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初中数学竞赛辅导资料(26)

发布时间:2014-03-24 17:52:09  

初中数学竞赛辅导资料(26)

选择题解法(一)

甲内容提要

1. 选择题有多种类,这里只研究有唯一答案的选择题解法。

2. 对“有唯一答案”的选择题解答,一般从两方面思考:直接选择正确的答案或逐一淘汰错误的选择项。

3. 判断的根据有:运用概念辨析,借助图形判别,直接推理演算,列举反

例否定,代入特殊值验证等等。 4. 必须注意:

① 先易后难,寻找突破口。

② 否定选择项,只要有一个反例。

③ 对涉及数值(包括比较大小)的选择题,可考虑用符合条件的特殊

值代入判断,包括利用连续数,奇偶数,平方数,个位数等特征。 ④ 概念辨析要注意类同概念的差异,特殊点的取舍,凡分区讨论字母的取值,要做到既不违漏又不重复。

⑤ 能借助图形判别的,应按比例画出草图。 乙例题

一.淘汰法

例1. n是正整数,下列哪个数一定不是正整数的平方?( ) (A)3n2-3n+3 (B)4n2+4n+4 (c)5n2-5n-5 (D)7n2-7n+7 分析:(A)3n2-3n+3=3[n(n-1)+1] 只要n(n-1)+1=3,即连续数n(n-1)=2

这是可能的,n=2时(A)的值是 3

用同样方法可求得(C),(D)的值可以是52,72

2

故选 (B)

当然也可直接推出(B)一定不是正整数的平方,∵在4[n(n+1)+1]中,连续整数的积n(n+1)≠3 (连续正整数的积的个位数只能是0,2,6) 例2. a,b,c 都是大于-1的负数,那么下列不等式能成立的是 ( ) (A)(abc)2>1 (B)abc>-1 (C)a2-b2-c2<0 (D)a+b-c>0 分析:一般要“肯定成立”比“否定成立”更难,我们来取特殊值否定: ∵-1<a,b,c<0,若取a=b=c=--(D)左边=(-

12

12

18

,则(A)左边=(-

12

)2=

164

<1

)+(-

12

12

)-(-

14

)=-

14

121

<0 -

116

对(C)可取a=-

,b=c=-,则左边=

71

16

>0

x

1x1

故选 (B)

以上两题都是选用特殊值否定法

例3. 已知abcd>0, c>a , bcd<0, 以下结论能成立的是( )

(A)a>0, b>0, c>0, d>0 (B)a<0, b<0 ,c>0 ,d<0, (C)a>0, b<0, c>0 ,d<0

(D)a<0, b>0, c<0, d>0 (E)a>0, b<0, c<0 ,d<0

解:由abcd>0,可知a,b,c,d中负因数的个数是偶数个,故可淘汰(B)和(E), 再由bcd<0,可知a<0,又可淘汰(A),(C),(E)

故选 (D) 条件c>a 是多余的,本题是用概念辨析来否定选择项 例4. 已知c>1, a=c?1-c, b=c-c?1,则a,b的大小关系是

( )

(A)a>b, (B)a≥b, (C)a=b, (D)a<b, (E)a≤b

解:由c>1,可取c=2,得a=3-2≈0.32 b=2-1≈0.41,

可淘汰(A),(B),(C)

为判断有没有特殊值能使a=b ,可用倒推法,设a=b 即c?1-c=c-c?1, 移项得c?1+c?1=2c

两边平方,得2c+2c?1=4c , 2c?1=c 2

两边再平方,得c2-1=c2,这是不可能的,故可淘汰(E)

正确的答案是(D)

本题是用特值来否定错误的选择项,并结合推理演算

二.直接法

例5.已知 x=1+1

y, y=1+(x≠0,y≠0),则 y=( )

(A)x-1, (B)x+1 (C)1-x (D)x, (E)-x

解:从x=1+1

y, 设x=y(把y与x对换) 则得y=1+

故选 (D)

这是用概念辨析法直接选择。

例6.已知a<b<c, x<y<z,下列代数式中,最大值的是( )

(A) ax+by+cz (B)ax+bz+cy (C)ay+bx+cz

(D) ay+bz+cx (E)az+bx+cy

解:按已知选a,b,c,x,y,z的值 0<1<2, -1<0<1分别计算

(A)=2, (B)=1, (C)=1, (D)=-1, (E)=-1 72

故选 (A)

这是利用特殊值直接判断。

例7. 去年产量比前年产量增长p %,则前年产量比去年产量下降的比率是( )

(A) p%, (B)100100pp, (C)(100-p)%,(D)%,(E)% p100?p100?p解:设前年的产量为1,则去年产量是1+p%, 那么前年比去年下降 )?1p100p100的比率是100%=%=% pp100?p1?1?100100

