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2012年数学思维训练营

发布时间:2014-03-28 09:05:36  

目 录

一、这样计算对吗????????????? (1)

二、谁来帮我算路程???????????? (3)

三、多长时间能追上???????????? (6)

四、你会解决水上航行问题吗???????? (8)

五、牛吃草里还有数学问题你相信吗?????(10)

六、共有多少条线段你知道吗????????(12)

七、不规则图形的面积知道怎么算吗?????(15)

八、可以用别的方法解这些题吗???????(18)

九、当结果不唯一时该怎么解决呢??????(21)

十、你会解决整除问题吗??????????(23)

十一、谁能帮我分解质因数?????????.(25)

十二、你会求最大公约数吗????????? (28)

十三、你会求最小公倍数吗???????? ?(30)

十四、你知道神奇的奇数与偶数吗???? ??(32)

十五、如何巧算表面积????????? ??(34)

十六、你知道包含与排除原理吗?????? ? (37)

一、这样计算对吗?

寒假里一天,笑笑和淘气坐在院子里的一棵大树下一起完成数学作业。笑笑看到淘气摇头晃脑一副不认真的样子,对淘气说:“淘气咋俩比赛做计算题,怎么样?”诶!可以呀。淘气这下可是来了劲!心想我的计算速度可是班里公认的快呀!于是他们打开寒假作业来完成下面四道题了。

(1)439.8×5 (2)574.62×25 (3)47.39÷0.5 (4)12.348÷0.25 笑笑很快就算完了,可淘气还在那列竖式飞笔疾书呢。等淘气算完两人一对答案,两人就开始闹矛盾,说笑笑赖皮。到底是怎么回事呢?我们来一起看看笑笑她是怎么解这几道题的。

(1)439.8×5 (2)574.62×25

=4398÷2 =57462÷4

=2194.5 =14365.5

(3)47.39÷0.5 (4)12.348÷0.25

=473.9÷5 =1234.8÷25

=473.9×2÷10 =1234.8×4÷100

=947.8÷10 =4939.2÷100

=94.78 =49.392

【思维导航】

(1) 439.8×5、由于5=10÷2,因此,可以先把438.9乘10,再除以2,所得的商就是

438.9×5的积。

(2)574.62×25、 由于25=100÷4因此,可以先把574.62乘100,再除以4,所得的商

就是574.62×25 的积。

亲爱的小朋友们笑笑这样计算对吗?开动你们的小脑筋想想(3)和(4)的计算又是怎么回事呢?

【思维热身】

(1)1.25×0.25×0.05×64(提示:根据数字特点,为了凑整,将64分解成2×4×8,然后根据乘法交换律和结合律进行简算。)

(2)9.728÷3.2÷2.5(提示:由运算性质改变运算顺序,使运算变得简便。即a÷b÷c=a÷(b×c)、)

(3)9.86×1.4(提示:9.86=10-0.14)

(4)0.525÷13.125÷4×82.5(提示:13.125×4=52.5)

1

(5)100.01×0.5÷0.37×4.44÷1.37(提示:100.01÷1.37=73、4.44÷0.37=12)

【思维体操】

(1)下面的除法算式商最大的是( )。

A、2.021÷0.08 B、2021÷8

C、2021÷0.8 D、2.021÷08

(2)下面的乘法算式积最大的是( )。

A、999.9×99.99 B、999.9×999.9

C、9999×99 D、99.99×99.99

(3)C.DE×A.B=A.CDE是用字母表示的一个小数乘法算式,题中每一个字母表示一个数字,如果A.CDE〈C.DE,则A.B这个小数是( )。

A、1.5 B、0.1 C、1.1 D、0.2

(4)0.99÷4.5 (5)3.6÷2.5

(6)0.5×0.8×0.04×1.25×0.2×0.025 (7)4.6×72×53÷4.6÷72÷53

(8)(4.8×7.5×8.1)÷(2.4×2.5×2.7) (9)1.25×0.25×64×3.176×0.5

(10)4.27÷26.8×3.59÷42.7×2.68÷35.9 (11)0.5×2.5×96×0.125

(12)5.6×16.5÷0.7÷1.1 (13)152.3×4.8-4.8×31.15-4.8×21.15

(14)6.3×27+1.9×21 (15)2.4×7.6+6.5×7.6+0.76+7.6

(16)0.0495×2500+495×0.24+51×4.95

2

(17)1340×3.4+660×8.2+1.34×2300+134×54+0.66×2900

(18) 0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9+99999.9+999999.9

【思维乐园】

二、谁来帮我算路程?

浏阳是个好地方,能旅游的地方有很多。清晨就有一辆小轿车和一辆旅游大巴车它们以不同的速度分别从大围山和长沙相对开出,第一次两车在距离大围山60千米的地方相遇了。相遇后两辆车继续以原来的速度前行,它们分别到长沙和大围山后又立即返回,第二次又在离长沙

20千米的地方相遇了。两地之间的路程是多少千米呢?

【思维导航】

这里并没有告诉我们轿车和大巴车的速度和相遇时间,给解决问题增加了难度我们可以借助线段图来研究这个问题。

图中表示的是从长沙出发的小轿车所走的路线。实线是第一次相遇时小轿车所行的路程,虚线是小轿车从第一次相遇到第二次相遇又行的路程。由于两车合行一个全程时,轿车正好行驶60千米,两车两次相遇正好合行了3个全程,所以,小轿车一共行了60×3=180(千米),从图中可以看出:180+20=200(千米)正好是两个全程。所以,长沙和大围山之间的路程就是200÷2=100(千米)

(60×3+20)÷

2=100(千米)

答:两地之间的路程是100千米。

【思维热身】

(1)甲、乙两车同时从A、B两站相对开出,两车第一次相遇时离A站50千米,相遇后两车各以原速继续行驶,到达B、A两站后立即原路返回,第二次相遇时离B站30千米。如此开下去,则第三次相遇在何处?(提示:1、先求出两站之间的距离。2、再求出甲车三次相遇一共行驶了几个50千米。两车第一次相遇时甲车行驶了1个50千米。第二次相 3

遇时甲车行驶了3个50千米,第三次相遇时甲车就行驶了5个50千米。3、看甲所行驶的总路程里有多少个全程还余多少千米。)

(2)甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出,甲车每小时行56千米,乙车每小时行48千米,两车在距中点32千米处相遇。东西两地相距多少千米?(提示:在相等的时间里,甲车行驶了全程的一半多32千米,乙车行驶了全程的一半少32千米,也就是甲车比乙车多行了32×2=64(千米),由于每小时甲车比乙车多行56-48=8(千米),64÷8=8(小时),即甲、乙两车是经过8小时在途中相遇的。知道了速度和时间问题也就可以解决了。)

(3)甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去,甲每小时比乙快6千米,中午12时甲到西村后立即返回东村,在距西村15千米处遇到乙。东西两村的距离是多少千米?(提示:在距西村15千米处遇到乙,说明甲比乙多行了15×2=30(千米),甲每小时比乙快6千米,所以,相遇时甲行了30÷6=5(小时)而甲从东村到西村用了12-8=4(小时),因此,甲从西村出发到相遇所行的15千米用了5-4=1(小时)甲的速度是每小时15千米,东西两村相距15×4=60(千米)、 )

(4)甲、乙两人骑自行车同时从东西两地相向而行,经过8小时可以相遇。如果甲每小时少行1千米,乙每小时多行3千米,这样经过7小时就能相遇。东西两地相距多少千米?(提示:甲每小时少行1千米,乙每小时多行3千米,甲乙两人的速度和就比原来多3-1=2(千米),这样就可以求出7小时一共多行的路程,它正好与后来比原来少用的时间相对应。这样就可以速度和。问题就可以解决了)

【思维体操】

(1)甲、乙两车同时从A、B两地相向而行,在距A地60千米处相遇。它们各自到达对方车站后立即返回,途中又在距A地40千米处相遇。求A、B两地相距多少千米?

