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数学竞赛题(十四)

发布时间:2014-03-14 17:19:04  

高中数学竞赛培训试题(十四)

一、 选择题

1. 数列{an}前n项之和为Sn,已知a1?4,an?Sn?1?2n?1,则a2004 =( )

(A)3?22004-2 (B) 6?22004-2 (C) 11?22003-2 (D) 11?22002-2

2. 在?ABC中,arccos(sinA)?arccos(sinB)?arccos(sinC)的值域是( )

(A)(0,?

2] (B){?3?3??} (C)[,) ) (D)(0,2222

3. 若s,t,r是某三角形三边之长,则记为(s,t,r)??,否则记为(s,t,r)??,设a?|sin1|,b?|sin2|,c?|sin3|,x?|cos1|,y?|cos2|,z?|cos3|。下列正确的是( )

(A)(a,b,c)??,(x,y,z)?? (B) (a,b,c)??,(x,y,z)??

(C) (a,b,c)??,(x,y,z)?? (D) (a,b,c)??,(x,y,z)??

4. 设过空间一个平行六面体V的任意三个顶点的平面(两两不重合的)个数为m,其中能平分V的体积的平面个数为n,则n/m等于( )

(A)1/5 (B)1/4 (C) 5/16 (D) 3/10

5. 方程x?|x|?1?0的各根的平方和可表示为( )

(A)sec

2322?4?3?2?2?2? (B) sec (C) sec (D) sec?sec?sec?1 355333420046. 1?2?3?4???2004的末位数字是( )

(A)0 (B) 2 (C) 4 (D) 8

二、 填空题

1. 8个不同的小球放进6个不同的盒子,恰有两个盒子空着的放法总数为

2. 在直角坐标系xoy中,有以O(0,0),B(1,1)为对角线端点的正方形OABC,给出一个

?u?x2?y2

由xoy系到直角坐标系uov的映射f:?,画出OABC在f之下的象。

?v?2xy

3. 长方体ABCD?A?B?C?D?长宽高分别为a,b,c,四面体AB?CD?和四面体A?BC?D的交集是一个多面体V,则V的体积等于 。

4. 数列1,8,9,64,65,72,73,??的每一项或者是8的整数幂,或者是若干个8的不同

整数幂之和,该数列的第2000项是 。

5. 只出现0和1的10位正整数中,能被11整除的共有

?6. 已知复数z1?2?i,z2?2(cos??isin?)(??[0,90]),则z1?z22的最小值

为 。

三、在半球O内放置三个两两外切的等球,半径为r,每一个都与半球O的底面相切且与半

球面相切。在此半球内再放置一个尽可能大的球,求此球半径。

四、已知函数y??

五、直线l:y?2x?b与曲线c:x?y?1相交于不同两点A,B. P是l上一点,且221213x?,x?[a,b]的值域是[2a,2b](a?b),求a、b的值。 22

PA?PB?4,求当b变化时,P点的轨迹方程,并画出轨迹图形.

六、证明:由递推关系式 a1?2,

3an?1?[an],n?1,2,3,? 2

给出的数列{an}中有无限多个奇数和无限多个偶数.

七、在同一平面内,如果由三角形A1B1C1的顶点A1,B1,C1分别向三角形A2B2C2的边B2C2,

C2 A2,A2B2所作的垂线交于一点,那么就称ΔA1B1C1与ΔA2B2C2正交。证明若ΔA1B1C1与ΔA2B2C2正交,则ΔA2B2C2也与ΔA1B1C1正交。

八、对任意两正整数n和m,证明:

111不是整数。 ????nn?1n?m

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