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安远县2014年初中数学学生学科特长展示材料

发布时间:2014-03-25 17:31:45  

安远县2014年初中数学学生学科特长展示材料

一、选择题(本大题有6小题,每小题4分,共计24分.)

1.如图,五边形ABCDE中,AB∥CD,∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角,则∠1+∠2+∠3等于( ★ ).

A.90° B.180° C.210°

D.270°

2.如图,A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b,下列式子成立的是( ★ ). A.ab?0 B.a?b?0 C.(b?1)(a?1)?0 D.

第2题图

第1题图

(b?1)

?0

(a?1)

D

A

第6题图

3

?,则a的取值范围是( ★ ). A.a?0; B.0?a?1; C.0?a?1; D.a?0

4.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,1)和点B(0,3),则sin∠AOB的值等于( ★ ). A

1B

. C. D

. 5522

ACB,如图所示, AB沿直线AB翻折得到?5.已知⊙O的半径为5,弦AB的长为8,将?ACB所在圆的切线长OC为( ★ )则从点O引?.

A. B.22 C.5 D.3

6.今有长度分别为1,2,?,9的线段各一条,从中选出若干条线段组成“线段组”,用这若干组中的某一组线段恰好可以拼接成一个正方形,如图所示;则这样的“线段组” 的组数共 有( ★ ).

A.5组 B.7组 C.9组 D.11组

1、解法一: ∵AB∥CD,∴∠B+∠C=180°,∴∠4+∠5=180°,

根据多边形的外角和定理,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,

1

# 7

∴∠1+∠2+∠3=360°-180°=180°.故选B.

解法二:过点E作EF∥AB,∴∠6=∠1,

∵AB∥CD,∴ EF∥AB∥CD,∴∠7=∠3,

∴∠1+∠2+∠3=∠6+∠2+∠7=180°.故选B.

点评:本题考查了平行线的性质或者多边形的外角和定理,是基础题;理清求解思路、添加合适的辅助线是解题的关键.

2、解答:首先认清字母a、b的符号与大小,显然有:

?1?a?0?1?b,即a是负数且大于 -1、b是大于1的正数; 因而 A.ab?0是错的,B.a?b?0也是错的;

更进一步得到关系式(b?1)?0、(a?1)?0、(a?1)?0是成立的,

第2题图

2

点评:围绕切线OA的长,构造切线直角三角形,关键是半径的寻求,因而补全对称的圆周及其圆心,还原轴对称的全等变换,一切问题就迎刃而解了.与2012年江西数学中考的压轴题的思路极其相似!

6、解答:显然用这些线段去拼接成正方形,至少要7条. D当用7条线段去拼接成正方形时,有3条边每边都用2条线段

连接,而另一条边只用1条线段,其长度恰好等于其它3条边

中每两条线段的长度之和.当用8条线段去拼接成正方形时, 则每边用两条线段相接,其长度和相等. 45]?11. 4由于7?1?6?2?5?3?4; 8?1?7?2?6?3?5;

9?1?8?2?7?3?6?4?5;

1?9?2?8?3?7?4?6; 2?9?3?8?4?7?5?6. 又因为1?2???9?45,所以正方形的边长不大于[第6题图

所以,组成边长为7、8、10、11的正方形,各有一种方法;组成

边长为9的正方形,有5种方法;则 满足条件的“线段组”的组数为

1×4+5=9;故选择C.

点评:本题改编于2012年全国初中数学竞赛试题,用九条长度为1,2,3,……,7,8,9的木棍来摆拼正方形图形;意在促进课堂数学实践活动,积累数学活动经验;用“玩数学、数学好玩”的思想意识来鼓励学生学习数学的信心!请老师们保留童心,你也将收获更多的童心!

二、填空题(本大题有8小题,每小题4分,共计32分.)

7.把直线y=-x+3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第二象限,则m的取值

范围是 .

8.如图,在?ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,∠AEB=45°,BD=2,将△ABC沿AC

所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内,若点B的落点记为B′,则DB′的长为

9.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文 (解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a?2b, 2b?c, 2c?3d, 4d. 例如,

明文1,2,3,4对应密文为5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密 得到的明文对应为 , , , .