(2)客货两车同时从甲乙两地相对开出,第一次相遇在离乙地80千米的地方。相遇后继续行驶,到达对方出发点后立即返回。第二次相遇在距离甲地50千米处。求甲乙两地间的路程。

(3)两辆汽车同时从东西两站相对开出,第一次在离东站60千米处相遇。之后两车原速前进,各车到站后立即返回,又在中点西侧30千米处相遇。两站相距多少千米?

(4)甲、乙二人上午7时同时从A地去B地,甲每小时比乙快8千米,上午11时甲到达 4

B地后立即返回,在距B地24千米处和乙相遇。求A、B两地相距多少千米?

(5)甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行,匀速前进。如果各人按原定速度前进,则4小时相遇;如果两人各自都比原计划每小时少走1千米,则5小时相遇。求A、B两地相距多少千米?

(6)甲、乙两车从相距480千米的两地同时相向而行,6小时相遇。如果两车各自每小时加快8千米,那么相遇点距前一次相遇点4千米,已知乙车比甲车快,求甲车每小时行多少千米?

(7)甲、乙两人同时从两地骑车相向而行。甲每小时行15千米,乙每小时行13千米,两人在距中点3千米处相遇。求两地间的路程。

(8)甲、乙两人同时从A地到B地,甲每分钟走250米,乙每分钟走90米。甲到达B地后立即返回,在离B地3.2千米处与乙相遇。A、B两地相距多少?

(9)小平和小红同时从学校出发步行到少年宫。小平每分钟比小红多走20米,30分钟后小平到达少年宫就立即返回学校,在距离少年宫350米处于遇到小红。小红每分钟走多少米?

(10)小王、小张步行的速度分别是每小时4.8千米和5.4千米。小李骑车的速度是每小时10.8千米。小王、小张从甲地到乙地,小李从乙地到甲地,三人同时出发,在小张与小李相遇6分钟后,小王又与小李相遇。小李骑车从乙地到甲地需要多长时间?

(11)客、货两车同时从甲、乙两地相对开出,途中相遇后继续前进,各到达对方出发地后立即返回,途中第二次相遇,两次相遇地点相距120千米。客车每小时行60千米,货车每小时行48千米,甲、乙两地相距多少千米?

三、多长时间能追上?

第25届“活塞杯”汽车人大赛正在汽车城进行着,比赛现场异常火爆。下面进行的是一场追逐赛。先有“卡卡”以每小时60千米的速度开出,30分钟后“闪电麦坤”以每小时84千米的速度沿着“卡卡”的路线去追击。“闪电麦坤”经过多少时间能追上“卡卡”?

【思路导航】

当“闪电麦坤”出发时,“卡卡”已行了60÷60×30=30(千米)。而“闪电麦坤”每小时比“卡卡”快84-60=24(千米),也就是说“闪电麦坤”每小时可以追“卡卡”24千米。30千米里有几个24千米,就是要追击的小时数。

60÷60×30÷(84-60)

=30÷24

=1.25(小时)

答:“闪电麦坤”经过1.25小时追上“卡卡”。

【思维热身】

(1)笑笑和淘气两人骑摩托车同时从乌鲁木齐出发去吐鲁番,笑笑的摩托车每小时行35千米,淘气的摩托车每小时行40千米。途中淘气的摩托车因故障修车用去了3小时,结果淘气比笑笑迟1小时到达吐鲁番。乌鲁木齐到吐鲁番的路程是多少千米?(提示:淘气在途中因故障修车用去了3小时,可以看做一开始淘气就因故障比出发时间迟到了3小时。再由“淘气比笑笑迟到目的地1小时”想到,这1小时笑笑已经休息了,而淘气还在行驶,也可以看成笑笑比原来出发时间迟到1小时。这样,就相当于淘气比笑笑迟开了2小时,然后两人同时到达目的地。)

(2)甲、乙两地相距48千米,其中一部分是上坡路,其余是下坡路。丽丽骑自行车从甲地到乙地后,沿原路返回,去时用了4小时12分,返回时用了3小时48分。已知自行车上坡是每小时10千米,求自行车下坡时每小时行多少千米?(提示:去时为上坡路,返回时即为下坡路;去时为下坡路,返回时即为上坡路。也就是说丽丽一个来回总共走了一个48千米的上坡路又走了一个48千米的下坡路。通过已知条件可以算出往返所用的总时间和上坡时所用的总时间,下坡的总时间也就可以求出了,最后的问题自然可以解决了。)

(3)强强和乐乐是一对好朋友,有一天强强坐在汽车上发现乐乐步行向相反的方向走去,10秒钟后汽车停住,强强下车去追乐乐,已知强强跑步速度是乐乐步行速度的3倍,汽车的速度比乐乐步行速度快10倍,强强追上乐乐需要多少秒钟?(提示强强在A点发现乐乐 ,10秒钟后汽车停住,强强在B点,乐乐在C点,BC之间的路程为(1+10+1)×10=120,强强比乐乐每秒多行3-1=2,路程和追及速度已知了,追及时间也就可以求出了。)

6

【思维体操】

(1)、哥哥放学回家,以每小时6千米的速度步行。18分钟后,弟弟也从同一学校放学回家。弟弟骑自行车以每小时15千米的速度追哥哥。几分钟能追上哥哥?

(2)两辆卡车为同一个村子运送化肥,第一辆车以每小时30千米的速度从仓库出发。12分钟后,第二辆车以每小时40千米的速度从仓库中也开往同一个地方。结果两辆汽车同时到达。仓库到王村的路程是多少?

(3)青青每分钟走100米,贝贝每分钟走80米。两人同时同地背向行了5分钟后,青青调转方向去追贝贝,追上贝贝时,青青一共行了多少米?

(4)A、B两地相距20千米,甲、乙两人同时从A地出发去B地。甲骑车每小时行10千米,乙步行每小时行5千米。甲在途中停了一段时间修车。乙到达B地时,甲比乙落后2千米。甲修车用了多长时间?

(5)甲、乙两人各骑自行车由同地去相距6000米的某地,乙比甲先出发10分钟,而甲比乙先到5分钟,甲到达某地时,乙在甲后面1000米,求甲每分钟行多少米?

(6)南北两镇之间全是小路。某人上山每小时走2千米,下山每小时走5千米。他从南镇到北镇要走38小时,从北镇到南镇要走32小时。两镇之间的路程是多少千米?从南镇到北镇时,上山路和下山路各是多少千米?

(7)有一路电车的起点和终点分别是甲站和乙站。每隔5分钟有一辆车从甲站开往乙站,行全程要用15分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发时恰好有一辆电车到乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。才到达甲站,这时候恰好有一辆电车从甲站开出。问:他从乙站骑车到甲站用了多少分钟?

【思维乐园】

青蛙在井底向上爬,井深10米,青蛙每次跳上5米,又滑下来4米,像这样青蛙需跳几次方可跳出井外?

A、5次 B、6次 C、9次 D、10次

7

四、你会解决水上航行问题吗?

亲爱的小朋友们你们知道吗?船在江河里航行,除了船本身的前进速度外,还受水速、风速等因素的影响,从而产生了顺水、逆水等一系列有规律可循的问题。当遇到这样的问题我们又该怎样解决呢?一起来看看吧! 甲、乙两个港口之间相距360千米,一艘轮船往返两港需要35小时,逆流航行比顺流航行多花了5小时。现在有一帆船在静水中的速度是每小时12千米,这一帆船往返两港要多少小时?

