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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第19讲 转化灵活的圆中角

发布时间:2014-03-17 17:34:39  

第十九讲 转化灵活的圆中角

角是几何图形中最重要的元素,证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角,而圆的特征,赋予角极强的活性,使得角能灵活地互相转化.

根据圆心角与圆周角的倍半关系,可实现圆心角与圆周角的转化;由同弧或等弧所对的圆周角相等,可将圆周角在大小不变的情况下,改变顶点在圆上的位置进行探索;由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角,可将与圆有关的角互相联系起来.

熟悉以下基本图形、基本结论.

注:根据顶点、角的两边与圆的位置关系,我们定义了圆心角与圆周角,类似地,当角的顶点在圆外或圆内,我们可以定义圆外角与圆内角,这两类角分别与它们的所夹弧度数有怎样的关系?读者可自行作一番探讨.

【例题求解】

【例1】 如图,直线AB与⊙O相交于A,B再点,点O在AB上,点C在⊙O上,且∠AOC=40°,点E是直线AB上一个动点(与点O不重合),直线EC交⊙O于另一点D,则使DE=DO的点正共有 个.

思路点拨 在直线AB上使DE=DO的动点E与⊙O有怎样的位置关系?

分点E在AB上(E在⊙O内)、在BA或AB的延长线上(E点在⊙O外)三种情况考虑,通过角度的计算,确定E点位置、存在的个数.

注: 弧是联系与圆有关的角的中介,“由弧到角,由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法.

【例2】 如图,已知△ABC为等腰直角三形,D为斜边BC的中点,经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M,对于如下五个结论:①∠FMC=45°;②AE+AF=AB;③EDBA;④2BM2=BF×BA;⑤四边形AEMF为矩形.其中正确结论的个数是?EFBC

( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

思路点拨 充分运用与圆有关的角,寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形,逐一验证.

1

注:多重选择单选化是近年出现的一种新题型,解这类问题,需把条件重组与整合,挖掘隐合条件,作深入的探究,方能作出小正确的选择.

【例3】 如图,已知四边形ABCD外接⊙O的半径为5,对角线AC与BD的交点为E,且AB2=AE×AC,BD=8,求△ABD的面积.

思路点拨 由条件出发,利用相似三角形、圆中角可推得A为弧BD中点,这是解本例的关键.

【例4】 如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,连结AC,过点C作直线CD⊥AB于D(AD<DB),点E是AB上任意一点(点D、B除外),直线CE交⊙O于点F,连结AF与直线CD交于点G.

(1)求证:AC2=AG×AF;

(2)若点E是AD(点A除外)上任意一点,上述结论是否仍然成立?若成立.请画出图形并给予证明;若不成立,请说明理由.

思路点拨 (1)作出圆中常用辅助线证明△ACG∽△AFC;

(2)判断上述结论在E点运动的情况下是否成立,依题意准确画出图形是关键.

注:构造直径上90°的圆周角,是解与圆相关问题的常用辅助线,这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件.

【例5】 如图,圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF,且对角线AD、BE、CF相交于一点Q,设AD与CF的交点为P.

QDACCPAC2

求证:(1);(2). ??PECE2EDEC

思路点拨 解本例的关键在于运用与圆相关的角,能发现多对相似三角形.

(1) 证明△QDE∽△ACF;(2)易证CPQC,通过其他三角形相似并结合(1)把非常规问题?PEDE

的证明转化为常规问题的证明.

2

注:有些几何问题虽然表面与圆无关,但是若能发现隐含的圆,尤其是能发现共圆的四点,就能运用圆的丰富性质为解题服务,确定四点共圆的主要方法有:

(1)利用圆的定义判定;

(2)利用圆内接四边形性质的逆命题判定.

学历训练

1.一条弦把圆分成2:3两部分,那么这条弦所对的圆周角的度数为

2.如图,AB是⊙O的直径,C、D、E都是⊙O上的一点,则∠1+∠.

3.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,F是CG的中点,延长AF交⊙O于E,CF=2,AF=3,则EF的长为

4.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB+AC=12,AD⊥BC于D,AD=3,设⊙O的半径为y,AB的长为x,用x的代数式表示y,y

5.如图,ABCD是⊙O的内接四边形,延长BC到E,已知∠BCD:∠ECD=3:2,那么∠BOD等于( )

A.120° B.136° C.144° D.150°

6.如图,⊙O中,弦AD∥BC,DA=DC,∠AOC=160°,则∠BOC等于( )

A.20° B.30° C.40° D.50°

7.如图,BC为半圆O的直径,A、D为半圆O上两点,AB=,BC=2,则∠D的度数为( )

A.60° B. 120° C. 135° D.150°

8.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,点P是弧AC上一点(点P不与A、C两点重合),连结PC、PD、PA、AD,点E在AP的延长线上,PD与AB交于点F.给出下列四个结论:

⌒ ⌒ ; ③

AD 2=DF×DP;①CH2=AH×BH;②AD=AC④ ∠EPC=∠APD,其中正确的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

9.如图,已知B正是△ABC的外接圆O的直径,CD是△ABC的高.

(1)求证:AC·BC=BE·CD;

(2) 已知CD=6,AD=3,BD=8,求⊙O的直径BE的长.

3

10.如图,已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连结FB,FC.

(1)求证:FB=FC;

(2)求证:FB2=FAFD;

(3)若AB是△ABC的外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=6cm,求AD的长.

11.如图,B、C是线段AD的两个三等分点,P是以BC为直径的圆周上的任意一点(B、C点除外),则tan∠APB·tan∠CPD= .

12.如图,在圆内接四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,AC=a,则四边形ABCD的面积为 .

13.如图,圆内接四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=90°,AD=3,CD=2,则. ⌒ 的中点,∠

14.如图,AB是半圆的直径,D是ACB=40°,则∠A等于( )

A.60° B.50° C.80° D.70°

15.如图,已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形,AB=5,PC=4,分别延长AB和DC,它们相交于P,若∠APD=60°,则⊙O的面积为( )

A.25π B.16π C.15π D.13π

(2001年绍兴市竞赛题)

16.如图,AD是Rt△ABC的斜边BC上的高,AB=AC,过A、D两点的圆与AB、AC分别相交于点E、F,弦EF与AD相交于点G,则图中与△GDE相似的三角形的个数为( )

A.5 B.4 C.3 D.2

17.如图,已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为2,对角线AC与BD的交点为E,AE=EC,AB=2AE,且BD=23,求四边形ABCD的面积.

4

18.如图,已知ABCD为⊙O的内接四边形,E是BD上的一点,且有∠BAE=∠DAC. 求证:(1)△ABE∽△ACD;(2)ABDC+AD·B C=AC·BD.

19.如图,已知P是⊙O直径AB延长线上的一点,直线PCD交⊙O于C、D两点,弦DF⊥AB于点H,CF交AB于点E.

(1)求证:PA·PB=PO·PE;(2)若DE⊥CF,∠P=15°,⊙O的半径为2,求弦CF的长.

20.如图,△ABC内接于⊙O,BC=4,S△ABC=6,∠B为锐角,且关于x的方程

x2?4xcosB?1?0有两个相等的实数根,D是劣弧AC上任一点(点D不与点A、C重合),

DE平分∠ADC,交⊙O于点E,交AC于点F.

(1)求∠B的度数;

(2)求CE的长;

(3)求证:DA、DC的长是方程y2?DE?y?DE?DF?0的两个实数根.

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参考答案

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