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2012年湖北黄冈初中数学竞赛初赛试题及详细答案

发布时间:2014-03-26 17:37:02  

2012年湖北黄冈初中数学竞赛初赛试题

一、选择题(每题5分,共25分)

1、已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一

a2b2c2

个公共根,则的值为( ) ??

bccaab

A、0 B、1

2

C、2 D、3

a2?b2

2、设a,b是整数,方程x+ax+b=0的一根是4?2,则的值为( )

ab

A、2 B、0 C、-2 D、-1 3、正实数a1,a2,….,a2011满足a1+a2+…..+a2011=1,P=3a1?1?a2?1?.....?a2011?1,则( )

A、p>2012 B、p=2012

C、p<2012 D、p与2012的大小关系不确定 4、如图,一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交

k于A、B两点,与反比例函数y?的图象相交于C、

x

D两点,分别过C、D两点作y轴,x轴的垂线,垂

足为E、F,连接CF、DE,有下列结论:①△CEF

与△DEF的面积相等;②EF∥CD;③△DCE≌△CDF;

k

④AC=BD;⑤△CEF的面积等于,其中正确的个

2N 数有( )

A、2 B、3 C、4 D、5

5、如图,正方形ABCE的边长为1,点M、N分别在BC、CD

M

上,且△CMN的周长为2,则△MAN的面积的最小值为( ) A、2?1

B、22?2

C、22

22?1 D、

(5题)

二、填空题(每题5分,共25分)

)1?201,1则6、已知实数x,y满足(x?x2?2011)(y?y2?201

3x2-2y2+3x-3y-2012=

7、已知实数a,b,c满足a+b+c=10,且11114abc

的?????,则

b?cc?aa?ba?bb?cc?a17

值是

L

8、 如图,在平面直角坐标系中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0)、A(0,6)、B(4,6)、C(4,4)、D(6,4),E(6,0),若直线L经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线L的函数表达式是

1

X

A

9、如图,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在

BC、CD边上,高AG与正方形的边长相等,连BD分别交AE、AF于点M、N,若EG=4,GF=6,BM=32,则MN

的长为

10、x2?2x?2?(x?2)2?16的最小值为B D

C 三、解答题

11、边长为整数的直角三角形,若其两直角边边长是方程x2-(k+2)x+4k=0的两根,求k的值,并确定直角三角形三边之长。(10分)

12、如图1,等腰Rt△CEF的斜边CE在正方形ABCD的边BC的延长线上,CF>BC,取线段AE的中点M 。

(1)求证:MD=MF,MD⊥MF(6分)

(2)若Rt△CEF绕点C顺时针旋转任意角度(如图2),其他条件不变。(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由。(6分) F A A

M B C E (图2) E (图1)

2

13、黄冈市三运会期间,武穴黄商有一种姚明牌运动装每件的销售价y(元)与时间x(周)之间的函数关系式对应的点都在如图所示的图象上,该图象从左至右,依次是线段AB、线段BC、线段CD,而这种运动装每件的进价Z(元)与时

12间x(周)之间的函数关系式为Z=?8x?8)?12(1≤x≤16且x为整数)

(1)写出每件的销售价y(元)与时间x(周)之间

的函数关系式;(4分)

(2)设每件运动装销售利润为w,写出w(元)与时间x(周)之间的函数关系式;(4分)

(3)求该运动装第几周出销时,每件运动装的销售利润最大?最大利润为多少?(6分)

3 周)

14、如图,以O为原点的直角坐标系中,A点的坐标为(0,3),直线x=-3交x轴于点B,P为线段AB上一动点,作直线PC⊥PO,交于直线x=﹣3于点C。过P点作直线MN平行于x轴,交y轴于M,交直线x=﹣3于点N。

(1)当点C在第二象限时,求证:△OPM≌△PCN;(4分)

(2)设AP长为m,以P、O、B、C为顶点的四边形的面积为S,请求出S与M之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;(6分)

(3)当点P在线段AB上移动时,点C也随之在直线x=-3上移动,△PBC是否可能成为等腰三角形?如果可能,求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标,如果不可能,请说明理由。(4分)

X

4

答案

1.D

解:

ax2+bx+c=0 (1)

bx2+cx+a=0 (2)

cx2+ax+b=0 (3)

(1) - (2) ,得(a-b)x2+(b-c)x+(c-a) = 0

(a-b)x2-[(a-b)-(a-c)]x+(c-a )= 0

x(a-b)(x-1)-(c-a)(x-1) = 0

(x-1)[x(a-b)-(c-a)] = 0

x=1是,又方程(1)和方程(2)恰有一个公共实数根,则此根为x=1 同理,由(1)和(3)、(2)和(3)同样解得公共实数根为x=1,代入(1),得 a+b+c=0 c=-(a+b)

a2b2c2a3?b3?c3a3?b3?(a?b)3

????bccaababcabc

?a?b?a?b?3ab?3ab?3ab(a?b)3abc???3abcabcabc333322

2.C 解:x?4?23?

