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2013年全国初中数学竞赛试题及答案

发布时间:2014-03-27 09:13:57  

2013年全国初中数学竞赛试题

??a+2b+3c=0ab+bc+ca1.设非零实数a,b,c,满足?则的值为( ) a+b+c?2a+3b+4c=0?

11 (A)— (B)0 (C(D)1 22

2.已知a,b,c是实常数,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个非零实根x1,x2,则下列关于x的

11一元二次方程中,以 ) x1 x2 (A)c2x2+(b2-2ac)x+a2=0 (B)c2x2—(b2-2ac)x+a2=0

(C)c2x2+(b2-2ac)x—a2=0 (D)c2x2—(b2-2ac)x—a2=0

3.如图,在Rt△ABC中,已知O是斜边AB的中点,CD⊥AB,垂足为D,DE⊥OC,垂足为E,若AD,DB,CD的长度都是有理数,则线段OD,OE,DE,AC的长度中,不一定是有理数的为( ) ...

(A)OD (B)OE (C)DE (D)AC

4.如图,已知△ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且BC=4CF,DCFE是平行四边形,则图中阴影部分的面积为( )

(A)3 (B)4 (C)6 (D)8

3x3y+3x2y2+xy3+455.对于任意实数x,y,z,定义运算“*”为:x?y=, (x+1)+(y+1)—60

(x?y)?z,则2013?2012???3?2的值为( ) 且x?y?z=

6071821546316389 (A)(B)(C) (D 967 967 967 967

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.设a

,b是a2的小数部分,则(b+2)3的值为____________.

7.如图,点D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点,直线BD与CE交于点F,已知△CDF,△BFE,△BCF的面积分别为3,4,5,则四边形AEFD的面积是____________.

8.已知正整数a,b,c满足a+b2—2c—2=0,3a2—8b+c=0,则abc的最大值为__________.

9.实数a,b,c,d满足:一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a,b,一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c,d,则所有满足条件的数组(a,b,c,d)为___________________________________.

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,圆珠笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共350支,当天虽然笔没有卖完,但是他的销售收入恰好是2013元,则他至少卖出了__________支圆珠笔.

E O D (第3题) (第4题) (第7题)

第 1 页 共 7 页 D

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.如图,抛物线y=ax2+bx—3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OB=OC=3OA,

1直线y=—2+1与y轴交于点D,求∠DBC-∠CBE. 3

12.设△ABC的外心,垂心分别为O,H,若B,C,H,O共圆,对于所有的△ABC,求∠BAC所有可能

的度数.

13.设a,b,c是素数,记x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,当z2=yx-y=2时,a,b,c能否构成三角形的三边长?证明你的结论.

14.如果将正整数M放在正整数m左侧,所得到的新数可被7整除,那么称M为m的“魔术数”(例如,把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数).求正整数n的最小值,使得存在互不相同的正整数a1,a2,?,an,满足对任意一个正整数m,在a1,a2,?,an中都至少有一个为m的魔术数.

2013年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1.【答案】A

0故(a?b?c)2?0.于是 【解答】由已知得a?b?c?(2a?3b?4c)?(a?2b?3c)?,

1ab?bc?ca1??ab?bc?ca??(a2?b2?c2),所以2. 22a?b?c22

2.【答案】B

2 【解答】由于ax?bx?c?0是关于x的一元二次方程,则a?0.因为x1?x2??bc,x1x2?,aa

11(x1?x2)2?2x1x2b2?2ac11a2

且x1x2?0,所以c?0,且 2?2?,2?2?2,

?222x1x2cx1x2x1x2c

第 2 页 共 7 页

b2?2aca2112x??0,于是根据方程根与系数的关系,以2,2为两个实根的一元二次方程是x?c2cx1x2

即c2x2?(b2?2ac)x?a2?0.

3.【答案】D

【解答】因AD,DB,CD的长度都是有理数,所以,OA=OB=

OC=AD?BD是有理数.于是,OD=OA-AD是有理数. 2

3题)(第(第3题答题)

DC·DOOD2

由Rt△DOE∽Rt△COD,知OE?,DE?都是有OCOC

理数,而AC

4.【答案】C

【解答】因为DCFE是平行四边形,所以DE//CF,且EF//DC.

连接CE,因为DE//CF,即DE//BF,所以S△DEB = S△DEC,

因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积.

连接AF,因为EF//CD,即EF//AC,所以S△ACE = S△ACF.

因为BC?4CF,所以S△ABC = 4S△ACF.故阴影部分的面积为6.

5.【答案】C

【解答】设2013?2012???4?m,则

(第4题)

(第4题答题) ?2013?2012???4??3?m?3

3m3?3?3m2?9?m?27?45??9, m3?3m2?3m?1?64?60

3?93?2?3?92?22?9?23?455463?于是?2013?2012???3??2?9?2?. 3310?3?60967

二、填空题

6.【答案】9

2 【解答】由于1?a?2?a?

3,故b?a?2?

2,因此(b?2)3?3?9. 27.【答案】204 13

【解答】如图,连接AF,则有:

S?AEF?4S?AEF?S?BFEBFS?BCF5=???, S?AFDS?AFDFDS?CDF3

S?AFD?3S?AFD?S?CDFCFS?BCF5????,

S?AEFS?AEFFES?BEF4

第 3 页 共 7 页 (第7题答题)

10896,S?AFD?. 1313

204所以,四边形AEFD的面积是. 13解得S?AEF?8.【答案】2013

【解答】由已知a?b?2c?2?0,3a?8b?c?0消去c,并整理得 22

?b?8?2?6a2?a?66.由a为正整数及6a2?a≤66,可得1≤a≤3.

