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第十讲.最大与最小.教师版

发布时间:2014-03-20 18:04:18  

第七讲:最大与最小

模块一、数论中的极端思想

【例 1】 1~8这八个数字各用一次,分别写成两个四位数,使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四

位数各是多少?

【解析】 8531和7642。高位数字越大,乘积越大,所以它们的千位分别是8,7,百位分别是6,5。两数

和一定时,这两数越接近乘积越大,所以一个数的前两位是85,另一个数的前两位是76。同理可确定十位和个位数.

【巩固】 两个自然数的和是15,要使两个整数的乘积最大,这两个整数各是多少?

【解析】 将两个自然数的和为15的所有情况都列出来,考虑到加法与乘法都符合交换律,有下面7种情

况:

15=1+14,1×14=14;

15=2+13,2×13=26;

15=3+12,3×12=36;

15=4+11,4×11=44;

15=5+10,5×10=50;

15=6+9,6×9=54;

15=7+8,7×8=56。

由此可知把15分成7与8之和,这两数的乘积最大。

结论:如果两个整数的和一定,那么这两个整数的差越小,他们的乘积越大。特别地,当这两个数相等时,他们的乘积最大.

【巩固】 两个自然数的积是48,这两个自然数是什么值时,它们的和最小?

【解析】 48的约数从小到大依次是1,2,3,4,6,8,12,16,24,48。

所以,两个自然数的乘积是48,共有以下5种情况:

48=1×48,1+48=49;

48=2×24,2+24=26;

48=3×16,3+16=19;

48=4×12,4+12=16;

48=6×8,6+8=14。

两个因数之和最小的是6+8=14。

结论:两个自然数的乘积一定时,两个自然数的差越小,这两个自然数的和也越小。

【例 2】 有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,直至不能再写为

止,如257,1459等等,这类数中最大的自然数是多少?

【解析】 要想使自然数尽量大,数位就要尽量多,所以数位高的数值应尽量小,故10112358满足条件.如

果最前面的两个数字越大,则按规则构造的数的位数较少,所以最前面两个数字尽可能地小,取1与0.

【例 3】 有一类自然数,它的各个数位上的数字之和为2003,那么这类自然数中最小的是几?

【解析】 一个自然数的值要最小,首先要求它的数位最小,其次要求高位的数值尽可能地小.由于各数位上

的和固定为2003,要想数位最少,各位数上的和就要尽可能多地取9,而2003÷9=222??5,所以满足条件的最小自然数为:599...9?

222个9

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【例 4】 将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12??9899100

从中划去100个数字,那么剩下的92位数最大是多少?最小是多少?

【解析】 要得到最大的数,左边应尽量多地保留9。因为1~59中有109个数码,其中有6个9,要想左

边保留6个9,必须划掉1~59中的109-6=103(个)数码,剩下的数码只有192-103=89(个),不合题意,所以左边只能保留5个9,即保留1~49中的5个9,划掉1~49中其余的84个数码。然后,在后面再划掉16个数码,尽量保留大数(见下图):

所求最大数是9999978596061?99100。

同理,要得到最小的数,左边第一个数是1,之后应尽量保留0。2~50中有90个数码,其中有5个0,划掉其余90-5=85(个)数码,然后在后面再划掉15个数码,尽量保留小数(见下图)

:所求最小数是100000123406162?99100。

【例 5】 把17分成几个自然数的和,怎样分才能使它们的乘积最大?

【解析】 假设分成的自然数中有1,a是分成的另一个自然数,因为1×a<1+a,也就是说,将1+a作为分

成的一个自然数要比分成1和a两个自然数好,所以分成的自然数中不应该有1。如果分成的自然数中有大于4的数,那么将这个数分成两个最接近的整数,这两个数的乘积大于原来的自然数。例如,5=2+3<2×3,8=3+5<3×5。也就是说,只要有大于4的数,这个数就可以再分,所以分成的自然数中不应该有大于4的数。如果分成的自然数中有4,因为4=2+2=2×2,所以可以将4分成两个2。由上面的分析得到,分成的自然数中只有2和3两种。因为2+2+2=6,2×2×2=8,3+3=6,3×3=9,说明虽然三个2与两个3的和都是6,但两个3的乘积大于三个2的乘积,所以分成的自然数中最多有两个2,其余都是3。由此得到,将17分为五个3与一个2时乘积最大,为3×3×3×3×3×2=486。结论:整数分拆的原则:不拆1,少拆2,多拆3。

【巩固】 把14拆成几个自然数的和,再求出这些数的乘积,如何拆可以使乘积最大?

【解析】 14拆成3、3、3、3、2时,积为3×3×3×3×2=162最大.

【例 6】 某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种,为了能支付1元、2元??100元的钱数

(整数元),那么至少需要准备货币多少张?

【解析】 为了使货币越少越好,那么9元的货币应该尽量多才行。当有10张9元时,容易看出1、1、3、

5这四张加上后就可以满足条件。当9元的货币超过11张时,找不到比14张更少的方案。当9元的货币少于10张时,至少有19元需要由5元以下的货币构成,且1元的货币至少2张,这样也找不到比14张更少的方案。综上分析可以知道,最少需要10张9元的、2张1元的、1张3元的、1张5元的,共14张货币。

【例 7】 在五位数 22576的某一位数码后面再插入一个该数码,能得到的六位数中最大的是几?

【解析】 225776

【巩固】 在六位数865473的某一位数码后面再插入一个该数码,能得到的七位数中最小的是几?

【解析】 8654473.

【例 8】 设自然数n有下列性质:从1、2??n中任取50个不同的数,其中必有两数之差等于7,这样

的n最大不能超过多少?

【解析】 当n=98时,将1、2??98按每组中两数的差为7的规则分组:{1,8}、{2、9}、??{7,14}、

{15,22}??{90,97}、{91、98}。一共有49组,所以当任取50个数时,必有两个数在同一组,他们的差等于7。当n=99时,取上面每组中的前一个数,即1、2??7、15??21、29??35、43??49、57??63、71??77、85??91和99一共是50个数,而它们中任2个的差不为7。因此n最大不能超过98。

【例 9】 在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号,

组成一个算式。要求:(1)算式的结果等于37;(2)这个算式中的所有减数(前面添了减号的

数)的乘积尽可能地大。那么,这些减数的最大乘积是多少?

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