把x??12?3?1 ?1代入原方程得?1+(?1)a?b?0 ?2

4?2?a?a?b?0

4?(a?2)?a?b?0

因为因a,b是整数,所以 ?a?b?4也是整数,

要使4?(a?2)?a?b?0必须使的系数为0

则有: a?2?0, 得a?2,

?a?b?4?0,得b??2

5

3.A

利用极值法当a1?1,则其它值都为0,得出函数的最小值,进而得出函数的取值范围

解:正数a1,a2,…,a2011,满足a1?a2??a2011?1

∴a1,a2,…,a2011中最大数小于等于1

P?a1?1?3a2?1??a2011?1,要使此式子最小

只要a1,a2,…,a2011中一个为1即可

∴当a1?1,则其他都为0

P?a1?1?3a2?1??a2011?1?2?1?1???1?2012 ∵a1,a2,…,a2011都是正实数

∴P?2012

4.C

k),则F(x,0). x解:设点D的坐标为(x,

由函数的图象可知:x>0,k>0. 11k1DF?OF???x?k 22x2

1同理可得S?CEF?k 2∴S?DEF?

故S?DEF?S?CEF , ① 正确

若两个三角形以EF为底,则EF边上的高相等,故CD∥EF,即AB∥EF, ∴△AOB∽△FOE. ④ 正确

③条件不足,无法得到判定两三角形全等的条件,故③错误;

∵CD∥EF,DF∥BE,AF//CE

∴四边形DBEF、ACEF是平行四边形,

∴AE=EF,BD=EF即AC=EF=BD,

∴BD=AC,

∴AC+AB=BD+AB

∴BC=AD ② 正确 ,因此正确的结论有3个:① ② ④.

6

5.A

△ADN绕A顺时针旋转90o,到达△ABL.

MN=MB+BL=MB+DN=1-CM+1-CN=2-﹙CM+CN﹚=MN

∴△AMN≌△AML﹙SSS﹚

∴∠MAN=∠MAL=45o

S?MAN?S?MAL?12MNAB?ML??MN 22

设CN=x, CM=y,则x2+y2=MN2 2-﹙x+y﹚=MN 消去MN

得到﹙2-x﹚﹙2-y﹚=2﹙常数﹚

∴﹙2-x﹚=﹙2-y﹚即x=y时,﹙2-x﹚﹢﹙2-y﹚=4-﹙x+y﹚=2+MN有最小值。 此时 x=y=2-√2, MN=2-2x=4﹙√2-1﹚≈1.656854249 [△MAN的面积的最小值. ]

7. 17

10?(b?c)10?(c?a)10?(a?b) ??b?cc?aa?b

101010 =???3 b?cc?aa?b

140 =?3 17

89 = 17

1118.y??x? 33

解:原式=

7

9.52

10.

11.

解:设直角边为a,b(a<b),则a+b=k+2,ab=4k,因为方程的根为整数,

故△=(k+2)2-16k为完全平方数。

设(k+2)2-16k=n2

∴k2-12k+4=n2

∴(k-6)2-n2=32

∴(k+n-6)(k-n-6)=1×32=2×16=4×8

∵k+n-6>k-n-6

∴??k?6?n?32?k?6?n?16?k?

?k?6?n?1或??k?6?n?2或?n?6?32

?k?n?6?1 解得k45

1?2(舍去),k2?15,k3?12

当k2?15时,a+b=17,ab=60

∴a=15 , b=12 , c=13;

当k3?12时,a+b=14,ab=48

∴a=6 , b=8 ,c=10

8

12.

9

13、(1)

?20?2(x?1)(1?x?6且x为整数)?2x?18(1?x?6且x为整数)??y??30(6?x?11且x为整数)即y??30(6?x?11且x为整数) ?30?2(x?11??2x?52()12?x?16且x为整数)(12?x?16且x为整数)??

1?220?2x?(x?8)?14(1?x?6且x为整数)?8?1?(6?x?11且x为整数) (2)w??30?x-8)2-128??12x-8)-2x?40(12?x?16且x为整数)?8?

?12?8x?14(1?x?6且x为整数)

??1(6?x?11且x为整数) (3)由(2)化简得w??x2?2x?26

?8

?12(12?x?16且x为整数)?8x?4x?48?

12w有最大值,最大值为18.5 x?14时 ∵1≤x≤6 ∴当x=6时,8

11②当w?x2?2x?26?(x?8)2?18 88①当w?

10

1∵6≤x≤11,故当x=11时,w有最大值,最大值为19 8

11③当w?x2?4x?48时,即w?(x?16)2?16 88

∵12≤x≤16 ∴当x=12时,w有最大值为18

1综上所述,当x=11时,w有最大值为19 8

1答:该运动装第11周出售时,每件利润最大,最大利润为19 8

14、(1)略 ?125232m?m?9........(0?x?)??222(2)S??

?32m...................(32?x?32)?2?4

(3)P1(0,3) P2(?

3232,3?) 22

11

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