【思路导航】

因为我们已经知道了帆船在静水中的速度,要求帆船往返两港的时间,就必须首先求出水速。又因为已知轮船逆流航行与顺流航行的时间及它们是时间差,用和差问题的解法便可求出轮船逆流航行和顺流航行的时间,进而求出它们的逆流速度和顺流速度。在此基础上再用解和差问题的方法求出水速。

轮船逆流航行的时间:(35+5)÷2=20(小时)

轮船顺流航行的时间:(35-5)÷2=15(小时)

轮船的逆流速度: 360÷20=18(千米/小时)

轮船的顺流速度: 360÷15=24(千米/小时)

水速:(24-18)÷2=3(千米/小时)

帆船的顺流速度:12+3=15(千米/小时)

帆船的逆流速度:12-3= 9(千米/小时)

帆船往返两港需要的时间:

360÷15+360÷9=64(小时)

答:帆船往返两港需要的64小时。

【思维热身】

(1)帆船在静水中的速度是每小时15千米,它从上游甲地开往下游乙地共用了8小时,水速每小时3千米,问从乙地返回甲地需要多少小时?(提示:要求船从乙地返回甲地需要多少小时,首先分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。甲乙路程=顺水速度×时间、逆水速度=船速-水速)

(2)轮船在静水中的速度是每小时21千米,轮船自甲港逆水航行8小时到达相距144千米的乙港,再从乙港返回甲港需要多少时间?(提示:要求从乙地返回甲地需要多少小时,即是求从乙港顺水返回甲港需要多少时间,必须求出轮船的顺水速度。已知船速是每小时21千米,还需求出水流的速度,为此要先求出轮船逆水航行的速度)

(3)小华和小明坐一艘小船,向上游划去,不慎把水壶掉进江中,当他们发现并调过船头时,水壶与船已经相距2千米。假定小船的速度是每小时4千米,水流速度是每小时2千米,那么他们追上水壶需要多少小时?(提示:这是水中的追及问题,已知路程差是2千米,船在顺水中的速度是船速+水速。水壶漂流的速度等于水速,所以速度差=船顺水速度-水壶漂流的速度=(船速+水速)-水速=船速,路程差÷船速=追及时间。

8

(4)某河有相距90千米的上、下两个码头,每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相向而行。一天甲船从上游码头出发时掉下一物,此物浮于水面顺水飘下,2分后与甲船相距1千米,预计乙船出发后几小时与此物相遇?(提示:相遇时间=相遇距离÷(浮物速度+乙船速度),这里的浮物速度就是水流速度,所以相遇时间=相遇距离÷〖水速+(乙船速度-水速)〗=相遇距离÷乙船速度 )

【思维体操】

(1)一艘每小时行25千米的客轮,顺水航行140千米,水速是每小时3千米,需要航行几小时?

(2)一艘小船在静水中的速度是每小时30千米。在176千米的长河中逆水而行用了11小时。求返回原处需用几小时?

(3)一艘客船在河里航行,顺流而下每小时行18千米。已知这艘客船顺流航行2小时与逆水航行3小时所行的路程相等。问船速和水速各是多少?

(4)两个码头相距352千米,一船顺流而下,行完全程需要11小时。逆流而上,行完全程需要16小时,求水流速度是多少?

(5)甲、乙两个码头间的河流长为90千米,A、B两艘客船同时启航。如果相向而行3小时相遇,同向而行15小时甲船追上乙船,求两船在静水中的速度。

(6)乙船顺水航行2小时,行了120千米,返回原地用了4小时。甲船顺水航行同一段路,用了3小时,甲船呢返回原地比去时多用了几小时?

(7)甲、乙两船在静水中的速度分别是每小时24千米和每小时32千米,两船从相距336千米的两港同时出发相向而行,几小时相遇?如果同向而行,甲船在前,乙船在后,几小时后乙船追上甲船?

9

【思维乐园】

树上有8只鸟,猎人举枪打死了1只,树上还有几只鸟?

A、6 B、4 C、2 D、0

五、牛吃草里还有数学问题你相信吗?

有这样一个数学问题:一片草地上长满了匀速生长的牧草,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天。问可供25头牛吃多少天?类似这样的问题,是著名的大科学家牛顿在《普通算术》一书中设计的很有名的应用问题,称为“牛吃草”问题。涉及的是三个量:牛的头数、草的数量、时间量,解题方法可以是多种多样的。它是小学应用问题中难度大,包含内容最丰富的题目,是小学应用问题的顶峰。

【思维导航】

建议:(1)先求每天新生长的草量是多少?(2)再求这片草地原有的草量是多少?(3)最后求牧场上这些草可供25头牛吃几天?

讨论:因为这片牧草可供10头牛吃20天的牧草草量是由新生长的草量和原有的草量组成的,只要分别求出牧场上新生长的草量和原有的草量,就可以求出这片牧草可供25头牛吃多少天了。

证明:(1)可供10头牛吃20天的草量为10×20=200(单位1),可供15头牛吃10天的草量为15×10=150(单位1)。显然,这里相差部分的草量200-150=50(单位1,)相当于20-10=10(天)新生长的草量。所以每天新生长的草量为50÷10=5(单位1),20天新生长的草量为5×20=100(单位1)

(2)因为这片牧草可供10头牛吃20天的草量是有新生长的草和原有的草构成的,所以10头牛吃20天的草量减去20天新生长的草量,就得这片牧草原有的草量100×2-2×50=100(单位1)或15×10-5×10=100(单位1)

(3)把25头牛分成两个部分,其中一部分(5头牛)专吃新生长的草(根据上面的分析每天新生长的草正好够5头牛吃1天),每天新生长的草量一直可供5头牛连续吃下去。而另一部分(25-5=20头牛)专吃原有的草,即100÷20=5(天),也就是这片牧草可供25头牛吃5天。

10×20—(10×20-15×10)÷(20-10)×20

=200—50÷10×20

=200—100

=100(单位1)

100÷(25—5)=5(天)

答:这片牧草可供25头牛吃5天。

【思维热身】

(1)一个牧场的草每天都在匀速生长,每头牛每天吃的草量相同。17头牛需要30天把草吃完,19头牛只需要只需要24天就可以把草吃完。现在有一群牛,吃了6天后,卖掉了4头牛,剩下的牛再吃2天就把草吃完了。问没有卖4头牛之前,这群牛共有多少个?(提示:(1)根据7头牛需要30天把草吃完,19头牛只需要只需要24天就可以把草吃完,先求出每天新生长的草量是多少。(2)算出牧场原有的草量。(3)假设4头牛没有卖,那么剩下的2天这4头牛一共需要4×2=8(单位1)的草量。这样草的总量就要增加8个单位

1. )

(2)一艘船有一个漏洞,水以均匀的速度进入船内,当发现漏洞时船内已有一些水。现 10

在要派人将水淘出船外,如果派10人3小时可以淘完。如果派5人8小时可以淘完。如果要求2小时淘完。需要派多少人淘水?(提示:船内的总水量是随着时间的延长而增加的,而且是匀速进入船内的,所以每个单位时间进入船内的水是不变的。而船内原有的水也是不变的,这里的关键是求出每小时漏入船内的水量需要几个人来淘?这样就可以用“牛吃草”的思路来解了,船内原有的水量可以看做是草场上原有的牧草,每小时匀速漏入船内的水量可以看做是草场每天新生长的草这样这个问题不就很好解决了吗?)

