所以最大面积为6;共7个小正方体,所以体积为7; 22.236-2;【解析】∠CBD=15°,BD=1,AD=3,CD=23;∴tan15°=

=12+(2-3 )2=8-43 =(6)2+(2)2-2=(6 -2)26-2.

23.3或4;【解析】通过画图可以验证,满足条件的三角形、四边形可以画出,而五边形以上画不出;

141424.;0;;【解析】此抛物线过(-1,1.5)、(2,2),对称轴x=0,可求出a=;b=0;c=; 63632221225.3-;【解析】DM=MN=MC,可得半径MD=, 32723

1221222S曲边△NCP=S△MNC-S扇形MNP=3-×π×)2=3-π2336327

附加题

31.7;x【解析】g(x)|f(x),∴f(x)= g(x)h(x), 2

333333当x=时,g()=0,∴f(,即6×()3-2a-6=0,解得:a=7;6x3-11x2+7x-6=(2x-3)(3x2-x+2), 222222

1233∵3x2-x+2=3(x-20恒成立,∴f(x)>0,即2x-3>0,得x>; 6122

2.110;107;【解析】设第一次取x次,则白子有:2x+35枚,黑子有3x或3x+1或3x+2枚; 设第二次取y次,则黑子有5y+35枚;则有7y≤2x+35<7y+7

2-y5y+3533当5y+35=3x时,x=y+11+(y是除以3余2的整数),有7(-7)≤2x+35<x-7)+7,解得3355

17514<yy=15,无满足条件的整数解; 11

1-y5y+345y+34152当5y+35=3x+1时,x=y+11+(y是除以3余1的整数),有7y≤2()+35<7y+7,解得33311

173<y≤,y=14或15,无满足条件的整数解; 11

5y+33y5y+33150当5y+35=3x+2时,x=y+11-(y是被3整除的整数),有7y≤)+35<7y+7,解得<33311

171y≤,y=14或15,其中y=15满足条件;代入得x=36 11

黑子有5y+35=110枚;白子有:2x+35=107枚.

CD-;BC=BD+CD BD初三 第 4 页 共 4 页

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