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第二十二届“希望杯”数学竞赛初赛试题及答案

发布时间:2014-03-25 17:31:41  

第二十二届“希望杯”全国数学

一、选择题(每小题4分,共40分。)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内。 1、 将a千克含盐10﹪的盐水配制成含盐15﹪的盐水,需加盐x千克,则由此可列出方程

( )

???a?x??1?15?. (B)a?10??a?x??15.

1?10??x?1?15?. (C)a?10?x?a?15. (D)a?(A)a1?10?

2、一辆汽车从A地匀速驶往B地,如果汽车行驶的速度增加a﹪,则所用的时间减少b﹪,

则a、b的关系是( ) (A)b?

100a100a100a

(B)b? (C)b? (D)b? 1?a100?a1?a1?ax?1?m?x?2恒成立,那么实数m的最大值是( )

3、当x?1时,不等式x?1?

(A)1. (B)2。 (C)3。 (D)4。

4、在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点称为整点,已知k为整数,若函数

y?2x?1与y?kx?k的图象的交点是整点,则k的值有( )个

(A)2. (B)3。 (C)4。 (D)5。 5、(英语意译)已知整数x满足不等式2?2x?1?6,则x的值是( ) (A)8. (B)5。 (C)2。 (D)0。

6、若三角形的三条边的长分别为a、b、c,且ab?ac?bc?b?0.则这个三角形一定是( )

(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等边三角形 (D)等腰直角三角形

7、如图1,点C在线段BG上,四边形ABCD是一个正方形,AG与BD、CD分别相交于点E和F,如果AE=5,EF=3,则FG=( ) (A)

2

2

2

3

168

。 (B)。 33

n的值是( ) ?1能分解成n个质因数的乘积,

(C)4。 (D)5。 8、2

16

(A)6. (B)5。 (C)4。 (D)3。 9、若关于x、y的方程组?数解,则( )

1

?x?ay?1?0,

没有实

bx?2y?a?0?

(A)ab??2(B)ab??2且a?1.(C)ab??2(D)且

10、如图2,∠AOB= 450,OP平分∠AOB,PC⊥OB

于点C。若PC=2,则OC的长是( )

(A)7.(B)6。(C)2?22。(D)2?3。

二、A组填空题(每小题4分,共40分。)

11、化简:9?42??。

12、若关于x、y的方程组??3x?2y?k?1的解使4x?7y?2,则k2x?3y?2?的取值范围是 。

13、如图3,平行于BC的线段MN把等边⊿ABC边形,已知⊿AMN和四边形MBCN的周长相等,则BC与MN的长度之比是 。

14、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律,每运转5分钟,停机15分钟,再运转5分钟,再停机15分钟,?,又知8月份这台冰箱的耗电量是24.18度(1度=1千瓦时),则这台冰箱的压缩机运转时的功率是 瓦。

15、已知自然数a、b、c满足a?b?c?42?4a?4b?12c和a?a?2?0,则代数式2222111??的值是。 abc

216、已知A、B是反比例函数y?的图象上的两点,A、B的横坐标分别是3,5。设x

O为原点,则⊿AOB的面积是。

17、设完全平方数A是11个连续整数的平方和,则A的最小值是

18、将100个连续的偶数从小到大排成一行,其中第38个数与第63个数的和为218,则首尾两个数的和是 。

19、A、B两地相距15km,甲、乙两人同时从A地出发去B地。甲先乘汽车到达A、B之间的C地,然后下车步行,乙全程骑自行车,结果两人同时到达。已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的一半,乙骑自行车的速度是甲乘汽车速度的一半,那么,C地与A地相距 km。

20、已知b?ca?ca?b???k,则直线y?kx?k必经过点 。 abc

三、B组填空题(每小题8分,共40分。)

21、等腰三角形的两个内角之比是2:5,则这个三角形的最大内角的度数是

2

22、已知10个数x1,x2,x3,?,x10中,x1=10,对于整数n?1,有xn?x2x3?x10?。

nxn?1

,则x1x2?

23、从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中选出一名男生和一名女生,则所有可能出现的结果有 种;恰好选中男生甲和女生A的概率是 。

24、若关于x的方程x?

bbb

,那么方程?a?的解是x1?a,x2?

xaa

x?

22

的解是x1 x2 。 ?a?

x?1a?1

25、若两个自然数的差是一个数码相同的两位数,它们的积是一个数码相同的三位数,那么这两个自然数是 和 。

3

第二十二届“希望杯”全国数学(含提示)

一、选择题(每小题4分,共40分。)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内。

2、 将a千克含盐10﹪的盐水配制成含盐15﹪的盐水,需加盐x千克,则由此可列出方程

( )

???a?x??1?15?. (B)a?10??a?x??15.

1?10??x?1?15?. (C)a?10?x?a?15. (D)a?(A)a1?10?

提示:配制问题——只加溶质,溶剂量不变;只加溶剂,溶质不变。

2、一辆汽车从A地匀速驶往B地,如果汽车行驶的速度增加a﹪,则所用的时间减少b﹪,则a、b的关系是( ) (A)b?

100a100a100a

(B)b? (C)b? (D)b? 1?a100?a1?a1?ax?1?m?x?2恒成立,那么实数m的最大值是( )

提示:行程问题——时间=路程÷速度;最好在时间上找等量关系,即 方程。 3、当x?1时,不等式x?1?

(A)1. (B)2。 (C)3。 (D)4。

提示:根据绝对值的意义,结合x的取值范围化简不等式,采用验证法,从最大的4开始验证。(题目问的是最大值!)