10.如图是老年活动中心门口放着的一个招牌,这个招牌是由三个特大号的骰子摞在一起而成

的.每个骰子的六个面的点数分别是1到6;本招牌图片上可看见七个面及其点数,其余十一个面是看不见的,则看不见的面上的点数总和是 .

3

11.如图,已知第一象限内的图象是反比例函数y?

反比例函数y??1图象的一个分支,第二象限内的图象是 x2图象的一个分支,在x轴的上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别 x

交于点A、B,过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为C、D.若四边形ABCD的周长为8、 且AB<AC,则点A的坐标为 .

第11题图

第12题图

第13题图

12. 如图,用邻边长分别为a、 b (a?b)的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆,再裁出与矩

形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆;把半圆作为圆锥体的侧面,小圆恰好能作为底面,从而做成两个圆锥体模型(拼接处材料忽略不计),则a与b满足的关系式是:

13.如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点 上,AB、CD相交于点P,则sin?APD的值是.

14.在某张三角形纸片上,取其一边的中点,沿着过这点的

两条中位线分别剪去两个三角形,剩下的部分就是如图

所示的平行四边形;经测量这个四边形的相邻两边长为

10cm、6cm,一条对角线的长为8cm;则原三角形纸片

的周长是 .

7、解答:直线y=-x+3向上平移m个单位后可得:y=-x+3+m, 第14题图 m?1?x?,??y??x?3?m,?3联立两直线解析式得:?,解得:? y?2x?4;2m?10??y?.?3?

即交点坐标为(m?12m?10,), 33

4

?m?1?0,??3∵交点在第二象限,∴?,解得:?5?m?1;应填?5?m?1. 2m?10??0;??3

点评:本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标,注意第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标均大于0.

8、解答:将△ABC沿AC所在直线来翻折180°,可得对应线段BE=B′E,对应角∠AEB= ∠AEB′=45°,∴∠BEB′=∠DEB′=90°;

又∵BE=DE=B′E=1,∴在Rt△DEB′中,DB

?

点评:本题考查了图形翻折过程中的全等变换,寻求边与角的关系;构造新的直角三角形解决问题.

?a?2b?14,?a?6,?2b?c?9,?b?4,??9、解答:依题意,得? 解得:? ∴明文为:6,4,1,7. 2c?3d?23,c?1,?????4d?28;?d?7;

点评:明码与暗码的互译也包含数学转化,建立数学模型(关系式),按照数学规律求解、检验.

10、解答:实际上这是一道趣味数学问题,每一个骰子均有六个面分别分布着1,2,3,4,5,6六个数字;其点数之和应为1+2+3+4+5+6=21点,本问题的图片中三个骰子的7个可见面上的数字分别是1、2、3,与4、5,还有3、6;则剩余的11个不可见面上的数字之和就为(4+5+6)+(1+2+3+6)+(1+2+4+5)=39点.应填39.

点评:从空间图形正方体的六个面出发,寻求它的可视面与不可视面上数字之间的关系;考查的是一种空间观念.

11、解答:点A在反比例函数y?11图象上,设点A坐标为(a,), xa

12∵AB平行于x轴,∴点B的纵坐标为,而点B在反比例函数y??图象上, ax

∴B点的横坐标??2?a??2a,即B点坐标为(?2a,),

∴AB?a?(?2a)?3a,AC?1a1, a

1?4, a∵四边形ABCD的周长为8,而四边形ABCD为矩形,∴AB+AC=4,即3a?

整理得,3a?4a?1?0,即(3a?1)(a?1)?0, 2

5

∴a1?111, a2?1; 而AB<AC,∴a?,∴点A坐标为(, 3). 333

点评:将矩形的对边平行性质、边长,与直角坐标系中点的坐标互相转化,通过矩形面积来建立方程关系、建立模型,为解决问题寻求思路;解析思想较为明确.

12、解答:设小圆半径为r,则大圆半径R?a.还可得到以下两个关系式:①大圆的一2

半周长等于校园的周长,②以(R?r)、(R?r)为三边构造直角三角形的勾股定理;所以: b

2

?1?2?2??R?2?r,

?a?通过等量代换,化简得2a2?

b2,即得b?, (b?a?0).

?R?,2?b2?22(R?r)?(R?r)?(),?2?

应填b?.

