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第六讲_鸡兔同笼问题.题库教师版

发布时间:2014-03-19 18:03:06  

一、鸡兔同笼

这个问题,是我国古代著名趣题之一.大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题.书中是这样叙述的:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔?

你会解答这个问题吗?你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗?

二、解鸡兔同笼的基本步骤

解答思路是这样的:假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”.这样,鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只;如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1.因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即47?35?12(只).显然,鸡的只数就是35?12?23(只)了.

这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已.除此之外,“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”.

假设法顺口溜:鸡兔同笼很奥妙,用假设法能做到,假设里面全是鸡,算出共有几只脚,和脚总数做比较,做差除二兔找到.

解鸡兔同笼问题的基本关系式是:

如果假设全是兔,那么则有:

鸡数=(每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)

兔数=鸡兔总数-鸡数

如果假设全是鸡,那么就有:

兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)

鸡数=鸡兔总数-兔数

当头数一样时,脚的关系:兔子是鸡的2倍

当脚数一样时,头的关系:鸡是兔子的2倍

在学习的过程中,注重假设法的运用,渗透假设法的重要性,在以后的专题中,如工程,行程,方程等专题中也都会接触到假设法

板块一、两个对象的“鸡兔同笼”

【例 1】 鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只?

【解析】 假设46只都是兔,一共应有4?46?184只脚,这和已知的128只脚相比多了184?128?56只脚,

这是因为我们把鸡当成了兔子,如果把1只鸡当成1只兔,就要比实际多4?2?2(只)脚,那么56只脚是我们把56?2?28只鸡当成了兔子,所以鸡的只数就是28,兔的只数是46?28?18(只).当然,这里我们也可以假设46只全是鸡!鼓励学生从两个方面假设解题,更深一步理解假设法.

【巩固】 点点家养了一些鸡和兔子,同时养在一个笼子里,点点数了数,它们共有35个头,94只脚.问:

点点家养的鸡和兔各有多少只?

【解析】 方法一:我们假设,每只鸡都是“金鸡独立”,一只脚站着;而每只兔子都是两条后腿,像人一

样用两只脚站着.现在,地面上出现的脚是总数的一半,也就是94?2?47(只).在47

这个数中,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次,因此从47减去总头数35,

剩下的就是兔子头数,47?35?12(只),所以有12只兔子,有35?12?23(只)鸡.

方法二:假设35只都是兔子,那么就有35?4?140(只)脚,比94只脚多了140?94?46(只).每

只鸡比兔子少4?2?2(只)脚,那么共有鸡46?2?23(只)

方法三:还可以假设35只都是鸡,那么共有脚2?35?70(只),比94只脚少了94?70?24(只)

脚,每只鸡比兔子少4?2?2(只)脚,那么共有兔子24?2?12(只).

方法一可以归结为:总脚数?2?总头数?兔子数.能够这样算,主要是利用了兔和鸡的脚数分别

为4和2,而且4是2的2倍.

方法二说明假设的35只兔子中有23只不是兔子,而是鸡.由此可以列出公式:

鸡数?(兔脚数?总头数?总脚数)?(兔脚数?鸡脚数)

方法三说明假设的35只鸡中有12只是兔.由此可以列出公式:

兔数?(总脚数?鸡脚数?总头数)?(兔脚数?鸡脚数)

【巩固】 鸡兔共有45只,关在同一个笼子中.每只鸡有两条腿,每只兔子有四条腿,笼中共有100条腿.试

计算,笼中有鸡多少只?兔子多少只?

【解析】 ⑴假设法:若假设所有的45只动物都是兔子,那么一共应该有4?45?180(条)腿,比实际多算

180?100?80(条)腿.而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿,所以有80?2?40(只)鸡被当

作了兔子,所以共有40只鸡,有45?40?5(只)兔子.

注意:假设为兔子时,按照“多算的腿数”计算出的是鸡的数目;假设为鸡时,按照“少算的

腿数”计算出的是兔子的数目.同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法.

⑵“金鸡独立”法(砍足法):

假设所有的动物都只用一半的腿站立,这样就出现了鸡都变成了“金鸡独立”,而兔子们都只

用两条腿站立的“奇观”.这样就有一个好处:鸡的腿数和头数一样多了;而每只兔子的腿数则

会比头数多1.因此,在腿的数目都变成原来的一半的时候,腿数比头数多多少,就有多少只

兔子.原来有100只腿,让兔子都抬起两只腿,鸡抬起一只腿,则此时笼中有100?2?50(条)

腿,比头数多50?45?5,所以有5只兔子,另外40只是鸡.

【巩固】 动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有36只眼睛和52只脚,问:鸵鸟和大象各有多少?

【解析】 由于每只动物有两只眼睛,由题意知:动物园里鸵鸟和大象的总数为:36?2?18,假设鸵鸟和

大象一样也有4只脚,则应该有(4?18?)72只脚,多了(72?52?)20只脚,由假设引起的差值:

,大象数为18?10?8(头). 4?2?2,则鸵鸟数为20?2?10(只)

【巩固】 鸡兔同笼,上有35头,下有94足,求笼中鸡兔各几只?

【解析】 有兔(94?35?2)?(4?2)?12 (只),有鸡35?12?23 (只).

【例 2】 动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟,共有脚208只,鸵鸟比梅花鹿多20只,梅花鹿和鸵鸟各有多

少只?

【解析】 假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同,则从总脚数中减去鸵鸟多的20只的脚数得:208?20?2?168

(只).这168只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数(注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同)脚数的和,

一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是:2?4?6(只),所以梅花鹿的只数是:168?6?28(只),从

而鸵鸟的只数是:28?20?48(只) (本题也可给学生讲成“捆绑法”,一鸡一兔一组,这个怎么

分组时有倍数关系得到的)

【巩固】 一个养殖园内,鸡比兔多36只,共有脚792只,鸡兔各几只?

【解析】 已知鸡比兔多36只,如果把多的36只鸡拿走,剩下的鸡兔只数就相等了,拿走的36只鸡有

2?36?72(只)脚,可知现在剩下792?72?720(只)脚,一只鸡与一只兔有6只脚,那么兔

有720?6?120(只),鸡有120?36?156(只).

【巩固】 鸡兔同笼,鸡、兔共有107只,兔的脚数比鸡的脚数多56只,问鸡、兔各多少只?

【解析】 这道例题和前面的例题有所不同,前面的题是已知头数之和和脚数之和求各有几只,而这道题是

已知头数之和和脚数之差,这样就比前面的例题增加了一点难度.我们用两种方法来解这道题.

(方法一)考虑如果补上鸡脚少的56只的话,那么就要增加56?2?28(只)鸡.这样一来,鸡、兔共有107?28?135(只),这时鸡脚、兔脚一样多.

已知一只鸡的脚数是一只兔的一半,而现在鸡脚、兔脚相同,可知鸡的只数是兔的2倍,根据和

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