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第十四讲.构造与论证.教师版

发布时间:2014-03-20 18:04:19  

第十三讲:构造与论证

教学目标

1. 掌握最佳安排和选择方案的组合问题.

2. 利用基本染色去解决相关图论问题.

知识点拨

各种探讨给定要求能否实现,在论证中,有时需进行分类讨论,有时则要着眼于极端情形,或从整体把握.设计最佳安排和选择方案的组合问题,这里的最佳通常指某个量达到最大或最小.解题时,既要构造出取得最值的具体实例,又要对此方案的最优性进行论证.论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计.

组合证明题,在论证中,有时需进行分类讨论,有时则需要着眼于极端情况,或从整体把握。若干点及连接它们的一些线段组成图,与此相关的题目称为图论问题。若干点及连接它们的一些线段组成图,与此相关的题目称为图论问题,这里宜从特殊的点或线着手进行分析.各种以染色为内容,或通过染色求解的组合问题,基本的染色方式有相间染色与条形染色.

例题精讲

模块一 最佳安排和选择方案

【例 1】 一个盒子里有400枚棋子,其中黑色和白色的棋子各200枚.下面我们对这些棋子做如下操作:

每次拿出2枚棋子,如果颜色相同,就补1枚黑色棋子回去;如果颜色不同,就补1枚白色的

棋子回去.这样的操作,实际上就是每次都少了1枚棋子,那么,经过399次操作后,最后剩

下的棋子是 颜色(填“黑”或者“白”).

【解析】 在每一次操作中,若拿出的两枚棋子同色,则补黑子1枚,所以拿出的白子可能为0枚或2枚;

若拿出的两枚棋子异色,则补白子1枚,“两枚棋子异色”说明其中一黑一白,那么此时拿出的白

子数为0枚.可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚,而由于起初白子有200枚,是偶数枚,所

以每次操作后剩下的白子都是偶数枚,因此最后1枚不可能是白子,只能是黑子.

【例 2】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列,今要将它们变为反序排列,即从第5卷

到第1卷.如果每次只能调换相邻的两卷,那么最少要调换多少次?

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【解析】 因为必须是调换相邻的两卷,将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次,得到的顺序为51234;

现在将第4卷调至此时第l卷的位置最少需3次,得到的顺序为54123;

现在将第3卷调至此时第l卷的位置最少需2次,得到的顺序为54312;

最后将第l卷和第2卷对调即可.

所以,共需调换4+3+2+1=10次.

【例 3】 有3堆小石子,每次允许进行如下操作:从每堆中取走同样数目的小石子,或是将其中的某一

石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆.开始时,第一堆有1989块石子,第二堆有

989块石子,第三堆有89块石子.问能否做到:、

(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?

【解析】 (1)可以,如(1989,989,89) ?(1900,900,0)?(950,900,950)?(50,0,50)?(25,

25,50)?(O,0,25).

(2)因为操作就两种,每堆取走同样数目的小石子,将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆,

以每次操作石子总数要么减少3的倍数,要么不变.

现在共有1989+989+89=3067,不是3的倍数,所以不能将3堆中所有石子都取走.

【例 4】 n支足球队进行比赛,比赛采用单循环制,即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分,

平一场得1分,负一场得0分.如果每一队至少胜一场,并且所有各队的积分都不相同,问:

(1)n=4是否可能?

(2)n=5是否可能?

【解析】 (1)我们知道4个队共进行了C2而每场比赛有2分4场比赛,

产生,所以4个队的得分总和为C2

4×2=12.因为每一队至少胜

一场,所以得分最低的队至少得2分,又要求每个队的得分都

不相同,所以 4个队得分最少2+3+4+5=14>12,不满足.即

n=4不可能。

2(2)我们知道5个队共进行C5场比赛,而每场比赛有2分产

2生,所以4个队的得分总和为C5×2=20.因为每一队至少胜

一场,所以得分最低的队至少得2分,又要求每个队的得分

都不相同,所以5个队得分最少为2+3+4+5+6=20,满足.即

n=5有可能.但是我们必须验证是否存在实例.如下所示,A得

2分,C得3分,D得4分,B得5分,E得6分.其中“A?B”

表示A、B比赛时,A胜B;“B--C”表示B、C比赛时,B平C,

余下类推.

【例 5】 如图35-1,将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数分别填入图中的10个圆圈内,使任

意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图

.

【解析】 要使M最小,就要尽量平均的填写,因为如果有的连续5个圆圈内的数特别小,

有的特别大,那么M就只能大于等于特别大的数,不能达到尽量小的目的.

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