点评:将圆与圆的位置关系、矩形的边角关系,转化为建立直角梯形的数量关系的模型;这是非常巧妙的基本图形运用,若寻求不到这个模型就难以求解;因而较为复杂的几何图形关系往往是蕴含在简单的、基本的图形之中,这就更加突出了双基的重要性了!

13、解:设正方形网格边长为单位1,作BM⊥CD,垂足分别为M,则易得BM=DM

由AC∥BD,得△APC∽△BPD, ;APACAP?BPAC?BDAB4得:?????;

BPBDBPBDBP1

∵AB??

∴BP?M ; 4

第13题解答图

BM在Rt△BPM

中,∴sin?APD?sin?BPM?. ??BP5点评:本题考查了在正方形网格中的平行、相似、对应边成比例等等基础知识的应用,加上求解三角函数值通常建立在直角三角形的模型中;垂线BM的产生有利于构造直角三角形,有画龙点睛之妙用.

14、解答:48或

(32?. (每填对一个答案得2分;两个答案都正确得4分.)温馨提示:考察了作图原理,需要补全原三角形:如图1,周长为2?(10?8?6)?48 cm; 如图2

,周长为2?(10?6)?(32?cm;

6

综上所述:原三角形纸片的周长是48 cm

或(32? cm,每填对一个答案得2分.

第14题解答图1

第14题解答图2

点评:所给出的平行四边形边长及对角线长隐含着勾股数,利用中位线定理构造原三角形方法不同,得出的结论自然也不同,有效地考查了分类讨论思想与思维的全面性、完备性;构造原图形是解决这个问题的关键.

三、简单解答题:(本题有3小题,每题6分,共18分.)

15.在3×3的方格纸中,点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上.

(1)从A、D、E、F四个点中任意取一点,以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形, 则所画三角形是等腰三角形的概率是 ;

(2)从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点,以所取的这两点及点B、C为 顶点画四边形,求所画四边形是平行四边形的概率是 (用树状图或列表法求解).

16.已知x?

17.正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上,这四条直线中相邻两条之间的

距离依次为h1、h2、h3(h1>0,h2>0,h3>0) ,如图所示.

(1)求证:h1=h3;

(2)设正方形ABCD的面积为S,求证:S=(h1+h2)2+h12;

A l1 l2 l3

l4

第17题图 7 111?3,x2?2?a,x3?3?b;求b2?a3的值. xxx第15题图

15、解答:(1)根据从A、D、E、F四个点中任意取一点,

一共有4种可能,只有选取D点时,所画三角形是等腰三角形,

故P(所画三角形是等腰三角形)=1; 4

(2)用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果:

∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画

的四边形是平行四边形, ∴所画的四边形是平行四边形的概率P?

评分为:(1)第15题解答图

41?. 12311(直接写出正确答案,即得2分);(2)(写出正确答案给2分,过程也43

正确再得2分).

点评:利用网格构造三角形或四边形,从而在寻求构造的特殊三角形的概率、特殊四边形的概率;构造图形时需要用到穷举法,并且仍需保证各种构造方法不重不漏,从而准确求出各自的概率.

16、解答:解法一,先计算出a、b的值;

11212?(x?)?2?x??3?2?7; 2xxx

1111b?x3?3?(x?)(x2?x??2)?3?(7?1)?18; xxxxa?x2?

b2?a3?182?73?324?343??19. 解法二:b?a?(x?2331213121212223 )?(x?)?(x?)[(x?)?3)]?[(x?)?3]32xxxxx

?32?(32?3)2?(32?3)3?32?62?73?182?343?324?343??19.

点评:以(a?b)、(a?b)、ab为对称关系的乘法公式(或因式分解公式)的灵活运用,是数式变形等代数运算的基本能力,要求教师与学生均有所加强. 在本题中,交叉项相乘还有特殊的结果1,因而这种变换也是常用、常考、常新的内容,公式要求略超不为过!

