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“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题(含答案)

发布时间:2014-03-20 17:59:17  

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“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.已知非零实数a,b 满足

2a?4?b?24?2a,则a?b等于( ).

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB

=OC=OD=1,则a等于( ). 11(A

) (B

) (C)1 (D)2 22B

3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于x,y的方程组?

(A)?ax?by?3, 只有正数解的概率为( ). x?2y?2?12513 (B) (C) (D) 1291836

4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,?B?90?. 动点P从点B出发,沿梯形的边由B→C

→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. 把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为( ).

(A)10 (B)16 (C)18 (D)32

225.关于x,y的方程x?xy?2y?29的整数解(x,y)的组数为( ).

(A)2组 (B)3组 (C)4组 (D)无穷多组

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行

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驶 3000 km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km .

7.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD

=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,AH则的值为 . AB

8.已知a1,a2,a3,a4,a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个不同的整数,若b是关于x的方程

?x?a1??x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009的整数根,则b的

值为 .

9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为?ACB的平分线.若AC=15,

BC=20,CD=12,则CE的长等于.

10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:每个人心里都想好一

个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两

旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报3

的人心里想的数是 .

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.已知抛物线y?x与动直线y?(2t?1)x?c有公共点(x1,y1),(x2,y2),

且x1?x2?t?2t?3.

(1)求实数t的取值范围;

(2)当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.

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12.已知正整数a满足192a?191,且a?2009,求满足条件的所有可能的正整数a的和.

13.如图,给定锐角三角形ABC,BC?CA,AD,BE是它的两条高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,

过点D,E分别作l的垂线,垂足分别为F,G.试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论.

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14.n个正整数a1,a2,?,an满足如下条件:1?a1?a2???an?2009;且a1,a2,?,an中任意n-1

个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值.

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“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.已知非零实数a,b 满足

2a?4?b?24?2a,则a?b等于( ).

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

【答】C.

解:由题设知a≥3

,所以,题设的等式为b?2?0,于是a?3,b??2,

从而a?b=1.

2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB

=OC=OD=1,则a等于( ).

(A

)11 (B

) (C)1 (D)2 22【答】A.

解:因为△BOC ∽ △ABC,所以

所以, a?a?1?0.

由a?

0,解得a?2BOBC1a,即?, ?ABACaa?1. 3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于x,y的方程组?

(A)?ax?by?3, 只有正数解的概率为( ). x?2y?2?12513 (B) (C) (D) 1291836

【答】D.

解:当2a?b?0时,方程组无解.

6?2b?x?,??2a?b当2a?b?0时,方程组的解为? 2a?3?y?.?2a?b?

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?2a?b?0,?2a?b?0,?6?2b?0,???33?2a?b??由已知,得?即?a?,或?a?, 2a?322???0,?????2a?b?b?3,?b?3.

由a,b的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得

3,4,5,6,?a?2,?a?1,共有 5×2=10种情况;或共3种情况. ??b?1,2,b?4,5,6,??

又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为13. 36

4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,?B?90?. 动点P从点B出发,沿梯形的边由B→C

→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. 把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为( ).

(A)10 (B)16 (C)18 (D)32

【答】B. 解:根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故

S△ABC=

221×8×4=16. 25.关于x,y的方程x?xy?2y?29的整数解(x,y)的组数为( ).

(A)2组 (B)3组 (C)4组 (D)无穷多组

【答】C.

解:可将原方程视为关于x的二次方程,将其变形为

x?yx?(2y?29)?0.

由于该方程有整数根,则判别式?≥0,且是完全平方数.

由 ??y?4(2y?29)??7y?116≥0,

解得 y≤222222116?16.57.于是 优思数学网系列资料 WWW.YOUSEE123.COM 版权所有@优思数学网 6

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显然,只有y2?16时,??4是完全平方数,符合要求.

2当y?4时,原方程为x?4x?3?0,此时x1??1,x2??3;

2当y=-4时,原方程为x?4x?3?0,此时x3?1,x4?3.

所以,原方程的整数解为

?x1??1, ?y?4;?1?x2??3, ?y?4;?2?x3?1, ?y??4;?3?x4?3, ?y??4.?4

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行

驶 3000 km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km .

【答】3750.

解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为kk,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为. 50003000

又设一对新轮胎交换位置前走了x km,交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列

ky?kx??k,??50003000方程,有?

?ky?kx?k,??50003000

k(x?y)k(x?y)??2k, 50003000

2则 x?y??3750. 11?50003000两式相加,得

7.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD

=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,AH则的值为 . AB

解:如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF,EF . 由题设知AC?11AD,AB?AE,在△FHA和△EFA中, 33

?EFA??FHA?90?,?FAH??EAF

所以 Rt△FHA∽Rt△EFA,

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AHAF?. AFAE

而AF?AB,所以AH1?. AB3

8.已知a1,a2,a3,a4,a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个不同的整数,若b是关于x的方程

?x?a1??x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009的整数根,则b的值为

【答】 10.

a2,a3,a4,a5解:因为?b?a1??b?a2??b?a3??b?a4??b?a5??2009,且a1,

所有b?a1,b?a2,b?a3,b?a4,b?a5也是五个不同的整数.

