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趣味数学146:“难解饥渴”节选

发布时间:2014-03-27 10:47:44  

选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》

第七章 难解饥渴(节选)

一位不显眼的英国法官约翰·威尔逊爵士(Sir John Wilson),在数学忠烈祠中居然被供奉着,因为他发现了数论中一种极为罕见的关系,并且可逆。

下面就是他的发现:

取从1到某个质数所有连续正整数的乘积,例如从1乘到11,即11的阶乘11!。显然11!能被从1到11的一切整数整除。现在略去11,得10!,无疑10!不能被11整除。然而,如果给10!加上1的话,1×2×3×4×5×6×7×8×9×10+1=3628801,怎么也想不到,3628801却能被11整除(3628801÷11=329891)。类似地,从1到质数7的阶乘中略去7,再加上1,得1×2×3×4×5×6+1=721,721也能被7整除(721÷7=103)。11和7都是质数。此种整除性对一切质数都成立,但对合数却不成立。

把上面所说的加以推广,就得到威尔逊定理:

当且仅当p为质数时,(p-1)!+1能被p整除。

看来,终于找到了一种测试质数的方法:

根据威尔逊定理,要判断一个数是不是质数,只要把从1到比这个数小1的数连乘起来,再加上1,如果所得的积能被这个数整除,这个数就是质数,否则就是合数。

下面就从2开始,按照这个方法测试一下:

n (n-1)! (n-1)!+1 [(n-1)!+1]÷n的余数 数性 2 1 2 0 质数 3 2 3 0 质数 4 6 7 3 合数 5 24 25 0 质数 6 120 121 1 合数 7 720 721 0 质数 8 5040 5041 1 合数 9 40320 40321 1 合数 10 362880 362881 1 合数 11 3628800 3628801 0 质数 12 39916800 39916801 1 合数

13 479001600 479001601 0 质数 14 6227020800 6227020801 1 合数 15 87178291200 87178291201 1 合数 果然正确无误!不过,观察发现,随着n的缓慢增加,(n-1)!却迅速增长起来,即使n=15,(n-1)!已经是一个11位数。设想,如果要判断一个六数421783是不是质数,就要首先从1乘到421782,工作量已经大得惊人,根本无法使用此中判别法。所以,这个定理在测试一个数是否是质数方面,只有理论价值而并不实用。真叫人“难解饥渴”!

威尔逊定理有许多美妙的推论。比如,形如4x+1的质数,一定可以表示为两个整数的平方和,而且表达方法是唯一的;而形如4x-1的质数,不可能是两个整数的平方和。

下面就是100以内的质数(除了2以外),按两种类型归类的情况: 质数 4x+1型=a2+b2 4x-1型

3 4×1-1

5 4×1+1=22+12

7 4×2-1

11 4×3-1

13 4×3+1=32+22

17 4×4+1=42+12

19 4×5-1

23 4×6-1

29 4×7+1=52+22

31 4×8-1

37 4×9+1=62+12

41 4×10+1=52+42

43 4×11-1

47 4×12-1

53 4×13+1=72+22

59 4×15-1

61 4×15+1=62+52

67 4×17-1

71 4×18-1

73 4×18+1=82+32

79 4×20-1

83 4×21-1

89 4×22+1=82+52

97 4×24+1=92+42

因为所有的质数,除了2以外都是奇数,而等于或大于3的奇数都可以写成4x+1或4x-1的形式,所以,威尔逊定理的这个推论,覆盖了2以外所有的质数。这就使人们对质数的认识,又向前跨进了一步。

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