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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第30讲 从创新构造入手

发布时间:2014-03-22 17:56:13  

第三十讲 从创新构造入手

有些数学问题直接求解比较困难,可通过创造性构造转化问题而使问题获解.

所谓构造法,就是综合运用各种知识和方法,依据问题的条件和结论给出的信息,把问题作适当的加工处理.构造与问题相关的数学模式,揭示问题的本质,从而沟通解题思路的方法.构造法是一种创造性思维,是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的.

构造法的基本形式是以已知条件为“原料”,以所求结论为“方向”,构造一种新的数学形式,初中阶段常用的构造解题的基本方法有:

1.构造方程;

2.构造函数;

3.构造图形;

4.对于存在性问题,构造实例;

5.对于错误的命题,构造反例;

6.构造等价命题等.

【例题求解】

【例1】 设a1、a2、b1、b2都为实数,a1?a2,满足(a1?b1)(a1?b2)?(a2?b1)(a2?b2),求证:(a1?b1)(a2?b1)?(a1?b2)(a2?b2)??1.

思路点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试.仔细观察已知等式特点,a1、a2可看作方程(x?b1)(x?b2)?1的两根,则(x?b1)(x?b2)?1?(x?a1)(x?a2),通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律,解题思路新颖而深刻.

注:一般说来,构造法包含下述两层意思:利用抽象的普遍性,把实际问题转化为数学模型;利用具体问题的特殊性,给所解决的问题设计一个框架,强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表,而后一层意思的“框架”含义更为广泛,如方程、函数、图形、“抽屉”等.

【例2】 求代数式x2?2x?2?x2?4x?13的最小值.

思路点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值.

x2?2x?2?x2?4x?13?(x?1)2?(0?1)2?(x?2)2?(0?3)2,于是问题转化为:在x 轴上求一点C(1,0),使它到两点A(一1,1)和B(2,3)的距离和(CA+CB)最小,利用对称性可求出C点坐标.这样,通过构造图形而使问题获解.

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