(3)有一片草地,每天都在匀速地生长。这片草可供16头牛吃20天,可供80只羊吃12天。如果1头牛吃的草量等于4只羊的吃草量,那么10头牛和60只羊一起可以吃多少天?(提示:根据已知,因为1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,所以即可以按牛的吃草量来计算,也可以按羊的吃草量来计算。)

(4)一个鱼塘原来有一定量的水,同时还有匀速流入塘里的水,现在要进行清塘。如果用8台抽水机10天可以将水抽完;用6台抽水机20天才能把水抽完。假设要5天抽完,问需要多少台同样的抽水机来抽水?(提示:要求需要多少台同样的抽水机,必须求出每天流入溏里的水要几台抽水机抽一天和溏里原有的水要用多少台抽水机抽一天)

【思维体操】

(1)牧场上有一片草地,可供25头牛吃4周,可供多少头牛吃1周?

(2)12头牛25天可以吃完10公顷牧场上全部牧草,那么1公顷的牧草可供多少头牛吃一天?

(3)牧场上长满了牧草,这些牧草每天都均匀地生长,这片牧草可供15头牛吃20天,可供20头牛吃10天,那么每天新生长的草可供多少头牛吃1天?

(4)有一水库的存水量一定,每天河水均匀流入水库。如果4台抽水机连续15天可将水库的水抽干,6台同样的抽水机连续9天可将水库的水抽干。问水库中原有的水需要几台抽水机1天将水抽干?

11

(5)一片牧草,每天生长的速度相同,这片牧草可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天,可供30头牛吃多少天?

(6)牧场上长满了牧草,可供10头牛吃3天,或5头牛吃8天,如果牧草每天匀速地生长,那么可供几头牛吃2天?

(7)牧场上的一片牧草,可供27头牛吃6周,或供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速的生长,可供21头牛吃几天?

(8)一水库存有一定量的水,每天河水均匀的流入库内。若用5台抽水机连续20天可以将水抽完。若用6台同样的抽水机连续15天可以将水抽完。如果要求6天把水抽完,需要多少台同样的抽水机?

【思维乐园】

如图所示,一个正方形分成了五个大小相等的长方形,每一个长方形的周长都是36厘米,

六、共有多少条线段你知道吗?

1、快快数一数下图中的(a)、(b)、(c)、(d)中各有几条线段,你知道吗?

12

【思维导航】

我们已经学过直线上两点间的部分叫线段。如上图(a)中,有两个点A、B,能数出一条线段AB。如果一条线段上有了3个或3个以上的点,按照什么样的方法来数,才能做到不重复,不遗漏呢?这里我们按照两种不同顺序的方法来数,从中找出它的规律。 第一种方法:以线段的端点为顺序来数。

如图(c)中,从左向右先以A为端点,可以数出AB、AC、AD、三条线段。后以B为端点,可以数出BC、BD两条线段。再以C为端点,可以数出CD一条线段。至此,我们输完了AD线上所有线段的条数是3+2+1=6(条)。

第二种方法:以基本线段的数量为顺序来数。

在图(d)中共有五个点,其中有两个端点A和E,以及三个分点B、C、D。三个分点将线段AE分成了四条线段AB、BC、CD、DE,这样的线段我们把它叫做基本线段。

由一条基本线段组成的线段有AB、BC、CD、DE四条。

由两条基本线段组成的线段有AC、BD、CE三条。

由三条基本线段组成的线段有AD、BE两条。

由四条基本线段组成的线段只有一条。

所以线段AE中共有线段为4+3+2+1=10(条)

我们对图中的(a)(b)(c)(d)分别用上述两种方法来数,所得答案都是一样的。 ) (a)1条

(b)2+1=3(条)

(c)3+2+1=6(条)

(d)4+3+2+1=10(条)

从上面的几个算式中,你发现了什么?每个算式中的加数都是些什么数?它有没有规律?是一排连续的整数相加,其中最小的整数是1,而最大的那个整数是不定的,为什么?这个整数与所数的线段有什么关系?只要你认真观察一下,就会发现它与线段上的基本线段的数量是相同的,或者是它比线段上所有点的个数少1。

由此,我们可以总结出数线段的一般规律:

若线段上n个点,则有(n-1)条基本线段。设m为基本线段的数量,则m=n-1,线段的总数为

(1)P=n(n-1)÷2(n为线段上点的数量)

(2)P=m(m+1)÷2(m为基本线段的数量)

如果我们用这种方法去数线段,那就可以又快又准确,但一定要数准线段上点的数目,否则,就要彻底出错。

2.在下图长方形ABCD的BC边上取2个点,过这两个点向CD边作两条垂线。这时图中共有多少个长方形?

在长方形ABCD中,有4条竖线和4条横线互相垂直。为了解决这个问题,试从4条竖线和4条横线中寻找解题的方法。

13

讨论:先看竖线(不考虑横线),从4条竖线看,可以数出的长方形数为4×(4-1)÷2=6(个)。再看横线(不考虑竖线),从4条横线看,可以数出的长方形数为4×(4-1)÷2=6(个)。如果将6+6=12(个),如果将6×6=36(个)两个答案哪个正确呢?我们再来数一数,便可知道了。

证明:

由一个小长方形组成的长方形有9个;

由两个小长方形组成的长方形有12个;

由三个小长方形组成的长方形有6个;

由四个小长方形组成的长方形有4个;

由六个小长方形组成的长方形有4个;

由九个小长方形组成的长方形有1个;

一共有9+12+6+4+4+1=36=6×6(个)

所以长方形ABCD中共有长方形6×6=36(个)。

【思维热身】

1

(就能找出线段的特点和规律。

倾斜的线段AB、AC、AD

线段EF、GH、BC们上面的点是一样的,每条线段EF、

GH、BC都与线段AD相交,它们的每条线段的总数也是相同的,这三条线段可以看作第二类。这样,我们就可以分两类来计算右上图中的线段总数。

第一类线段,即倾斜的线段AB、AD、AC,它们上面都分别有4个点,或分别由三条

基本线段组成。

第二类线段,即水平的三条线段EF、GH、BC,它们上面都分别有3个点,或分别由两条基本线段组成。)

2、一条线段上共有50个点,可以数出多少条线段?

(提示:根据总结出的计算公式,不用数,就可以计算出有多少条线段。)

3 14

(提示:我们知道每个角都是有两条边组成的,那么只要有两条边,就有一个角。如图(a)中不仅有∠AOB和∠BOC是角,∠AOC也是角。数角的方法和数线段的方法很类似,我们也可以按两种顺序来数。无论以角的一边为顺序还是以基本角的数量为顺序,都可以根据公式算出各图形中角的个数。)

【思维体操】

1、从一点引出13条射线,可以数出多少个不同度数的角(小于180°的角)?

2、一条线段上有20个点(包括端点),可以数出多少条线段?

3、有15条射线都是从同一点引出的,一共可以数出多少个角(小于180°的角)?

4、把一个三角形的底边平均分成20份,等分点都与顶点相连。可以数出多少个三角形?

5、一个长方形的长边被10等分。连结相对应的等分点,可以数出多少个长方形?

6、一个长方形的长边被平均分成9份,短边被平均分成6份,并连结相对应的等分点,可以数出多少个长方形?

7、一个正方形被10等分,并连结相对应的等分点,可以数出多少个正方形?

8、在等边三角形的三条边上分别取中点,并把每一段再等分,当每条边上的等分点个数为7时,连结相对应的点。问这个等边三角形被平均分成多少个最小的等边三角形?

9、用289个小正三角形拼成一个大正三角形,最下层的梯形中有多少个小正三角形?

10、数一数下图中有多少个梯形?

七、不规则图形的面积知道怎么算吗?

笑笑家的客厅平面图是这样的如下图(a),怎样才能计算出它的面积,你知道吗?