17、解答:(1)过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F,过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G,利用互余两角的关系证得∠ABE=∠BCH,再证△ABE≌△CDG即可.??3分

(或者证明夹在平行线l1、l2 之间的直角三角形 l1与夹在平行线l3、l4之间的直角三角形全等,再证明 全等三角形的对应高相等;) l2 l3(2)易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF, 且两直角边长分别为h1、h1+h2;????????4分 l4又四边形EFGH是边长为h2的正方形,???5分

第17题解答图

8

所以S?4?12222h1?h1?h2??h2?2h1?2h1h2?h2?(h1?h2)2?h1. ????6分 2

[或者正方形ABCD的面积为S=AB2= BE2 +AE2=(h1+h2)2 +h1 2 .] ??????6分 点评:另一种形式下求证三角形全等,你会吗?方法很多!合理地作出辅助线是关键;教师也要善于变换不同的思维,解决一些不寻常形式的数学问题,才能使自己的视野常新、常变,引领学生有活跃的思维、思路!

四、(本题有2小题,每题8分,共16分.)

18.陈老师为学校购买运动会奖品后,回学校向总务处郑主任报账时说:“我买了两种书,共

105本,单价分别为8元和12元,买奖品前我领了1500元,现在还余418元”,郑主任粗略算了一下,说:“你肯定搞错了”.

(1)郑主任为什么说陈老师搞错了?试用有关方程的知识给予解释;

(2)陈老师连忙拿出购物发票,发现的确弄错了,因为他还买了一本笔记本,但笔记本的单价已模糊不清,只能辨认是小于10的整数. 求笔记本的单价为多少元?

19.如图,在锐角△ABC中,AC是最短边;以AC中点O为圆心,

BC于E,过O作OD∥BC交⊙O于D,连结AE、AD、DC. 1AC长为半径作⊙O,交2

AE的中点; (1)求证:D是?

(2)求证:∠DAO =∠B +∠BAD;

(3)若

18、解答:(1)设陈老师买了甲种书x本、乙种书y本,则

?S?CEF1?,且AC=4,求CF的长. S?OCD2第19题图 =1,05?x +y?x =44.5,??????2分; 解得? y =60.5;8x +1y2 =1?500;418??

∵ x、y应为整数,∴郑主任说陈老师搞错了;????????????3分

(2)设笔记本的单价为a元,则1 ≤ a <10,

且??x + y =105, ???4分; 解得a =242-4 y;????5分 ?8x +12y?a =1500?418;

∵a <10,∴242-4 y <10,解得y>58;

又∵a为整数且1 ≤ a <10,∴可得 y ≤60.25, 且为整数; ?????6分

∴当y =59时,a =250-61×4 = 6;??????7分

当y =60时,a =250-62×4= 2;??????8分

∴a的值为6或2.答:笔记本的单价为6元或者2元.

点评:运用方程组、不等式组模型解决简单实际问题,是中考必考内容之一;关注条件与结论之间的联系,后一问题提高了思维的难度,转化思想也是解决数学应用题的重要手段! 9

19、解答:证明:(1)∵AC是⊙O的直径,∴AE⊥BC; ????1分

∵OD∥BC, ∴AE⊥OD; ∴D是?AE的中点; ????????2分

(2)方法一:

如图,延长OD交AB于G,则OG∥BC ,∴∠AGD=∠B;?????3分

∵∠ADO =∠BAD+∠AGD, ????4分

又∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,

∴∠DAO =∠B +∠BAD; ????5分

方法二:

如图,延长AD交BC于H ,

则∠ADO=∠AHC, ????3分

∵∠AHC=∠B +∠BAD; ????4分

∴∠ADO =∠B +∠BAD

又∵OA=OD

∴∠DAO=∠B +∠BAD ; ????5分 第19题解答图

(3) ∵AO=OC,∴S?OCD?1S?ACD; 2

∵∠ACD=∠FCE,∠ADC=∠FEC=90°;

S?CEFCF2?();????6分 S?ACDAC

SS11∵?CEF?,∴?CEF?;????????7分 S?OCD2S?ACD4

1CF2∴ ?(),∴CF=2 . ??????????8分 44∴△ACD∽△FCE,∴

点评:在圆中,垂径定理,相等的圆周角(圆心角)对应得到等弧、等弦,是重要的定理,也是考查基本图形的变化应用;结合中位线定理、相似三角形性质等,本题已达到综合运用难度了,贵在坚持与掌握清晰的解题思路;规范化的表达也很重要哦!

五、综合题(本题有2小题,每题9分,共计18分.)

20.已知:Rt△ABC,∠CAB=90°,AB=AC=2(有三个样图,供作图时所用).

