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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第9讲 坐标平面上的直线

发布时间:2014-03-17 17:34:32  

第九讲 坐标平面上的直线

一般地,若y?kx?b (k、b是常数,k?0),则y叫做x的一次函数,它的图象是一条直线,函数

解析式y?kx?b 式中的系数符号,决定图象的大致位置及单调性(y随x的变化情况)。如图所示:

一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系,任意一个一次函数y?kx?b都可看作是关于x、

y的一个二元一次方程kx?y?b?0;任意一个关于x、y的二元一次方程ax?by?c?0,可化为形如

y??acx? (b?0)的函数形式。坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程,而利用方程和bb

函数的思想可以研究直线位置关系,求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程

组。

【例题求解】

【例1】 如图,在直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(3,0)、B(2,7),P为线段OC上一点,若

过B、P两点的直线为y1?k1x?b1,过A、P两点的直线为y2?k2x?b2,且BP⊥AP,则

k1k2(k1?k2)。

思路点拨 解题的关键是求出P点坐标,只需运用几何知识建立OP的等式即可。

【例2】 设直线nx?(n?1)y?2 (n为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn (n=1,2,…2000),则S1+S2+…+S2000的值为( )

A.1 B.199920002001 C. D. 200020012002

思路点拨 求出直线与x轴、y轴交点坐标,从一般形式入手,把Sn用含n的代数式表示。

【例3】 某空军加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油.在加油过程中,设运输飞机的油箱余油量为Q1吨,加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨,加油时间为t分钟,Q1、Q2....

与t之间的函数图象如图所示,结合图象回答下列问题:

(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?

(2)求加油过程中,运输飞机的余油量Q1 (吨)与时间t (分钟)的函数关系式;

(3)运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目的地,油料是否够用?说明理由. 思路点拨 对于(3),解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量。

1

注:(1)当自变量受限制时,一次函数图象可能是射线、线段、折线或点,一次函数当自变量取值受限制时,存在最大值与最小值,根据图象求最值直观明了。

(2)当一次函数图象与两坐标轴有交点时,就与直角三角形联系在一起,求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础。

【例4】 如图,直线y??x?1与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作3

等腰直角△ABC,∠BAC=90°,如果在第二象限内有一点P(a,1),且△ABP的面积与△A ABC的2

面积相等,求a的值.

思路点拨 利用S△ABP=S△ABC建立含a的方程,解题的关键是把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差。

注:解函数图象与面积结合的问题,关键是把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面 积来表示,这样面积与坐标就建立了联系.

【例5】 在直角坐标系中,有以A(一1,一1),B(1,一1),C(1,1),D(一1,1)为顶点的正方形,设它在折线y?x?a?a上侧部分的面积为S,试求S关于的函数关系式,并画出它们的图象。

思路点拨 先画出符合题意的图形,然后对不确定折线y?x?a?a及其中的字母a的取值范围进行分类讨论,a的取值决定了正方形在折线上侧部分的图形的形状。

注:我们把有自变量或关于自变量的代数式包含在绝对值符号在内的一类函数称为绝对值函数.去掉绝对值符号,把绝对值函数化为分段函数,这是解绝对值的一般思路。

学历训练

1.一次函数的自变量的取值范围是-3≤x≤6,相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2,则这个函数的解析式为 .

2.已知k?a?b?ca?b?c?a?b?c,且m?5?n2?9?6n,则关于自变量x的一次函数y?kx?b??cba

的图象一定经过第 象限.

3.一家小型放影厅的盈利额(元)与售票数x之间的关系如图所示,其中超过150人时,要缴纳公安消防保险费50元.试根据关系图回答下列问题:

(1)当售票数满足0<x≤150时,盈利额y (元)与之间的函数关系式是

(2)当售票数满足150<x≤200时,盈利额y(元)与x之间的函数关系式是

(3)当售票数为x满足时,放影厅要赔本;若放影厅要获得最大利润200元,此时售票数x应为

2

(4)当售票数x满足时,此时利润比x=150时多.