【思维导航】

这是一个不规则的图形,无法直接求出它的面积,如果把它分割成所学过的平面图形,就可以进行计算了。这就需要在原来的图形中添加辅助线。

解法一:把它分割成三角形+长方形,如图(b)。

(8-4)×(10-6)÷2=8(平方厘米) 8×6=48(平方厘米) 8+48=56(平方厘米) 解法二:把它分割成梯形+长方形,如图(c)

15

(6×10)×(8-4)÷2=32(平方厘米) 6×4=24(平方厘米)32+24=56(平方厘米) 解法三:把它分割成三角形+梯形,如图(d)

10×(8-4)÷2=8(平方厘米)(4=8)×6÷2=36(平方厘米)20+36=56(平方厘米) 解法四:添加两条辅助线,分割成三部分,如图(e)

(8-4)×(10-6)÷2=8(平方厘米) (8-4+8)×6÷2=36(平方厘米)

4×6÷2+12(平方厘米) 8+36+12=56(平方厘米)

解法五:补成长方形-梯形,如图(f)

长方形面积:10×8=80(平方厘米)

梯形面积:(4+8)×(10-6)÷2=24(平方厘米)

阴影部分面积:80-24=56(平方厘米)

解法六:补成梯形-三角形,如图(g) 梯形面积:(6+10)×8÷2=64(平方厘米) 三角形面积:4×(10-6)÷2=8(平方厘米) 阴影部分面积:64-8=56(平方厘米) 答:该图形的面积是56平方厘米。

【思维热身】

1、求出下图中阴影部分的面积。(单位:厘米)

(提示:求阴影部分的面积有

两种思路:一是直接求出阴影 部分的面积;在阴影部分加上

2、在下图中正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为6厘米和4厘米。求四边形CMGN(阴影部分)的面积。

(提示:这是由两个正方形为基础图形组合而成的图形,要 求阴影部分的面积,根据题中的已知条件和各三角形之间的

关系,可以直接用三角形的面积计算公式求的,也可以添加辅助线,用梯形的面积减去三个三角形的面积求的。)

3、在右图中,三角形ABE

、ADF和四边形AECF(提示:根据已知条件我们知道四边形的面积长方形面积的三分之一。而阴影部分的面积等于四边形的面积减去三角形EFC的面积。因此关键是求出三角形EFC的面积。而求三角形EFC面积的关键是知道EC和FC的长度。

EC=9-BE,FC=6-DF,而要求EC和FC的长度又必须先要求出BE和BF的长度。这样此题也就解决了。) D

6 F

9 E C 16

【思维体操】

1

是等边三角形,D是 的重点,DE和BC 角形BDE的面积是5 厘米。求三角形ABC

面积。

2图形 的边长分别是10 12厘米。求阴影 部分的面积。

3直角边分别是10

4、如左下图中,在正方形ABCD内,三角形ABE的面积是8平方厘米,它是三角形DEC的

4

面积的。求正方形ABCD的面积。 5

5、如右下图,已知三角形ABC的面积为1,AE=ED,BD=BC,求三角形AEF和三角形EBD的面积一共是多少?

6、如左下图,直角梯形上底BC=10厘米,下底米,高CD=5形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等。

求三角形DEF的面积。

17

7、如右下图,平行四边形ABCD的边长BC=10,

直角三角形BCE的直角边EC长8

形EFG的面积大10。求EC的长。

【思维乐园】

售价2元一市斤的洗洁精分为两种:一种加有除臭剂,另一种没有除臭剂。尽管两种洗洁精的效果相同,但没有加除臭剂的洗洁精在持久时间方面明显不如有除臭剂的洗洁精。因为后者:

A、味道更好闻些

B、具有添加剂

C、从长远来看更便宜

D、比其他公司的产品效果好

八、可以用别的方法解这些题吗?

我们的好朋友笑笑,3年前她妈妈的岁数是她的6倍,今年母亲33岁了,知道笑笑今年多少岁吗?

【思维导航】

若设女儿今年为x岁,则3年前女儿为(x-3)岁;因为三年前母亲岁数是女儿的6倍,所以母亲3年前是6×(x-3)岁。又知母亲今年33岁,因此3年前母亲(33-3)岁。因为33-3和6×(x-3)都表示母亲3年前的岁数,她们必须相等,着就可列出方程。 6×(x—3)=33-3

6×(x-3)=30

x-3=5

x=8

答:女儿今年8岁

【思维热身】

1、 小明想为妈妈的生日献上一束鲜花。他带的钱如果买4朵康乃馨还剩下3.60元,如果买同样的花8朵,则差4.80元。问小明带了多少钱?

(提示:如果用设置接未知数的办法,就应设小明带了x元钱。因为每朵花的单价是一定的。根据单价=总价÷数量 这一数量关系,可以列出方程是什么?(x-3.60)÷4=(x+4.80)÷8 解这一方程要用到六年级才学的比和比例这部分知识,所以应想办法从其他途径列方程。因为康乃馨的单价是一定的,根据单价×数量=总价(小明带的钱是固定不变的)这一等量关系,可以列出方程,即用间接设未知数的办法。)

2、甲乙两人分别从A、B两地同时出发。如果两人同向而行,经过13分甲赶上乙。如果 18

两人相向而行,经过3分两人相遇。已知乙每分行25米问A、B两地相距多少米?

(提示:此问题最直接的关系是两种不同的情况的计算。一种情况是两人同向而行属于追及问题,则追及的距离=速度×追及时间 另外一种情况是两人相向而行,属于相遇问题,则距离=速度×相遇时间 因此,可以采用间接设未知数的方法。)

3、一个通讯员骑自行车要在规定的时间内把信件送盗某地。若每小时走15千米可以早到24分。若每小时走12千米就要迟到15分。问原来规定的时间是多少?他去某地的路程是多少?

(提示1:设原来规定的时间为x小时,24分=0.4小时,15分=0.25小时,则15×(x-0.4)与12×(x+0.25)都表示从出发地点到某地的路程,所以一定相等。由此可以列出方程,使的问题得以解决。提示2:设从出发地到某地的路程为x千米,那么x÷15+0.4小时与x÷12-0.25小时都表示规定的时间,因而相等,使能列出方程?)

4、已知两球、足球、排球平均每个36元、篮球比排球每个贵10元,足球比排球每个贵8元,问每个足球多少元?

(提示:1、篮球、足球、排球平均每个36元,购买是那种球的总价则是36×3=108元 。

2、篮球合足球都与排球比,所以把排球的单价作为标准量,设为x。3、列方程时,等量关系可以确定为分类购球的总价=平均值导出的总价)

【思维体操】

1、妈妈带一些钱去买布,买2米后还剩1.80元:如果买同样的布4米则差2.40元。问

妈妈带了多少钱去买布?

2、有两根绳子,第一根长56厘米,第二根长36厘米,同时点燃后平均每分都燃烧掉2

厘米,几分后,第一根绳子的长多是第二根绳子长度的3倍?

3、第一车间工人人数是第二车间工人人数的3倍,如果第一车间调20名工人去第二车间,

则两个车间的人数就相等。求原来两个车间各有工人多少名?

19

4、今年姐妹两人的岁数加起来是55岁,曾经有一年姐姐的岁数是今年妹妹的岁数,那时

姐姐的岁数恰好是妹妹岁数的2倍,问姐姐和妹妹今年各多少岁?

5、两个水池共贮水40吨,甲池注进4吨,乙池放出8吨,甲池水的吨数与乙池水的吨数

相等。两个水池原来个贮水多少吨?

6、甲数是乙数的6倍,若两数各增加30,则甲数是乙数的3倍,问甲乙两数分别是多少?

7、有两堆煤,甲堆煤有4.5吨,乙堆煤有6吨,甲堆煤每天用去0.36吨,乙堆煤每天用

去0.51吨,几天后两堆煤剩下的吨数相等?