又因为2009?1???1??7???7??41,

所以b?a1?b?a2?b?a3?b?a4?b?a5?41.

由a1?a2?a3?a4?a5?9,可得b?10. 是五个不同的整数,

9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为?ACB的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等

于 .

【答】. 7

解:如图,由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25 .

故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且?ACB?90?.

作EF⊥BC,垂足为F.设EF=x,由?ECF?

由于EF∥AC,所以

即 1?ACB?45?,得CF=x,于是BF=20-x. 2EFBF, ?ACBCx20?x, ?1520

60.所以CE??. 77

解得x?

10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告

诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是 .

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【答】?2.

解:设报3的人心里想的数是x,则报5的人心里想的数应是8?x.

于是报7的人心里想的数是 12?(8?x)?4?x,报9的人心里想的数

是 16?(4?x)?12?x,报1的人心里想的数是 20?(12?x)?8?x,

报3的人心里想的数是4?(8?x)??4?x.所以

x??4?x,

解得x??2.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.已知抛物线y?x与动直线y?(2t?1)x?c有公共点(x1,y1),(x2,y2),且x1?x2?t?2t?3.

(1)求实数t的取值范围;

(2)当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.

解:(1)联立y?x与y?(2t?1)x?c,消去y得二次方程 22222

x2?(2t?1)x?c?0 ①

有实数根x1,x2,则x1?x2?2t?1,

c?x1x2?x1x2?c.所以 12[(x1?x2)2?(x12?x2)] 2

11222=[(2t?1)?(t?2t?3)]=(3t?6t?4). ② ………………5分 22

122把②式代入方程①得x?(2t?1)x?(3t?6t?4)?0. ③ ………………10分 2

222t的取值应满足t?2t?3?x1?x2≥0, ④

且使方程③有实数根,即??(2t?1)?2(3t?6t?4)=?2t?8t?7≥0, ⑤ 解不等式④得 t≤-3或t≥1,解不等式⑤得

2?222≤t

≤2?. 22

所以,t

的取值范围为2?

(2) 由②式知c?≤t

≤2?. ⑥………………15分 221231(3t?6t?4)?(t?1)2?

. 222

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由于c?31≤t

≤2?时是递增的,

(t?1)2?

在2?2222

3111?时

,cmin?(2?. ………………20分 ?1)2??22242所以,当t?2?

12.已知正整数a满足192a?191,且a?2009,求满足条件的所有可能的正整数a的和.

6解:由192a?191可得192a?1.192?3?2,且 333

a3?1??a?1??a(a?1)?1??(a?1)a(a?1)?(a?1). ………………5分

因为a?a?1??1是奇数,所以2a?1等价于2a?1, 636

又因为3(a?1)a(a?1),所以3a?1等价于3a?1. 因此有192a?1,于是可得a?192k?1.………………15分

又0?a?2009,所以k?01,,?,10.因此,满足条件的所有可能的正整数a的和为

11+192(1+2+…+10)=10571. ………………20分

13.如图,给定锐角三角形ABC,BC?CA,AD,BE是它的两条高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,

过点D,E分别作l的垂线,垂足分别为F,G.试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论. 解法1:结论是DF?EG.下面给出证明. ………………5分

因为?FCD??EAB,所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB.于是可得 3

DF?BE?

同理可得 EG?AD?CD. ABCE. ………10分 AB

ADBE又因为tan?ACB?,所以有BE?CD?AD?CE,于是可得 ?CDCEDF?EG. ………………20分

解法2:结论是DF?EG.下面给出证明. ……………… 5分

连接DE,因为?ADB??AEB?90?,所以A,B,D,E四点共圆,故

?CED??ABC. ………………10分

又l是⊙O的过点C的切线,所以?ACG??ABC. ……………15分

所以,?CED??ACG,于是DE∥FG,故DF=EG. …………20分

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14.n个正整数a1,a2,?,an满足如下条件:1?a1?a2???an?2009;且a1,a2,?,an中任意n-1

个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值.

?,an中去掉ai后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数bi,i?1解:设a1,a2,,2,?,n.即

bi?(a1?a2???an)?ai. n?1

aj?ai

n?1, 于是,对于任意的1≤i?j≤n,都有bi?bj?

aj?ai)从而 n?1(. ………………5分

由于 b1?bn?

3an?a12008是正整数, ?n?1n?1故 n?12?251. ………………10分

由于 an?1??an?an?1???an?1?an?2?????a2?a1?

≥?n?1???n?1?????n?1??(n?1), 2

所以,(n?1)≤2008,于是n ≤45.

结合n?12?251,所以,n ≤9. ………………15分

另一方面,令a1?8?0?1,a2?8?1?1,a3?8?2?1,…,a8?8?7?1, 32a9?8?251?1,则这9个数满足题设要求.

综上所述,n的最大值为9. ………………20分

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