4、在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点称为整点,已知k为整数,若函数

y?2x?1与y?kx?k的图象的交点是整点,则k的值有( )个

(A)2. (B)3。 (C)4。 (D)5。

提示:图象的交点坐标即是对应方程组的解。采用验证法求解。 5、(英语意译)已知正整数x满足不等式2?2x?1?6,则x的值是( ) (A)8. (B)5。 (C)2。 (D)0。 提示:根据绝对值的意义,结合x的取值范围解不等式。

6、若三角形的三条边的长分别为a、b、c,且ab?ac?bc?b?0.则这个三角形一定是( )

(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等边三角形 (D)等腰直角三角形

提示:用分组分解法、提公因式法分解因式,再根据“如果两个数的积等于0,那么这两个数中至少有一个是0。”解答问题。

7、如图1,点C在线段BG上,四边形ABCD是一个正方形,AG与BD、CD分别相交于

4

2

2

2

3

点E和F,如果AE=5,EF=3,则FG=( )

168

(A)。 (B)。 33

(C)4。 (D)5。

提示:建议用比例测量法或已知数据组合法求解。

8、2

16

n的值是( ) ?1能分解成n个质因数的乘积,

(A)6. (B)5。 (C)4。 (D)3。

提示:利用平方差公式因式分解,再根据“任何一个完全平方数与1的和(或差)都是质数”轻松求n值。

?x?ay?1?0,

9、若关于x、y的方程组?没有实数解,则( )

bx?2y?a?0?

(A)ab??2(B)ab??2且a?1.(C)ab??2 提示:方程组没有实数解其实就是方程对应函数的图象没有交点,把方程组中的两个方程变形成一次函

数的一般形式后,它们的“k”值相等而“b”值不相等!

10、如图2,∠AOB= 450,OP平分∠AOB,PC⊥OB

于点C。若PC=2,则OC的长是( ) (A)7.(B)6。(C)2?22。(D)2?3。 提示:以点P为顶点作∠OPD=45,交OC边于点D,再借用勾股定理、“等角对等边”即可代换出正确选项。

二、A组填空题(每小题4分,共40分。)

11、化简:

9?42??。

提示:9?4?2? 12、若关于x、y的方程组?是 。

提示:上式×2-下式即可与4x?7y?2代换出需要的不等式,进而求解。

13、如图3,平行于BC的线段MN把等边⊿ABC⊿AMN和四边形MBCN的周长相等,则BC与MN的长度之比

是 。

提示:BC∥MN可知⊿AMN也是等边三角形,设AM=x,根据

??

2

?3x?2y?k?1

的解使4x?7y?2,则k的取值范围

?2x?3y?2

“⊿AMN和四边形MBCN的周长相等”列方程可求解。

14、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律,每运转5分钟,停机15分钟,再运转5分钟,再停机15分钟,?,又知8月份这台冰箱的耗电量是24.18度(1度=1千瓦时),则这台冰箱的压缩机运转时的功率是 瓦。

提示:每年的8月份都是31天;“每运转5分钟,停机15分钟,再运转5分钟,再停机15分钟,?,”即“每20分钟只运转5分钟”;功耗=功率×做工时间。

15、已知自然数a、b、c满足a?b?c?42?4a?4b?12c和a?a?2?0,则代数式

提示:利用完全平方公式对前一个式子进行变形;解不等式a?a?2?0得出a的取值范围,在a的取值范围内取定一个值,用观察法可得出b、c的对应值一组,代入即可求值。

16、已知A、B是反比例函数y?22222111??的值是。 abc2的图象上的两点,A、B的横坐标分别是3,5。设x

O为原点,则⊿AOB的面积是。

提示:由已知画出示意图,用面积“割补法”求其面积。

17、设完全平方数A是11个连续整数的平方和,则A的最小值是

提示:设连续整数的第六个整数为x;当x= 时,11x2+110的值最小。

18、将100个连续的偶数从小到大排成一行,其中第38个数与第63个数的和为218,则首尾两个数的和是 。

提示:第n个偶数=第一个偶数+2(n-1)。

19、A、B两地相距15km,甲、乙两人同时从A地出发去B地。甲先乘汽车到达A、B之间的C地,然后下车步行,乙全程骑自行车,结果两人同时到达。已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的一半,乙骑自行车的速度是甲乘汽车速度的一半,那么,C地与A地相距 km。

6

提示:根据两人的行程时间相等列方程求解;设速度为未知数。 20、已知

b?ca?ca?b

???k,则直线y?kx?k必经过点 。 abc

提示:利用等比性质求出k值即可。

三、B组填空题(每小题8分,共40分。)

21、等腰三角形的两个内角之比是2:5,则这个三角形的最大内角的度数是

22、已知10个数x1,x2,x3,?,x10中,x1=10,对于整数n?1,有xn?

nxn?11

,则x1x2?

x2x3?x10?。 提示:xn?

nxn?1

?

xn?1

?n。

23、从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中选出一名男生和一名女生,则所有可能出现的结果有 种;恰好选中男生甲和女生A的概率是 。

提示:树状图求种数;应选项数÷总种数=其概率。

24、若关于x的方程x?

bbb

,那么方程?a?的解是x1?a,x2?

xaa

x?

22

的解是x1 x2 。 ?a?

x?1a?1

提示:配成已知“型”,寻找“解”对“位”。

25、若两个自然数的差是一个数码相同的两位数,它们的积是一个数码相同的三位数,那么这两个自然数是 和 。

提示:简单计算器能派上用场。

选择题参考答案:

7

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