4.如图,在平行四边形ABCD中,AC=4,BD=6,P是BD上的任一点,过P作EF∥AC,与平行四边形的两条边分别交于点E,F,设BP=x,EF=,则能反映y与x之间关系的图象是( )

5.下列图象中,不可能是关于x的一次函数y?px?(p?3)的图象是( )

6.小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售,在销售了部分西瓜之后,余下的每千克降价0.4元,全部售完.销售金额与卖瓜的千克数之间关系如图所示,那么小李赚了( )

A.32元 B.36元 C. 38元 D.44元

7.某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么服药后2小时时血液中含药量最高,达每毫升6微克(1微克=10-3毫克),接着逐步衰减,10小时时血液中含药量为每毫升3微克,每毫升血液中含药量 (微克)随时间x(小时)的变化如图所示,当成人按规定剂量服用后。

(1)分别求出x≤2和x≥2时y与x之间的函数关系式;

(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的,那么这个有效时间是多长?

8.如图,正方形ABCD的边长是4,将此正方形置于平面直角坐标系xOy中,使AB在x轴的正半轴上,A点的坐标是(1,0)

(1)经过C点的直线y?48x?与x轴交于点E,求四边形AECD的面积;

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(2)若直线l经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分,求直线l的方程,并在坐标系中画出直线l.

9.如图,已知点A与B的坐标分别为(4,0),(0,2)

(1)求直线AB的解析式。

(2)过点C(2,0)的直线(与x轴不重合)与△AOB的另一边相交于点P,若截得的三角形与△AOB相似,求点P的坐标.

10.如图,直线y??2x?6与x轴、y轴分别交于P、Q两点,把△POQ沿PQ翻折,点O落在R处,则点R的坐标是 .

11.在直角坐标系xOy中,x轴上的动点M(x,0)到定点P(5,5)、Q(2,1)的距离分别为MP和MQ,那么,当MP+MQ取最小值时,点M的横坐标为 。

12.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(15,6),直线y?

分成面积相等的两部分,那么b= 。

13.如果—条直线l经过不同的三点A(a,b),B(b,a),C(a-b,b-a),那么,直线l经过( )象限。

A.二、四 B.—、三 C.二、三、四 D.一、三、四

14.一个一次函数的图象与直线y?595x?平行,与x轴、y轴的交点分别为A、B,并且过点(一l,441x?b恰好将矩形OABC3

—25),则在线段AB(包括端点A、B)上,横、纵坐标都是整数的的点有( )

A.4个 B.5个 C. 6个 D.7个

15.点A(一4,0),B(2,0)是坐标平面上两定点,C是y??1x?2的图象上的动点,则满足上述条件2

的直角△ABC可以画出( )

A. 1个 B. 2个 C.3个 D.4个

16.有—个附有进、出水管的容器,每单位时间进、出的水量都是一定的,设从某时刻开始5分钟内只进不出水,在随后的15分钟内既进水又出水,得到时间x (分)与水量y(升)之间的关系如下图.若20分钟后只出水不进水,求这时(即x≥20)y与x之间的函数关系式。

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17.如图,△AOB为正三角形,点B坐标为(2,0),过点C(一2,0)作直线交AO于D,交AB于E,且使△ADE和△DCO的面积相等,求直线l的函数解析式。

18.在直角坐标系中,有四个点A(一8,3),B(一4,5),C(0,n),D(m,0),当四边形ABCD的周长最短时,求m的值. n

19.转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气,某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染,该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关.现经过试验得到下列数据:

如图建立直角坐标系,用横坐标表示通过的电流强度,纵坐标表示氧化铁回收率。

(1) 将试验所得数据在右图所给的直

角坐标系中用点表示(注:该图

中坐标轴的交点代表点(1,70);

(2) 用线段将题(1)所画的点从左到

右顺次连接,若用此图象来模拟

氧化铁回收率y关于通过电流x

的函数关系,试写出该函数在

1.7≤x≤2.4 时的表达式;

(3) 利用题(2)所得函数关系,求氧

化铁回收率大于85%时,该装置通过的电流应该控制的范围(精确到0.1A)。

20.如图,直线OC、BC的函数关系式分别为y?x和y??2x?6,动点P(x,0)在OB上移动(0<x<3),过点P作直线l与x轴垂直。

(1)求点C的坐标;

(2)设△OBC中位于直线l左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函数关系式;

(3)在直角坐标系中画出(2)中的函数的图象;

(4)当x为何值时,直线l平分△OBC的面积?

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参考答案

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