8、甲、乙、丙、丁四个人组成代表队参加数学比赛,甲得了88分,丙得了85分,丁得

了90分,乙的分数比四个人的平均分多了4分。问:乙的成绩是多少分?四个人的平均成绩是多少分?

9、现在有三个数,任取两个数相加,其和分别是37、29、18,这三个数分别是多少?

10、 小龙、小虎、小方、小圆四个人共有45个球,但不知道每个人各有几个球。如果

变动一下,小龙的球减少两个,小虎的球增加两个,小方的球增加一倍,小圆的球减少一半,那么四个人的球九一样多了。求原来每个人各有几个球?

【思维乐园】

交通部科研所最近研制了一种自动照相机,凭借其对速度的敏锐反应,当且仅当违规超速的汽车经过镜头时,它会自动按下快门。在某条单向行驶的公路上,在一个小时中,这样的一架照相机共摄下了50辆超速行驶的汽车的照片。从这架照相机出发,在这条公路前方的1公里处,一批交通警察于隐蔽处在进行目测超速汽车能力的测试。在上述同一个小 20

时中,某个警察测定,共有25辆汽车超速通过。由于经过自动照相机的汽车一定经过目测处,因此,可以推定,这个警察的目测超速汽车的准确率不高于50%。

要使推断成立,以下哪项是必须假设的?( )

A、在该警察测定为超速的汽车中,包括在照相机处不超速而到目测处超速的汽车。

B、在该警察测定为超速的汽车中,包括在照相机处超速而到目测处不超速的汽车。

C、在上述一个小时中,在照相机前不超速的汽车,到目测处不会超速。

D、在上述一个小时中,在照相机前超速的汽车,都一定超速通过目测处。

九、当结果不唯一时该怎么解决呢?

1、一个两位数除以7,所得的商和余数相等。求适合条件的这些数.

【思维导航】

解:设这个两位数为y,商和余数为x,由题意可知y÷7=x??x 即y=7x+x,因为余数必须小于除数,所以7>x,又因已知y为两位数,可知x?2,所以x的取值范围为2?x<7。 x=2 3 4 5 6

y=16 24 32 40 48

答适合条件的两位数为16,24,32,40,48

2、房间里有凳子和椅子若干,每张凳子有三条腿,没把椅子有4条腿,当她们被人坐上后,共有35条腿(包括人腿在内),问房间里有凳子,椅子,人各多少?

(提示:题目给出了每张凳子和没把椅子各有的腿数及凳子、椅子和人的总腿数,又知人数等于凳子、椅子、数量之和。所以应设凳子、椅子的数量为未知数)

解: 设房间里有x张凳子、y张椅子,依题意,得

(3+2)x+(4+2)y=35

5x+6y=35

x=(35-6y)÷5

x=7-1.2y

由于x,y都必须为整数,所以1.2y必须为整数,即y为5的倍数:5,10,15??但7-1.2y﹥0,故y小于5.83因此y只能等于5 把5带入 得x=1 因为凳子和椅子都被人坐上了,所以x+y=1+5=6

答:房间里有1张凳子,5把椅子,6个人。

【思维热身】

1、一个学生发现自己1998年的年龄整个好等于他畜生那一年的年龄的末两位数之和。问这个学生1998年是多少岁?

(提示:将这个学生出生的年份数设定出来,1998减去出生的年份数等于他的年龄,又知他的年龄等于出生年份数的末两位数之和,这就可得到一个不定方程。

2、在一个盒子里装有蟋蟀和蜘蛛若干只,共有46只脚,问盒子里的蟋蟀和蜘蛛各有多少只?(蟋蟀6只脚,蜘蛛8只脚)

21

(提示:设盒子里有蟋蟀有x只,蜘蛛y只)

3、有7升和11升的容器各一个,怎羊用她们量出13升的溶液?

(提示1:先用7升的容易量x次,在用11升的容器从这些溶液里量出一部分,使剩下的溶液为13升。)

(提示2:先用11升的容器量出一些溶液,再用7升的容器从这些溶液里量出一部分,使剩下的溶液为13升。)

【思维体操】

1、大塑料桶可以装油5千克,小塑料筒可以装油3千克,问:装油50千克需要大小塑料

桶各多少个?

2、有5元一张和10元一张的人民币个若干张,共计50元。问每种人民币各多少元?

3、有一个3千克的容器和一个8千克的容器,把14千克的油平均分开,应怎么来量才能

是次数最少?

4、幼儿园给小朋友分桃,平均分余1个,每人分8个缺6个。问有多少个小朋友个多少

个桃?

5、有10元一张和5元一张的人民币若干张,共计160元。已知5元币的张数比10元币

的多,而10元币的张数的2倍币5元币。问两种人民币各有多少张?

6、停车场有10辆出租汽车,每辆车出发后,每隔4分有一辆出租车开出,在第一辆车开

出2分后,有一辆车进入停车场,以后每隔6分就有一辆车回场。回场的出租车在原有的10辆车之后又依次每隔4分开出一辆.问:从第一辆车出发后经过多少时间。停 22

车场就没有出租车了?

7、3头牛在2周内能吃完2公顷草地上原有的草和在着两周内长出的新草,2头牛在4周

内吃完2公顷草地上原有的草和在着四周长出的新草。问要多少头牛能在6周内吃完6公顷草地上原有的草和在着6周内长出的新草?

【思维乐园】

天气预报说明天温度是10---25度,偏南风6—7级,可第二天却冷得让人受不了,这表明:( )

A、天气预报全是胡说

B、人只能是自然的俘虏

C、天气变幻莫测

D、天气预报是完全正确的,只是人们应该将温度与风力结合起来考虑

十、你会解决整除问题吗?

暑期快要结束了,同学们一定做了很多有意义的事情吧!星光小学的同学们也做了一件有意义的事情,在吐鲁番葡萄成熟的时候,星光小学五年级的同学帮果农收葡萄,第一小组收了126千克,第二小组收了149千克,第三小组收了238千克,第四小组只收了95千克。问:最少还应取多少千克,就可以把全部葡萄平均分成4份?并算算每份的重量。

【思维导航】

这里是求一个最小整数,要使这个数与题中四个数的和恰好是4的倍数,只要被4整除的整数末两位是4的倍数即可。

设最少还应取x千克。

因为127,149,238,95这四个数被4除,余数分别是3,1,2,3,其余数的和是3+1+2+3=9,而9和3的和是12,12是4的倍数。

所以要使9+x能被4整除,x最少应该是3。

(127+149+238+95+3)÷4=153,即可以把全部葡萄平均分成4份,平均每份是153千克,正好符合题目的要求。所以能满足题目条件的是应取3千克。

【思维热身】

(1)五位数73□28能被9整除,□里应该是几?(提示:73□28能被9整除,它的各位数字和应该是9的倍数。即7+3+□+2+8的和能被9整除。)

(2)四位数□99□能被45整除,□里应该是几?(提示:□99□能被45整除,只要使□99□能同时被5和9整除。先填个位再填千位。)

(3)六位数865abc能被3,4,5整除,要使865abc尽可能小,a,b,c各是多少?(提示:根据能被4,5整除的数的特征,865abc的末两位必是0。因为865abc能被3整除,所以8+6+5+a+b+c的和一定是3的倍数。)

23

(4)期末考试六年级一班数学平均分是90分,总分是□95□,这个班有多少名学生?(提示:这个班学生人数乘以平均分一定等于总分,而平均分是90,90=2×5×9,说明总分□95□一定能被2,5,9整除。根据能被2,5整除的数的特征,先算出□95□的末位数字,再根据能被9整除,所以这个数各位的和一定是9的倍数。)

(5)任意一个三位数连着写两回得到一个六位数,这个六位数一定能被7,11,13整除。为什么?(提示:先设这个三位数是abc(a为1—9的整数,b,c为0—9的整数)。得到的六位数是abcabc,abcabc=abc×1000+abc=abc×1001,再看1001是否能被7,11,13整除)

(6)自然数1x2x3x4x5能被11整除,求这个自然数。(提示:因为这个自然数能被11整除,所以(1+2+3+4+5)-4x的差应该是11的倍数,而x只能是0—9中的某个数。)

(7)已知一个两位数恰好是它的两个数字之和的6倍,求这个两位数。(提示:先设这个两位数是ab,ab=(a+b)×6,ab一定能被6整除,再找出能被6整除的两位数有哪些?)

