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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第12讲 方程与函数

发布时间:2014-03-17 17:34:33  

第十二讲 方程与函数

方程思想是指在解决问题时,通过等量关系将已知与未知联系起来,建立方程或方程组,然后运用方程的知识使问题得以解决的方法;函数描述了自然界中量与量之间的依存关系,函数思想的实质是剔除问题的非本质特征,用联系和变化的观点研究问题.转化为函数关系去解决.

方程与函数联系密切,我们可以用方程思想解决函数问题,也可以用函数思想讨论方程问题,在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时,常将问题转化为解方程或方程组;而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时,借助函数图象能获得直观简捷的解答.

【例题求解】

【例1】 若关于的方程?x?mx有解,则实数m的取值范围 .

思路点拨 可以利用绝对值知识讨论,也可以用函数思想探讨:作函数y??x,y?mx函数图象,原方程有解,即两函数图象有交点,依此确定m的取值范围.

【例2】设关于x的方程ax2?(a?2)x?9a?0有两个不相等的实数根x1,x2 ,且x1<1<x2,那么a取值范围是( )

A.?22222?a? B.a? C.a?? D.??a?0 117575

思路点拨 因根的表达式复杂,故把原问题转化为二次函数问题来解决,即求对应的二次函数与x轴的交点满足x1<1<x2的a的值,注意判别式的隐含制约.

【例3】 已知抛物线y?x2?(1?2a)x?a2?0 (a?0)与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)( x1≠x2).

(1)求a的取值范围,并证明A、B两点都在原点O的左侧;

(2)若抛物线与y轴交于点C,且OA+OB=OC一2,求a的值.

思路点拨 x1、x2是方程x2?(1?2a)x?a2?0的两个不等实根,于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决,利用判别式,根与系数的关系是解题的切入点.

1

【例4】 抛物线y?125x?2(m?)x?2(m?1)与y轴的正半轴交于点C,与x轴交于A、B24

两点,并且点B在A的右边,△ABC的面积是△OAC面积的3倍.

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)判断△OBC与△OCA是否相似,并说明理由.

思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识,可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系,这是解本例的关键.对于(1),建立关于m的等式,求出m的值;对于(2)依m的值分类讨论.

【例5】 已知抛物线y?x2?px?q上有一点M(,y0)位于x轴下方.

(1)求证:此抛物线与轴交于两点;

(2)设此抛物线与x轴的交点为A(x1,0),B(,0),且x1 <x2,求证:x1 <x0<x2.

思路点拨 对于(1),即要证p2?4q?0;对于(2),即要证(x0?x1)(x0?x2)?0.

注:(1)抛物线与x轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨,需综合运用判别式、韦达定理等知识.

(2)对较复杂的二次方程实根分布问题,常转化为用函数的观点来讨论,基本步骤是:在直角坐标系中作出对应函数图象,由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组.

(3) 一个关于二次函数图象的命题:已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象与x轴交于A(x1,0),B(,0)两点,顶点为C.

①△ABC是直角三角形的充要条件是:△=b2?4ac?4.

②△ABC是等边三角形的充要条件是:△=b2?4ac?12

2

学历训练

1.已知关于x的函数y?(m?6)x2?2(m?1)x?m?1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是 .

2.已知抛物线y?x2?(k?1)x?3k?2与x轴交于A (?,0),B(?,0)两点,且?2??2?17,则k? .

23.已知二次函数y=kx+(2k-1)x—1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1<x2),则对于下列结

2论:①当x=-2时,y=l;②当x>x2,时,y>O;③方程kx+l(2k-1)x—l=O有两个不相等

?4k2

的实数根x1、x2;④x1<-l,x2>-l;⑤x2-x1=,其中所有正确的结论是 (只k

需填写序号) .

4.设函数y?x2?(k?1)x?4(k?5)的图象如图所示,它与x轴交于A、B两点,且线段OA与OB的长的比为1:4,则k=( ).

A.8 B.一4 C.1l D.一4或11

5.已知:二次函数y=x2+bx+c与x轴相交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,其顶点坐标为P(-4c-b2

),AB=|x1-x2|,若S△APB=1,则b与c的关系式是 ( ) 4b,2

A.b2-4c+1= 0 B.b2-4c-1=0

C.b2-4c+4=0 D.b2-4c-4=0

6.已知方程x?ax?1有一个负根而且没有正根,那么a的取值范围是( )

A.a>-1 B.a=1 C.a≥1 D.非上述答案

7.已知在平面直角坐标系内,O为坐标原点,A、B是x轴正半轴上的两点,点A在点B的左侧,如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A、B,与y轴相交于点C.

(1)a、c的符号之间有何关系?

(2)如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项,试证a、c互为倒数;

(3)在(2)的条件下,如果b=-4,AB=4,求a、c的值.

3

8.已知:抛物线y?ax2?bx?c过点A(一1,4),其顶点的横坐标为

B(x1,0)、C(x2,0)两点(其中且x1 <x2),且x12?x22?13. 1,与x轴分别交于2

(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标;

(2)设此抛物线与y轴交于D点,点M是抛物线上的点,若△MBO的面积为△DOC面积的2倍,求点M的坐标. 3

9.已知抛物线y?123、B(x2,0),交y轴于C点,且x1x?mx?2m交x轴于A(x1,0)22

<0<x2,?AO?OB?2?12CO?1.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P,使∠APB为锐角,若存在,求出P点的横坐标的范围;若不存在,请说明理由.

10.设m是整数,且方程3x2?mx?2?0的两根都大于?

11.函数y?x2?3x?7的图象与函数y?x2?3x?x2?3x?6的图象的交点个数是.

12.已知a、b为抛物线y?(x?c)(x?c?d)?2与x轴交点的横坐标,a?b,则a?c?c?b的值为 .

13.是否存在这样的实数k,使得二次方程x2?(2k?1)x?(3k?2)?0有两个实数根,且两根都在2与4之间?如果有,试确定k的取值范围;如果没有,试述理由.

14.设抛物线y?x2?(2a?1)x?2a?

(1)求a的值;

(2)求a18?32a?6的值.

15.已知以x为自变量的二次函数y?4x2?8nx?3n?2,该二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于x的方程x2?(7n?6)x?2(n?1)(n?4)?0的一整数根,求n的值.

16.已知二次函数的图象开口向上且不过原点O,顶点坐标为(1,一2),与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,且满足关系式OC2?OA?OB.

(1)求二次函数的解析式;

(2)求△ABC的面积.

17.设p是实数,二次函数y?x2?2px?p的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0)、B5的图象与x轴只有一个交点. 493而小于,则= . 57 4

(x2,0).

(1)求证:2px1?x22?3p?0;

(2)若A、B两点之间的距离不超过2p?3,求P的最大值. (

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参考答案

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