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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第16讲 锐角三角函数

发布时间:2014-03-17 17:34:35  

第十六讲 锐角三角函数

古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要,他们发现并经常利用下列几何结论:在两个大小不同的直角三角形中,只要有一个锐角相等,那么这两个三角形的对应边的比值一定相等.正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究,1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用,才逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式.

三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系,是数形结合的桥梁之一,有以下丰富的性质:

1.单调性;

2.互余三角函数间的关系;

3.同角三角函数间的关系.

平方关系:sin2α+cos2α=1;

商数关系:tgα=sin?cos?,ctgα=; cos?sin?

倒数关系:tgαctgα=1.

【例题求解】

【例1】 已知在△ABC中,∠A、∠B是锐角,且sinA=

则S△ABC .

思路点拨 过C作CD⊥AB于D,这样由三角函数定义得到线段的比,sinA=tanB=CD5?,AC135,tanB=2,AB=29cm, 13CD?2,设CD=5m,AC=13m,CD=2n,BD=n,解题的关键是求出m、n的值. BD

注:设△ABC中,a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边,R为△ABC外接圆的半径,不难证明:与锐角三角函数相关的几个重要结论:

111 (1) S△ABC=bcsinA?acsinB?absinC; 222

(2)abc???2R. sinAsinBsinC

【例2】 如图,在△ABC中.∠ACB=90°,∠ABC=15°,BC=1,则AC=( )

A.2?3 B.2? C.0.3 D.3?2

思路点拨 由15°构造特殊角,用特殊角的三角函数促使边角转化.

1

注:(1)求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形.

(2)求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比,有时需通过等的比来转换.

【例3】 如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,过BC的中点D作DE⊥AB于E,连结CE,求sin∠ACE的值.

思路点拨 作垂线把∠ACE变成直角三角形的一个锐角,将问题转化成求线段的比.

【例4】 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC,

(1)求证:AC=BD;

(2)若sinC=12,BC=12,求AD的长. 13

思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比,利用比例线段证明; (2) sinC=

【例5】 已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA、sinB是方程x2?px?q?0的两个根.

(1)求实数p、q应满足的条件;

(2)若p、q满足(1)的条件,方程x2?px?q?0的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦?

思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p、q等式,注意判别式、三角函数值的有界性,建立严密约束条件的不等式,才能准确求出实数p、q应满足的条件.

学历训练

1.已知α为锐角,下列结论①sinα+cosα=l;②如果α>45°,那么sinα>cosα;③如果cosα>1 ,那么α<60°; ④(sinα-1)2?1?sin?.正确的有 . 212AD,引入参数可设AD=12k,AC=13k. ?13AC

2

2.如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,BC=1,cosB5,则这个菱形的面积为 . 13

3.如图,∠C=90°,∠DBC=30°,AB=BD,利用此图可求得tan75°.

4.化简

(1)tan227??tan263??2

(2)sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°

5.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛.三人放出风筝线长、线与地面夹角如下

表(假设风筝线是拉直的),则三人所放的风筝中( )

A.甲的最高 B.丙的最高 C.乙的最低 D.丙的最低

16.已知 sinαcosα=,且0°<α<45°则coα-sinα的值为( ) 8

A.33 B.? C. D.? 2244

7.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,D是AC的中点,则ctg∠DBC的值

是( )

A. B.2 C. 3 D. 24

18.如图,在等腰Rt△ABC中.∠C=90°,AC=6,D是AC上一点,若tan∠DBA=,5

则AD的长为( )

A. B.2 C. 1 D.22

9.已知关于x的方程4x2?2(m?1)x?m?0的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦,求m的

值.

10.如图,D是△ABC的边AC上的一点,CD=2AD,AE⊥BC于E,若BD=8,sin∠CBD=

求AE的长.

11.若0°<α<45°,且sinαconα=3,则sinα= . 163,4

3

12.已知关于x的方程3x2?4x?sin??2(1?cos?)?0有两个不相等的实数根,α为锐角,那么α的取值范围是 .

13.已知是△ABC的三边,a、b、c满足等式(2b)2?4(c?a)(c?a),且有5a?3c?0,则sinA+sinB+sinC的值为.

14.设α为锐角,且满足sinα=3cosα,则sinαcosα等于( )

A.1123 B. C. D. 69105

15.如图,若两条宽度为1的带子相交成30°的角,则重叠部分(图中阴影部分)的面积是

( )

A.2 B.

16.如图,在△ABC中,∠A=30°,tanB=,AC=23,则AB的长是( ) 21 C.1 D. 22

A.3?3 B.2?23 C.5 D.9 2

17.己在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且c=53,若关于x的方程(5?b)x2?2ax?(53?b)?0有两个相等的实根,又方程2x2?(10sinA)x?5sinA?0的两实根的平方和为6,求△ABC的面积.

18.如图,已知AB=CD=1,∠ABC=90°,∠CBD°=30°,求AC的长.

19.设 a、b、c是直角三角形的三边,c为斜边,n为正整数,试判断an?bn与cn的关系,并证明你的结论.

20.如图,已知边长为2的正三角形ABC沿直线l滚动.

(1)当△ABC滚动一周到△A lB1C1的位置,此时A点所运动的路程为 ,约为 (精确到0.1,π=3.14)

(2)设△ABC滚动240°,C点的位置为Cˊ,△ABC滚动480°时,A点的位置在Aˊ,请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tanα·tanβ),求出∠CACˊ+∠CAAˊ的度数.

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参考答案

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