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2012年初中联赛试题参考答案

发布时间:2014-03-23 17:25:16  

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1.

已知a?

1,b?

c?2,那么a,b,c的大小关系是 ( C )

A. a?b?c B. a?c?b C. b?a?c D.b?c?a

2.方程x2?2xy?3y2?34的整数解(x,y)的组数为 ( B )

A.3. B.4. C.5. D.6.

3.已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,连接AE,与CD交于点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的长为 ( D )

A

. B

. C

. D

. 3333

22444.已知实数a,b满足a?b?1,则a?ab?b的最小值为 ( B )

A.?19. B.0. C.1. D.. 88

223235.若方程x?2px?3p?2?0的两个不相等的实数根x1,x2满足x1?x1?4?(x2?x2),则实数p

的所有可能的值之和为 ( B )

A.0. B.?35. C.?1. D.?. 44

6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数abcd(数字可重复使用),要求满足a?c?b?d.这样的四位数共有 ( C )

A.36个. B.40个. C.44个. D.48个.

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

1.已知互不相等的实数a,b,c满足a?

m111?b??c??t,则t?bca?1. 2.使得5?2?1是完全平方数的整数m的个数为.

BC=. AP

abc44.已知实数a,b,c满足abc??1,a?b?c?4,2?2?2?,则a?3a?1b?3b?1c?3c?193.在△ABC中,已知AB=AC,∠A=40°,P为AB上一点,∠ACP=20°,则

a2?b2?c2=332.

第二试 (A)

一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为a,b,c(a?b?c),则a?b?c?30.

显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长c,下面先求c的值.

由a?b?c及a?b?c?30得30?a?b?c?3c,所以c?10.

由a?b?c及a?b?c?30得30?a?b?c?2c,所以c?15.

又因为c为整数,所以11?c?14. ……………………5分 根据勾股定理可得a?b?c,把c?30?a?b代入,化简得ab?30(a?b)?450?0,所以 222

(30?a)(30?b)?450?2?32?52, ……………………10分

2??a?5,?30?a?5,因为a,b均为整数且a?b,所以只可能是?解得?……………………15分 2b?12.???30?b?2?3,

所以,直角三角形的斜边长c?13,三角形的外接圆的面积为

169?. ……………………20分 4

第二试 (C)

一.(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为a,b,c(a?b?c),则a?b?c?60.

显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长c,下面先求c的值.

由a?b?c及a?b?c?60得60?a?b?c?3c,所以c?20.

由a?b?c及a?b?c?60得60?a?b?c?2c,所以c?30.

又因为c为整数,所以21?c?29. ……………………5分 根据勾股定理可得a?b?c,把c?60?a?b代入,化简得ab?60(a?b)?1800?0,所以 222

(60?a)(60?b)?1800?23?32?52, ……………………10分

32??60?a?2?5,?60?a?2?5,?因为a,b均为整数且a?b,所以只可能是?或? 222??60?b?2?3,?60?b?3?5,?

解得??a?20,?a?10,或? ……………………15分 ?b?15,?b?24.

625?; 4当a?20,b?15时,c?25,三角形的外接圆的面积为

当a?10,b?24时,c?26,三角形的外接圆的面积为169?. ……………………20分

第二试 (A)

二.(本题满分25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D.证明:AD?BD?CD.

证明:连接OA,OB,OC.

∵OA⊥AP,AD⊥OP,∴由射影定理可得

2

PA2?PD?PO,AD2?PD?OD. ……………………5分

又由切割线定理可得PA?PB?PC,∴PB?PC?PD?PO,∴D、B、C、O四点共圆,

……………………10分

∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC,∠PBD=∠COD,∴△PBD∽△COD, ……………………20分 ∴

2

PDBD2

,∴AD?PD?OD?BD?CD. ……………………25分 ?

CDOD

第二试 (C)

二.(本题满分25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D,△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明:∠BAE=∠ACB.

