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第十三讲.染色与操作问题.教师版

发布时间:2014-03-20 18:04:15  

第十一讲:染色与操作问题

一、染色问题

这里的染色问题不是要求如何染色,然后问有多少种染色方法的那类题目,它指的是一种解题方法.染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法,通过将问题中的对象适当染色,我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系,再经过一定的逻辑推理,便能得出问题的答案.这类问题不需要太多的数学知识,但技巧性,逻辑性较强,要注意学会几种典型的染色问题.

二、操作问题

实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力,激发学生探索数学规律的兴趣,并通过寻找最佳策略过程,培养学生的创造性思维能力,这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。

模块一、染色问题

【例 1】 六年级一班全班有35名同学,共分成5排,每排7人,坐在教室里,每个座位的前后左右四个

位置都叫做它的邻座.如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去,能办到吗?为什么?

【解析】 划一个5×7的方格表,其中每一个方格表示一个座位.将方格黑白相间地染上颜色,这样黑色

座位与白色座位都成了邻座.因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格,所有黑格的坐到白格.而实际图中有17个黑格18个白格,个数不等,故不能办到.

【巩固】 右图是某一湖泊的平面图,图中所有曲线都是湖岸.

(1)如果P点在岸上,那么A点是在岸上还是在水中?

(2)某人过此湖泊,他下水时脱鞋,上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B,他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数,那么B点是在岸上还是在水中?为什么?

【解析】 (1)已知P点在陆地上,如果在图上用阴影表示陆地,就可以看出A点在水中.

(2)从水中经过一次陆地到水中,脱鞋与穿鞋的次数的和为2,由于A点在水中,所以不管怎么走,走在水中时,脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数.既然题中说“脱鞋的次数与穿鞋的次数的和是个奇数”,那么B点必定在岸上.

【巩固】 某班有45名同学按9行5列坐好.老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)上去,问这能

否办到?

染色与操作问题 教师版 page 1 of 10

【解析】 将5×9长方形自然染色,发现黑格的邻座都是白格,白格的邻座都是黑格,因此每位同学都坐

到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格,所有黑格的坐到白格.而实际图中有23个黑格22个白格,个数不等,故不能办到.

【例 2】 右图是某一套房子的平面图,共12个房间,每相邻两房间都有门相通.请问:你能从某个房间

出发,不重复地走完每个房间吗?

【解析】 如图所示,将房间黑白相间染色,发现只有5个白格,7个黑格.因为每次只能由黑到白或由白

到黑,路线必然黑白相问,显然应该从多的白格开始.但路线上1白1黑1白1黑??直到5白5黑后还余2黑,不可能从黑格到黑格,故无法实现不重复走遍.

【巩固】有一次车展共6×6=36个展室,如右图,每个展室与相邻的展室都有门相通,入口和出口如图所示.参观者能否从入口进去,不重复地参观完每个展室再从出口出来

?

【解析】 如右下图,对每个展室黑白相间染色,同样每次只能黑格到白格或白格到黑格.入口和出口处都

是白格,故路线黑白相间,首尾都是白格,于是应该白格比黑格多1个,而实际上白格、黑格都是18个,故不可能做到不重复走遍每个展室.

【例 3】 在一个正方形的果园里,种有63棵果树,加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列,如

图(1).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,如图(2),连小屋排成九行九列呢?

【解析】 下图(1)中可以回到小屋,守园人只能黑白相间地走,走到的第奇数棵树是白的,第偶数棵树是

黑的,走到第63棵树应是白的,在小屋相邻的树都标注白色,所以可以回到小屋.图(2)不行,从小屋出发,当走到80棵树应是黑色, 而黑树与小木屋不相邻,无法直接回到小木屋.

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