【思维体操】

(1)四位数841□能被2和3整除,□中应填 。

(2)四位数36ab能同时被2,3,4,5,9整除,则36ab= 。

(3)五位数84□48能被24整除,□中应填 。

(4)六位数3108□2能被4整除,并且除以9余5,□中应填 。

(5)把1,2,3这三个数字任意排列,可组成若干个三位数,在这些三位数中,能被11整除的是 。

(6)七位数22A333A能被4整除,且它的末两位数字组成的两位数3A是6的倍数,那么A= 。

(7)同时能被3,4,5整除的最小的四位数是 。

(8)从3,5,0,1这四个数字中任选出3个组成没有重复数字且同时能被3,5整除的三位数有 个。

(9)已知六位数a1993y能被45整除,求所有满足条件的六位数a1993y。

(10)已知整数1a2a3a4a5a能被11整除。求所有满足这个条件的整数。

(11)在568后面补上三个数字,组成一个六位数,使它分别能被3,4,5整除。符合这 24

些条件的六位数中,最小的一个是多少?

(12)从5,6,7,8,9中任取三个数,组成没有重复数字的三位数,使这些三位数是18的倍数。

(13)三位数的百位、十位、个位数字分别是5、a、b,将它接连重复写99次成为: 如果所成之数能被91整除,这个三位数5ab是多少?

【思维乐园】

李清和王红都在做课外习题,有一道题是“19998+1998+198+18”,李清只用20秒钟就报出了得数。你知道李清是怎样做的吗?

十一、谁能帮我分解质因数?

一个星期天的上午爸爸和笑笑在一起整理房间,整理了一大堆的杂物,于是他们想动手做一个大木盒来装这些东西,这时爸爸也想考考笑笑,就问他:“我们要做一个体积为110592立方厘米的正方体木盒,正方体的表面积是多少呢?”笑笑想了想,很快就得出了答案,让我们一起来看看吧!

【思维导航】

这里要求出正方体的表面积,就必须知道正方体的棱长。要求正方体的棱长,可将110592分解质因数,即110592=212×33。把质因数分成3组,使每组中的质因数相同,每一组质因数之积就是正方体的棱长。110592=212×33=(24×3)×(24×3)×(24×3),即棱长为24×3=48(厘米)。其表面积是48×48×6=13824(平方厘米)

答:正方体的表面积是13824平方厘米。

【思维热身】

(1)用一个两位数除1170,余数是78,求这个两位数。(提示:根据有余数的除法各部分之间的关系可以得出除数与商的积是多少,再把积分解质因数,由于余数是78,而除数必须比余数大,可得出除数)

(2)四个小孩的年龄恰好是四个连续自然数,他们的年龄之积是360。这四个小孩年龄之和是多少岁?(提示:因为四个小孩的年龄恰好是四个连续自然数,所以360包含这四个自然数中所有的质因数。只需将360分解质因数)

25

3)把12、18、33、35、36、65、77、104这八个数分成两组,使每组四个数的乘积相等。(提示:将8个数分解质因数后,每组所含有的质因数一定要相同,所以两组数的乘积就相同。)

(4)将21,60,65,126,143,169,275分成两组,使两组数的积相等。(提示:将7个数分成两组使积相等,必须把7个数先分解质因数,使两组数的质因数相同,两组数的积就能相同。)

(5)不计算,求48×925×38×435的积末几位是连续的0?(提示:因数中每有一组2×5,积的末位便会是一个0。因此,将这些因数分解质因数,有几组2×5,积的末尾就有几个0)

(6)用462个大小相等的正方形拼成一个长方形,有多少种不同的拼法?(提示:可将462分解质因数,再变成两数乘积的形式,即可知有多少种拼法。)

(7)四年级某学生参加数学竞赛,他获得的名次、他的年龄、他得的分数的乘积是2910,这个学生得第几名?成绩是多少分?(提示:把2910分解质因数,再把这些质因数分成三组,分别代表名次、年龄和成绩。)

【思维体操】

(1)23÷( )=( )??5,在括号内填入适当的数,使等式成立,有几种不同的填法?

(2)三个自然数的积为120,其中两个数的和等于另一个数,求这三个数。

(3)公园里有三只小熊猫,恰好一只比一只大1岁,它们的年龄积是24。这三只熊猫中最大的是几岁?

26

(4)把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数分成两组,使每组四个数的乘积相等。

(5)把39、45、49、56、60、70、78、84、91九个数分成三组,使每组中三个数的乘积相等。

(6)一个长方形的面积是320平方米,如果长不变,宽增加4米,就成为一个正方形。求原长方形的周长。

(7)李老师带同学们去种树,学生们按人数恰好平均分成三组。已知他们共种了312棵树,老师与学生每人种的树一样多,并且不超过10棵。问:一共有多少个学生?每人种了几棵树?

(8)幼儿园老师去买糖,用99元钱正好可以买若干千克水果糖,若买每千克比水果糖便宜2元的奶糖,则可以多买2千克。老师所买的水果糖多少钱1千克?

(9)六年级学生李亮参加数学竞赛,他所获得的名次和成绩,若与自己的年龄相乘,其积恰好为2328。问:李亮几岁?名次和成绩又是多少?

(10)将一批图书分给三个人,他们所得的本数一人比一人多3本,且各人所得图书本数的乘积为910。问:三个人各得多少本图书?

(11)甲数比乙数大9,两个数的积是1620,求甲,乙两数。

27

(12)十几辆卡车运送315桶汽油,每辆卡车运的桶数一样多,且一次运完。问:共有多少辆卡车?

【思维乐园】

今天,五年级3班组织课外活动,在王老师的带领下来到了一条小河边,河边只有一条小船,这条小船上最多只能坐6人。用这条小船至少要多少次才能把53名同学和王老师全部渡过河去呢?

十二、你会求最大公约数吗?

王阿姨拿一张长7分米5厘米,宽6分米的长方形纸。现在想要把它裁成一块块正方形,而且正方形边长为整厘米数,有几种裁法?如果要使裁得的正方形面积最大,可以裁多少块?

【思路导航】

7分米5厘米=75厘米,6分米=60厘米。因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75厘米和60厘米,所以边长是75和60的公约数。75和60的公约数有1,3,5,15,所以有4种裁法。

如果要使正方形面积最大,那么边长也应该最大,应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长。所以可以裁 (75÷15)×(60÷15)

=5×4

=20(块)

答:有4种裁法,共能裁20块。

【思维热身】

(1)一个房间长450厘米,宽330厘米。现计划用方砖铺地,问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块),才能正好把房间地面铺满?(提示:要使方砖正好铺满地面,可知房间的长和宽都应是方砖边长的倍数。也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公约数。由于题中要求方砖边长尽可能大,所以方砖边长应是房间长和宽的最大公约数。)

(2)一个长方体木块,长2.7米,宽1.8分米,高1.5分米。要把它切成大小相等的正方体木块,不许有剩余,正方体的棱长最大是多少分米?(提示:要把长方体切成大小相等的正方体,不许有剩余,正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大,所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。)

(3)一个数除200余4;除300余6;除500余10。求这个数最大是多少?(提示:一个数除200余4可以转化为196=200-4能被某一个数整除,另两个条件可以转化为:294=300-6和490=500-10都被那个数整除。求这个数最大是多少,也就是求196,294和490的最大公约数。)

28

(4)有336支铅笔,252块橡皮,210个文具盒,用这些文具,最多可以分成多少份同样的礼物?在每份礼物中,铅笔、橡皮、文具盒各有多少?(提示:要求最多可以分成多少份同样的礼物,就是求336,252和210的最大公约数,再算每份礼物中铅笔、橡皮、文具盒各有多少?)