证明:连接OA,OB,OC,BD.

∵OA⊥AP,AD⊥OP,∴由射影定理可得PA?PD?PO,AD?PD?OD. ……………………5分 又由切割线定理可得PA?PB?PC,∴PB?PC?PD?PO,∴D、B、C、O四点共圆,

……………………10分

∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC,∠PBD=∠COD,∴△PBD∽△COD, ∴

2

2

2

PDBD

, ?

CDOD

……………………15分

∴BD?CD?PD?OD?AD,∴

2

BDAD

?. ADCD

又∠BDA=∠BDP+90°=∠ODC+90°=∠ADC,∴△BDA∽△ADC, ……………………20分 ∴∠BAD=∠ACD,∴AB是△ADC的外接圆的切线,∴∠BAE=∠ACB. ……………………25分

第二试 (A)

12x?bx?c的顶点为P,与x轴的正半轴交于A(x1,0)、6

3B(x2,0)(x1?x2)两点,与y轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设M(0,?),若AM//BC,2三.(本题满分25分)已知抛物线y??

求抛物线的解析式.

解 易求得点P(3b,b?c),点C(0,c).

设△ABC的外接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的坐标为(3b,m). 显然,x1,x2是一元二次方程?32212x?bx?c?0的两根,所

以x1?3b

,6

x2?3bAB的中点E的坐标为(3b,0),所以AE

……………………5分 因为PA为⊙D的切线,所以PA⊥AD,又AE⊥PD,所以由射影定理可得AE?PE?

DE,即2

3m?0,所以可得m??6. ……………………10分 )2?b2?c)?|m,又易知|2

又由DA=DC得DA?

DC,即2?m2?(3b?0)2?(m?c)2,把m??6代入后可解得c??6(另一解c?0舍去). ……………………15分 22

3|?|OAOM又因为AM//BC,所以?

?. ……………………20分 OBOC|?6|55(另一解b??舍去). 22

125因此,抛物线的解析式为y??x?x?6. ……………………25分 62把c??6代入解得b?

第二试 (C)

三.(本题满分25分)已知抛物线y??12x?bx?c的顶点为P,与x轴的正半轴交于A(x1,0)、6

B(x2,0)(x1?x2)两点,与y轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.

将抛物线向左平移1)个单位,得到的新抛物线与原抛物线交于点Q,且∠QBO=∠OBC.求抛物线的解析式.

313b2

2解 抛物线的方程即y??(x?3b)??c,所以点P(3b,b2?c),点C(0,c). 622

设△ABC的外接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的坐标为(3b,m). 显然,x1,x2是一元二次方程?12x?bx?c?0的两根,所

以x1?3b

,6

x2?3bAB的中点E的坐标为(3b,0),所以AE

因为PA为⊙D的切线,所以PA⊥AD,又AE⊥PD,所以由射影定理可得AE?PE?

DE,即2

3m?0,所以可得m??6. ……………………5分 )2?b2?c)?|m,又易知|2

又由DA=DC得DA?

DC,即?m?(3b?0)?(m?c),把m??6代入后可解得c??6(另一解c?0舍去). ……………………10分 222222

13b2

2将抛物线y??(x?3b)??

6向左平移1)个单位后,得到的新抛物线为

62

13b2

2y??(x?3b?24)??6. 62

3b2

易求得两抛物线的交点为

Q(3b?12??102). ……………………15分 2

由∠QBO=∠OBC可得tan∠QBO=tan∠OBC.

作QN⊥AB,垂足为N,则

N(3b?12?

,又x2?3b?3(b?,所以 tan∠QBO=QN1=

?1)]. ……………………20分 BN2

OC

1???(b,所以

OB2又tan∠OBC=

11?1)]??(b. 22

4解得b?

4(另一解b?5)?0,舍去). 3

12因此,抛物线的解析式为y??x?4x?6. ……………………25分 6

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