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趣味数学150:“11111...111”节选

发布时间:2014-03-27 10:47:40  

选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》

第十一章 11111?111(节选)

由清一色的1重复有限次所组成的数,引起人们很大的兴趣。这样的数可以称为“重一数”。人们为了求出重一数的因子花掉不少时间。

这类数可以记为

10x+10x-1+10x-2+?+102+10+1。

这是在求一个等比数列100,101,102,?,10x-1,10x之和。根据等比数列求和公式 S=a(qx+1-1)/(q-1) (q—公比,a—首项)

这里,q=10,a=1,于是,总和就是(10x+1-1)/9。这样一来,问题就转化为怎样找到形如10y-1的数的因子。

10y-1型的数很像梅森数2n-1的样子,只是2变成了10。在第三章研究梅森数的时候,曾经得出,n只能是质数;当n是合数时,2n-1可以分解因式。同理,y也只能是质数;当y是合数时,10y-1也可以分解因式。

先来看y是合数的情况:

当y为偶合数时,重一数为合数。如

104-1=(102)2-1=(102+1)(102-1)=101×99,(104-1)/9=101×11=1111;

106-1=(103)2-1=(103+1)(103-1)=1001×999,(106-1)/9=1001×111=111111;

108-1=(104)2-1=(104+1)(104-1)=10001×9999,(108-1)/9=10001×1111=11111111。

当y为奇合数时,重一数也为合数。如

109-1=(103)3-1=(103-1)[(103)2+103+1]=999×[106+103+1]=999×[1000000+1000+1]=999×1001001,(109-1)/9=111×1001001=111111111;

1015-1=(105)3-1=(105-1)[(105)2+105+1]=99999×[1010+105+1]=99999×[10000000000+100000+1]=99999×10000100001,(1015-1)/9=11111×10000100001=111111111111111。

当y为不大的质数时,情况如下:

质数 重一数(10x+1-1)/9 性质 2 11 质数

3 111=3×37 合数 5 11111=41×271 合数 7 1111111=239×4649 合数 11 11111111111=21649×513239 合数 13 1111111111111=53×79×265371653 合数 17 11111111111111111=2071723×5363222357 合数 19 1111111111111111111 质数 23 11111111111111111111111 质数

从上面的数据可以想到,当重一数是合数时,随着位数的增加,找到其因子将会变得越来越困难。

现在,可以对重一数总结如下:

当重一数的位数是合数时,重一数都是合数;当重一数的位数是质数时,重一数有时是质数,有时是合数,并且,分解的难度越来越大。

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