2若a?1,则?b?8??59,无正整数解;

若a?2,则?b?8??40,无正整数解;

若a?3,则?b?8??9,于是可解得b?11,b?5.

(i)若b?11,则c?61,从而可得abc?3?11?61?2013; (ii)若b?5,则c?13,从而可得abc?3?5?13?195. 综上知abc的最大值为2013. 22

,?2,,1?2),(t,,0?t,0)(t为任意实数) 9. 【答案】(1

?a?b??c,

??ab?d,【解答】由韦达定理得? c?d??a,??cd?b.?

由上式,可知b??a?c?d.

若b?d?0,则a?db?1,c??1,进而b?d??a?c??2. bd

bcd)?(t,,0?t,0)(t为任意实数)若b?d?0,则c??a,有(a,,,.

?2,,1?2)与(t,,0?t,0)(t为任意实数)满足条件. 经检验,数组(1,

10.【答案】207

【解答】设x,y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数,则??4x?7y?2013, x?y?350,?

2013?7yy?1?(503?2y)?, 44

y?1于是是整数.又2013?4(x?y)?3y?4?350?3y, 4所以x?

所以y?204,故y的最小值为207,此时x?141.

三、解答题

第 4 页 共 7 页

211.如图,抛物线y?ax?bx?3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,

且OB=OC=3OA.直线y??

求∠DBC?∠CBE. 1x?1与y轴交于点D. 3

1x?1,y?ax2?bx?3知,D(0,3

1x?1过点B. 3

(第11题)

【解答】将x?0分别代入y??1),C(0,?3), 所以B(3,0),A(?1,0).直线y?? 将点C(0,?3)的坐标代入y?a(x?1)(x?3),得a?1.

抛物线y?x2?2x?3的顶点为E(1,?4).于是由勾股定理得

BC=CEBE=

因为BC2+CE2=BE2,所以,△BCE为直角三角形,?BCE?90?. (第11题答题)

CE1OD1?,则∠DBO=?CBE.=.又tan∠DBO= CB3OB3

所以,?DBC??CBE??DBC??DBO??OBC?45?. 因此tan?CBE=

H,O共圆,对于所有的△ABC,求?BAC12.设△ABC的外心,垂心分别为O,H,若B,C,

所有可能的度数.

【解答】分三种情况讨论.

(i)若△ABC为锐角三角形.

因为?BHC?180???A,?BOC?2?A,

所以由?BHC??BOC,可得180???A?2?A,于是?A?60?.

(第12题答题(i))

(ii)若△ABC为钝角三角形. (第12题答题(ii))

当?A?90?时,因为?BHC?180???A,?BOC?2?180???A?,

第 5 页 共 7 页

所以由?BHC??BOC?180?,可得3?180???A??180?,于是?A?120?。

当?A?90?时,不妨假设?B?90?,因为?BHC??A,?BOC?2?A,

所以由?BHC??BOC?180?,可得3?A?180?,于是?A?60?.

(iii)若△ABC为直角三角形.

当?A?90?时,因为O为边BC的中点,B,C,H,O不可能共圆,

所以?A不可能等于90?;

当?A?90?时,不妨假设?B?90?,此时点B与H重合,于是总有B,C,H,O共圆,因此?A可以是满足0???A?90?的所有角.

综上可得,?A所有可能取到的度数为所有锐角及120?.

13.设a,b,c是素数,记x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,

当z2?y,?2时,a,b,c能否构成三角形的三边长?证明你的结论.

【解答】不能. 111(y?z),b?(x?z),c?(x?y). 222

112z(z?1)因为y?z2,所以a?(y?z)?(z?z)?. 222

又由于z为整数,a为素数,所以z?2或?3,a?3. 依题意,得a?

当z?

2时,y?z2?4,x?2)2?16.进而,b?9,c?10,与b,c是素数矛盾;

当z??3时,a?b?c?0,所以a,b,c不能构成三角形的三边长.

14.如果将正整数M放在正整数m左侧,所得到的新数可被7整除,那么称M为m的“魔术数”(例如,把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数).求正整数n的最小值,使得存在互不相同的正整数a1,a2,…,an,满足对任意一个正整数m,在a1,a2,…,an中都至少有一个为m的魔术数.

【解答】若n≤6,取m?1,2,?,7,根据抽屉原理知,必有a1,a2,…,an中的一个正整数M是i,j(1≤i<j≤7)的公共的魔术数,即7|(10M?i),7|(10M?j).则有7|(j?i),但0<j?i≤6,矛盾.

故n≥7.

又当a1,a2,…,an为1,2,?,7时,对任意一个正整数m,设其为k位数(k为正整数).则10i?m(i?1,,2?,7)被7除的余数两两不同.若不然,存在正整数i,j(1≤i<j≤7),满足7|[(10j?m)?(10i?m)],即7|10(j?i),从而7|(j?i),矛盾. kkkk

第 6 页 共 7 页

故必存在一个正整数i(1≤i≤7),使得7|(10ki?m),即i为m的魔术数. 所以,n的最小值为7.

第 7 页 共 7 页

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