∴选 (D) 本题是直接计算。

(要注意增加、减少的数值差与增长、下降比率的倍数差的区别) (1?p例8.三个连续正整数a,b,c, 已知a2=14884, c2=15376, 那么 b2=( )

(A)15116, (B)15129, (C)15144, (D)15325

解:由已知a<b<c,按个位数规律a的个位数是2或8,c 则是4或6, 可以断定b的个位数是3,而32=9,

故选 (B)

本题是根据连续数,个位数,平方数的性质直接计算判断的

例9. a,b是实数且满足ab<0,a+b<0,a-b<0, 那么a,b及其相反数的大小和顺序是( )

(A) a<-b<b<-a (B)-a<-b<b<a (C)b<-a<a<-b

(D)a<b<-b<-a (E)b<a<-a<-b

解:多个数大小的比较,借助数轴方便,先标上a,b,再标上它们的相反数,由ab<0知道a,b异号,由a-b<0,知a小于b,即a负b正,由a+b<0可知负数a的绝对值大(即距原点更远)得下图

a -b 0 b -a

故选 (A)

本题是借助图形判别的。

丙练习26

选择题:每题只有一个正确的答案,把选择的编号填入表中

73

1.已知a<0,-1<b<0,比较a, ab ,ab2的大小

(A)a>ab>ab (B)ab>ab>a (C)ab>a>ab (D)ab>ab>a (E)a>ab>ab

2. 若-1

22222222, <a<0,而A=1+a, B=1-a C=1

1?a D=1

1?a

那么A,B,C,D的大小关系是 ( )

(A) D<B<A<C, (B) B<D<A<C , (C) D<B<C<A , (D) B<D<C<A

3. 满足等式1983=1982x=1981y的一组正整数是 ( )

(A) x=12785, y=12768 (B)x=12784, y=12770

(C) x=11888,y=11893 (D) x=1947, y=1945

4. x≠0,y≠0且x=

221y 那么(x-22 21x)(y+21y)等于 ( ) (A)2x (B) 2y (C)x-y(D)y-x (E)非以上答案

5. n为正整数,x为任何实数,下列等式能成立的是( )

(A) x

31x=1, (B)x?1=2x?1x?1

(C)x?1

x?1=x2-x+1 (D)2n?1x=-2n?1?x (E)没一个成立

6. 把代数式a?1

a根号外因式a移到根号内时,原式应等于( )

(A)-a(B)a(C)-?a (D)-a (E)以上都不对

27.若a>b>c>0,M= (a?b)?c2, N=(a?c)?b22,P=(b?c)?a22

那么 下列五个代数式的值,最小的是 ( )

(A) MN, (B)MP, (C) NP, (D) M2, (E)P2

8.若x<0, 那么 x?x?1等于 ( )

(A) 1, (B) 1-2x , (C) 2x-1, (D)2x+1, (E) –2x-1

9. 一个正整数的算术平方根为A,那么下一个正整数的算术平方根是( ) (A)

74 A?1, (B)A2+1 , (C)A+1, (D)A?1 , (E)A+1 2(1979年美国中学数学竞赛试题)

10. 已知a 是3-3的小数部分,那么 a等于 ( )

(A)0.73, (B)0.27,(C) 2-3, (D)3-1 (E)非以上答案

11. 若∠1>∠2,且∠1和∠2是邻 补角,那么 ∠2的余角等于 ( )

(A)1

2∠1, (B)1

2(∠1+∠2), (C)1

2(∠1-∠2),(D_)以上都不对

12. 从点A向北偏东45度方向走a米到达点B,再向B的南偏西30度方向走b米到达点C,那么 ∠ABC的度数是 ( )

(A) 15 (B)75 (C)150 (D)非以上度数

13. 三条直线a,b,c 的位置关系,下列判断错误的是 ( )

(A)若a∥b, b∥c则a∥c (B)若a∥b,b⊥c 则a⊥c

(C) 若a⊥b,b⊥c 则a⊥c (D)若a⊥b,b⊥c 则a∥c

14.对所有实数a,b,c,x,y,z,若x<a, y<b, z<c,下列三个等式能成立的是 ( )(A)没有一个,(B)仅①,(C)仅②,(D)仅③,(E)有两个 ①xy+yz+zx<ab+bc+ca, ②xyz<abc. ③x2+y2+z2<a2+b2+c2

15. 已知 T=1

3-8-1-7+17-6-16-5+15-2

那么 T的值的范围是 ( )

(A) T<1, (B)T=1, (C)T>2 (D)1<T<2

(1974年美国中学数学竞赛年试题)

16.a,b是不相等的正数,三个代数式的值,最大的是( )

(A)①, (B)②, (C)③, (D)不能确定 ①(

a?b2+2a?b)2 ②(a+1a)(b+1b), ③(ab+1ab)2

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