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2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷及其解析

发布时间:2014-03-23 17:25:09  

四川省2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷及其解答

(3月7日 下午4:00—6:00)

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

本题共有6个小题,每题均给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中有且只有一个是正确的,将你选择的答案的代号填在题后的括号内,每小题选对得7分;不选、错选或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。

1、某件商品的标价为13200元,若以8折降价出售,仍可获利10%(相对于进货价),则该商品的进货价是 ( B )

A、9504元 B、9600元 C、9900元 D、10000元 解析:本题是利润问题。法1:直接设进货价x元,可列13200?0.8?

方法,列式 x?10%x,解之x?9600;法2:用算术13200?0.8?(1?10%)?9600,选B。

2、如图,在凸四边形ABCD中,AB?BC?BD,?ABC?80?,则?ADC等于( C )

A、80° B、100° C、140° D、160°

解析:法1:∵AB=BC=BD,∴∠A=∠ADB,∠C=∠CDB,由∠A+∠ADB+∠CDB+∠C+∠ABC=360°,

∴2(∠ADB+∠CDB)=360°-80°,即∠CDA=140°; 法2:∵AB=BC=BD,∴构建以B为圆心的圆,

故可容易得?ADC所对的圆周角为40°,由圆内接四边形对角互补,所以?ADCA

?140?,选C。 3、如果方程(x?2)(x2?4x?m)?0的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么,

实数m的取值范围是 ( D )

A、0?m?4 B、m?3 C、m?4 D、3?m?4

???0? 解析:原方程的三根中有一根为x=2,另两根是x-4x+m=0的两正根,设两根为x1,x2,故有?m?0,可解答得

?x?x?2?122

3?m?4,选D。

4、如图,梯形ABCD中,AB∥CD ,?BAD?60?,?ABC?30?,AB?6,且AD?CD,那么BD的长度是 ( C )

A

B、4 C

、 D

、 解析:法1:如图,延长AD、BC交点E,可构建直角三角形ABE ,∠E=90°, ABB由∠ABC=30°,AB=6

,∴AE?3,BE?因为DC∥AB,可得∠ECD=∠ABC=30°,

A

2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷 (第 1 页 共 5 页)

∴DE?1DC?1AD.AE22?AD?DE,?DE?1AE?

1,BD

? 3

AB

法2:作DF⊥AB于F,CG⊥AB于G,可去求得

再由

AF+FG+GB=AB=6,求得AD=2,故

FB=5,BD??C。 5、如果?2014?a?0,那么x?a?x?2014?x?a?2014的最小值是 ( A )

A、2014 B、a?2014 C、4028 D、a?4028

解析:用“零点分段法”,①当x

≥2014;③当x??2014时,化简原式≥?x>2014;②当?2014?x?a时,化简原式=x?4028?a时,化简原式=3x?2a?4028≥a?4028?2014,综上所述,最小值为2014,选A。

6、方程x2?xy?y2?3(x?y)的整数解有 ( D )

A、3组 B、4组 C、5组 D、6组

解析:把方程看作是关于一个未知数的一元二次方程,求其整数解来解答。 如:看作是关于x的一元二次方程,整理为x2?(y?3)x?y2?3y?0,方程有解,故??(y?3)2?4(y2?3y)?0,即(y?1)2?4,??1?y?3

22。在?1?y?3的条件下,再解方程x?(y?3)x?y?3y?

0,得x?x,y为整数,且x?2?x?0?x?3?x?2?x??1?x?0?1?y?3,解得?,所以共6组,选D。 ,?,?,?,?,???y??1?y?0?y?0?y?2?y?2?y?3

二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)

1、如图,扇形AOB的圆心角?AOB?90?,半径为5,正方形CDEF内接于该

扇形,则正方形CDEF

A

B

解析:作OM⊥EF于M,交DC于点N,连接OF,易得OM为扇形的对称轴,设正方形边长

为2x,由垂径定理,可得MF=CN=ON=x,再由OM2?MF?OF22,有(3x)2?x?5

22,

B解之,x?2A

2、已知四个自然数两两的和依次从小到大的次序是:23、28、33、39、x、y,则

x?y?