求作:(1)以AB为公共边,在△ABC的外部、求作等腰直角△ABD(严格意义下的尺规作图,作出所有可能的情况,不写做法、但要保留作图痕迹);

(2)求出所有情况下,线段CD的长为.

21.以x为自变量的二次函数y?ax?(6a?2)x?9a?7 (其中a?0).

(1)若a?1,?4?x?3,求函数值y的最大值与最小值;并分别指出所对应的自变量x的值;

10 2

(2)当a变化时,该二次函数图象是否经过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由;

(3)若该二次函数图象与x轴有两个不同的交点,而且两交点的横坐标均小于?1,求a的取值范围.

20、解答:(1)首先结合题意,尺规作出相应的图形(作图规范,痕迹准确,每图2分).

(2)因为以AB为公共边、在△ABC外部作等腰直角△ABD,则AB可以是直角边,也可以是斜边,所以有三种情况:

①、如图(1),CD=4;

②、如图(2),四边形ADBD是平行四边形,设对角线AB与CD的交点为O,OA?

AC=2

,CD?2?OC?2?

③、如图(3),∠CBD=90°,BC

BD?

1AB?1,2CD?? 第18题解答图

【答案】4

1分).

点评:(1)本题中,符合条件的图形不唯一,所以结论也存在多种情况,作图要准确;力戒教师与学生遗忘严格意义下的尺规作图.(2)在应用一条已知线段构造等腰三角形时,这条已知线段可以是直角边,也可以是斜边.根据具体图形,结合勾股定理计算线段的长即可;本题较好地考查了分类讨论思想,极容易遗漏第三组解答.

21、解答:(1)当a?1时,二次函数变为y?x?4x?2?(x?2)?2;??1分 因为?4?x?3,抛物线开口向上,对称轴x??2,

所以当x??2时,有最小值?2;当x?3时,有最大值23;??????????3分

(2)将二次函数整理成y?a(x?6x?9)?2x?7, ???????????4分 令x?6x?9?0?x??3,将x??3代入,则y??1; ????????5分 经过验证点(?3,?1)满足函数表达式,

所以该二次函数图象经过一个定点,坐标为(?3,?1);?????????????6分

11 2222

b2?c2?2a2?16a?14 ①

bc?a2?4a?5 ②

求a的取值范围.

22、解答:解法一:由①-2×②得(b?c)?24(a?1)?0,所以a??1.?3分 当a??1时, b?c?2a?16a?14=2(a?1)(a?7)?0. ??????6分 又当a?b时,由①,②得:c?a?16a?14, ③ 222222

ac?a2?4a?5 ④

将④两边平方,结合③得a(a?16a?14)?(a?4a?5);???????9分 化简得 24a?8a?40a?25?0,故(6a?5)(4a?2a?5)?0,

解得a??32222221?215,或a?.????????????????????11分 46

1?215,a?.?????????12分 46所以,a的取值范围为a>-1且a??

解法二:因为b?c?2a?16a?14,bc?a?4a?5,所以 2222

(b?c)2?2a2?16a?14?2(a2?4a?5)

?4a2?8a?4?4(a?1)2, ??????????????????3分

故b?c??2(a?1),又bc?a?4a?5;因此以b,c为一元二次方程 2

x2?2(a?1)x?a2?4a?5?0,??? ⑤ ??????????????5分 12

有两个不相等实数根,故??4(a?1)?4(a?4a?5)?0,所以a??1.

当a??1时, b?c?2a?16a?14=2(a?1)(a?7)?0. ??????6分 当a?b时,由⑤式有:a?2(a?1)a?a?4a?5?0, ????????9分 即:4a?2a?5?0或?6a?5?0,解得a?222222221?215或a??. ???11分 46

或当a?c时,同理也可得a??1?215或a?. 46

1?215,a?. ????????12分 46所以,a的取值范围为a??1且a??

点评:这是2006年的全国初中数学联赛试题,选择的意图在于提醒初中数学教师更加关注

2(x?y)、 x?y、xy、 一元二次方程的方程理论(根的判别式、韦达定理、根的分布),以及关于

(x?y)2 等等数式恒等变形的运用;关注它们的意图是:一是初中数学竞赛的热点问题;二是有助于高中数学学习的深化与运用;为初中学生的发展奠定更为扎实的基础而努力!

13

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