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初中数学竞赛辅导资料(17)

发布时间:2014-03-24 17:52:07  

初中数学竞赛辅导资料(17)

奇数 偶数

甲内容提要

1. 奇数和偶数是在整数集合里定义的,能被2整除的整数是偶数,如2,0-2…,不能被2整除的整数是奇数,如-1,1,3。

如果n 是整数,那么2n是偶数,2n-1或2n+1是奇数。如果n是正整数,那么2n是正偶数,2n-1是正奇数。

2. 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为:

?奇数 整数? 或 整数集合 偶数?

这就是说,在整数集合中是偶数就不是奇数,如果既不是偶数又不是奇数,那么它就不是整数。

3. 奇数偶数的运算性质:

奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数±偶数=偶数 奇数×奇数=奇数 奇数×偶数=偶数,偶数×偶数=偶数 奇数的正整数次幂是奇数,偶数的正整数次幂是偶数, 两个連续整数的和是奇数,积是偶数。

乙例题

例1 求证:任意奇数的平方减去1是8的倍数

证明:设k为整数,那么2k-1是任意奇数,

(2k-1)2-1=4k2-4k+1-1=4k(k-1)

∵k(k-1)是两个連续整数的积,必是偶数 ∴4k(k-1)是8的倍数 即任意奇数的平方减去1是8的倍数

例2 已知:有n个整数它们的积等于n,和等于0 求证:n是4的倍数

证明:设n个整数为x1,x2,x3,…xn 根据题意得??x1x2x3?xn?n①

?x?x?x???x?0②?23n?1

如果n为正奇数,由方程(1)可知x1,x2,x3,…xn都只能是奇数,而奇数个奇数的和必是奇数,这不适合方程(2)右边的0,所以n一定是偶数; 当n为正偶数时,方程(1)左边的x1,x2,x3,…xn中,至少有一个是偶数,而要满足方程(2)右边的0,左边的奇数必湏是偶数个,偶数至少有2个。 45

所以n是4的倍数。

例3己知:a,b,c都是奇数

求证:方程ax2+bx+c=0没有整数解

证明:设方程的有整数解x,若它是奇数,这时方程左边的ax2,bx,c都是奇数,而右边0是偶数,故不能成立;

若方程的整数解x是偶数,那么ax2,bx,都是偶数,c是奇数,所以左边仍然是奇数,不可能等于0。

既然方程的解不可能是奇数,也不能是偶数,

∴方程ax2+bx+c=0没有整数解 (以上的证明方法是反证法) 例4求方程x2-y2=60的正整数解

解:(x+y)(x-y)=60,

60可分解为:1×60,2×30,3×20,4×15,5×12,6×10 左边两个因式(x+y),(x-y)至少有一个是偶数

因此x, y必湏是同奇数或同偶数,且x>y>0,适合条件的只有两组

??x?y?30 ?x?y?10

?x?y?2??x?y?6

解得??x?16 ?x?8

?y?14 ??y?2

∴方程x2-y2=60的正整数解是??x?16

?14 ??x?8

?2

?y?y

丙练习17

1. 选择题

①设n是正整数,那么n2+n-1的值是( )

(A)偶数(B)奇数(C)可能是奇数也可能是偶数

②求方程85x-324y=101的整数解,下列哪一个解是错误的?(

(A)??x?5

y?1(B)??x?329(C)?

?y?86?x?653(D)?x?978

??y?171??y?256

2. 填空:

①能被3,5,7都整除的最小正偶数是___

②能被9和15整除的最小正奇数是__最大的三位数是__

46 )

③1+2+3+…+2001+2002的和是奇数或偶数?答__ ④正整数1234…20012002是奇位数或偶位数?答__

⑤100?01能被11整除,那么n是正奇数或正偶数?答__ ?????

n位

3. 任意三个整数中,必有两个的和是偶数,这是为什么?

4. 试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由

5. 求证:两个連续奇数的平方差能被8整除

6. 试证明:任意两个奇数的平方和的一半是奇数

7. 求方程(2x-y-2)2+(x+y+2)2=5的整数解

8. 方程19x+78y=8637的解是( )

(A)??x?78?x?84?x?88?x?81 (B)? (C)? (D)? y?91y?92y?93y?91????

9. 十进制中,六位数19ab87能被33整除,求a,b的值

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