2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷 (第 2 页 共 5 页)

解析:设四个自然数从小到大依次为a、b、c、d,则由题意有?a?b?23?a?c?28??a?d?33??b?c?39

?b?d?x??c?d?y,四式相加,有

3(a?b?c?d)?12?3x?y,而a?b?c?d?72,所以x?y?93。

3、已知x?y?

6?

9。

2a,与已知根式相乘,得x2?xy?(xy?y2)?9a,即(x?y)?9a,所以a?4。

4、有质地均匀的正方体形的红白骰子各一粒,每个骰子的六个面分别写有1、2、3、4、5、6的自然数,随机掷红、白两粒骰子各一次,,红色骰子掷出向上面的点数比白色骰子掷出向上面的点数小的概率是 。 解析:利用树状图求概率。5 12

三、(本大题满分20分)

2 已知2a?a?4?0,a?b?2,求12?的值。 a?1b

解析:法(一):由a?b?2,得b?a?2,又由2a2?a?4?0,知a?0,所以

6a6a6a12123a?2????2 ????22a?1ba?1a?2a?a?22a?2a?4(2a?a?4)?3a?3a

法(二):由已知a2?0,再由a?b?2,得a?b?2 和 2a?2ab?4a①,由原式与①求差,得2ab?4?5a。 ∴12b?2a?22b?4a?42b?4(b?2)?46b?126(b?2)????????2 a?1bab?b2ab?2b4?5a?2b4?5(b?2)?2b?3(b?2)

四、(本大题满分25分)

Rt?ABC中,?ACB?90?,AE垂直于AB边上的中线CD,交BC于点E.

(1)求证:AC?BC?CE 2

A

,AE?4,求边AC与BC的长。 (2)若CD?3 解析:(1)(法一)

∵ ?ACB?90?,CD是斜边AB的中线,

C

2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷 (第 3 页 共 5 页) E

B

∴ AD=CD=BD, ∴∠B=∠DCB

∵ AE⊥CD , ∠DCA+∠CAE=90°,而∠DCA+∠DCB=90°, ∴ ∠CAE=∠DCB=∠B,Rt△ACB与Rt△ECA有公共角∠ACE ∴ △ACB∽△ECA, 得(法二) ∵ ?ACB

ACCB , 即 AC2?CE?CB

?ECCA

?90?,CD是斜边AB的中线,

A

∴ AD=CD=BD, 故可以D为圆心作圆D,如图。 ∵ AE⊥CD , ∴ ?AC

? ?CF

D

∴ ∠CAE=∠B, Rt△ACB与Rt△ECA有公共角∠ACE

∴ △ACB∽△ECA, 得

ACCB2

? , 即 AC?CE?CB ECCA

ACAB

?,而AB=2CD=6,AE=4 ECEA

C

F

B

(2) 由(1)△ACB∽△ECA,

∴ AC?3 ,即EC

EC2∴

BC?

?

2222AC,由勾股定理 AC?EC?

AE, AC?3。

?

五、(本大题满分25分)

已知二次函数y?x?ax?b的图像经过点A(x1,0)、B(x2,0)、C(2,m),且0?x1?x2?2. (1)求证:m?0; (2)若b?1,求证:m?1.

解析:(1) 由二次函数y?x?ax?b的图像经过点A(x1,0)、B(x2,0),且0?x1?x2?2

2

2

所以A、B两点在x轴的正半轴,开口向上,对称轴x=

x1?x2x?x

,且12?x2?2, 如下图 22

在对称轴右边图像是y随x的增大而增大,故

f(x2)?f(2),

y?f(x2)?0,y?f(2)?m,所以m?0。

2

(2) ∵x1,x2是方程x ∴x1?而??

?ax?b?0的两根,且0?x1?x2?2

x2??a?0,x1x2?b?0 ∴a?0

a2?4b?0, 0?x2?x1?2, 所以0?(x2?x1)2?4, 故0?(x2?x1)2?4x1x2?4,

2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷 (第 4 页 共 5 页)

即0?a2?4b?4,所以4b?a2?4?4b,又因为b?1,所以4?a2?

8,故??a??2, 在此条件下 ∴

4??2a?4?0, 所以

4?b?2a?4?b?b。

?4?2a?

b,所以4?b?m?b,又因为b?1,m?0,b取由于函数图像过点C(2,m),所以m

最小值,m都该比它小,所以0?m?1 。

2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷 5 页 共 5 页) (第

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