【思维体操】

(1)把1米3分米5厘米长,1米5厘米宽的长方形纸,截成同样大小的正方形,至少能裁多少块?

(2)一个长方体木块的长是4分米5厘米,宽3分米6厘米,高2分米4厘米。要把它切成大小相等的正方体木块,不许有剩余,求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米?

(3)有50个梨,75个橘子和100个苹果,要把这些水果平均分给几个小组,并且每个小组分得的三种水果的个数也相同,最多可以分给几个小组?

(4)如果把110块糖平均分给五(1)班的同学,则多5块;如果把210块糖果平均分给这个班同学正好分完;如果把240块糖果平均分给这个班同学,还少5块。五(1)班最多有多少名同学?

(5)工人加工了三批零件,每加工一批零件,除了王师傅比其他工人多加工若干个外,其他工人加工的都同样多。已知他们第一批共加工2100个,其中王师傅比每个工人多加工7个;第二批加工1800个,其中王师傅比每个工人多加工6个;第三批加工1600个,其中王师傅比每个工人多加工13个。这批工人最多有多少人?

(6)有三根钢管,分别长200厘米,240厘米,360厘米。现在要把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段,一共可以截成多少段?

【思维乐园】

29

赵义在9次测验中的平均分是17分,如果第十次测验后,他的十次平均分为18分,问最后一次测验他得多少分?

十三、你会求最小公倍数吗?

亲爱的同学们你们知道吗?古代人不用借助现在的计算工具就能解决很多数学问题,我们来看看古人的数学问题吧!“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,七七数之余二,问物有几何?”这是我国古代数学名著《孙子算经》中的问题。用现在的话说就是:一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2。问这个数是多少?

【思路导航】

要求的数满足三个条件:①除以3余2,②除以5余3,③除以7余2。

第一步:我们在除以7余2的数中找除以5余3的数。除以7余2的数有9,16,23,30,37??其中23除以5余3。

第二步:在7和5 的公倍数加上23的数中找除以3余2的数。7和5的最小公倍数是35,7和5的公倍数加上23的数有58,93,128,163??(这些数除以5余3,除以7余2)其中128除以3余2。128就是除以3余2,除以5余3,除以7余2的数。如果求的数最小是多少,还要从128里减去3,5,7的最小公倍数105,得23。所以符合条件的最小的数是23。

【思维热身】

(1)甲、乙、丙三人是朋友,他们每隔不同天数到图书馆去一次,甲3天去一次,乙4天去一次,丙5天去一次。有一天,他们三人恰好在图书馆相会。问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会?(提示:从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会,相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。)

(2)一块砖长20厘米,宽12厘米,厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块?(提示:把若干个长方体叠成正方体,它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现在要求长方体砖块最少,它的棱长应是长、宽、高的最小公倍数,求出正方体棱长后,再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。)

(3)甲每秒跑3米,乙每秒跑4米,丙每秒跑2米,三人沿600米的环形跑道从同一点同时同方向跑步,经过多少时间三人又同时从出发点出发?(提示:先算出甲、乙、丙跑一圈各需要多少秒。要使三人再次从出发点一起出发,经过的时间一定是他们跑一圈所需秒数的最小公倍数。)

(4)参加数学竞赛辅导班的学生人数在40与50人之间,如果6人一组,那么有一个组多4人;如果8人一组,那么有两个组各少1人。求有多少人参加了这个辅导班?(提示: 30

根据题意可知,如果增加2人,那么6人一组或8人一组都恰好分完。所以学生人数增加2人后(人数在42至52之间),应该既是6的倍数,又是8的倍数。 )

(5)从小亮家到学校,原来每隔50米竖有一根电线杆,连两端的两根一共有55根电线杆。现在要改成每隔60米竖一根电线杆,除两端的两根不需移动外,中途还有多少根不必移动?(提示:要求中途还有几根电线杆不必移动,可以先求出50和60的最小公倍数,从一头起,凡正好是50和60的公倍数处的那一根就不必移动。因此,求出小亮家到学校的距离,并除以50和60的最小公倍数就可知道了。)

(6)有一批水果,总数在1000个以内,如果每24个装一箱,最后一箱差2个;如果每28个装一箱,最后一箱还差2个;如果每32个装一箱,最后一箱只有30个。这批水果共有多少个?(提示:根据题意可知,这批水果再增加2个后,每24个装一箱,每28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数。也就是说,只要把这批水果增加2个,就正好是24、28、32的公倍数。我们可以先求出24、28、32的最小公倍数,再根据“总数在1000以内”确定水果总数。)

【思维体操】

(1)1路、2路和5路车都从东站发车,1路车每隔10分钟发一辆,2路车每隔15分钟发一辆,而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后,至少要过多少分钟又有这三种路线的车同时发车?

(2)用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体,至少需要用这样的长方体多少块?

(3)甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步,甲每秒跑4米,乙每秒跑5米,丙每秒跑3米。若三人同时从一端出发,再经过多少时间三人又从此处同时出发?

(4)一排电线杆有25根。原来每两根之间的距离是30米,现改为45米。如果起点的一根不移动,可以有几根不需移动?

(5)五(1)班的五十几个同学参加体育活动,每6人一组则少3人;每9人一组则多3人。求五(1)班有多少学生?

31

(6)有一批乒乓球,总数在1000个以内,4个装一袋,5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个?

【思维乐园】

计算234×124000+766000×124的值。

十四、神奇的奇数与偶数

今天上课老师讲了奇数和偶数在运算中的一些性质,淘气对这些性质特别感兴趣,于是就背了起来。

性质1 奇数±奇数=偶数

偶数±偶数=偶数

性质2 偶数±奇数=奇数

性质3 偶数个奇数相加得偶数

性质4 奇数个奇数相加的奇数

性质5 偶数×奇数=偶数

奇数×奇数=奇数

笑笑听的不耐烦了,说:“你光会背有用吗?要会用这些性质解决数学问题才行!我来给你出到题吧。例如:1+2+3+4+?+1997是奇数还是偶数呢?”淘气看到题傻眼了,挠挠头说:“看来我只会背这些性质是不行的,还要会用啊!哎!”笑笑耐心的给淘气开始讲题。

【思维导航】

建议:根据性质4,设法知道这串数中共有多少个奇数,后判断它的奇偶性。

讨论:因为1和2中有一个奇数,3和4中有一个奇数,?,1997和1998中有一个奇数。所以这串数中共有奇数(1998÷2=999)个,也就是说这串数的和是奇数。

证明:因为在1+2+3+4+?+1997中有999个奇数,根据“奇数个奇数相加得奇数”,所以这串数的和是奇数。

【思维热身】

(1)1+2+3+4+?+2001+2002是奇数还是偶数呢?(提示:因为只要求判断和的奇偶性,根据加减运算中奇偶性的规律知,不必求和,只需弄清加数中有多少个奇数即可。)

32

(2)有一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,??从第三个数开始,每个数都是前两个数的和。那么在前1000个数中,有多少个奇数?(提示:根据“奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数”及第一、第二个数都是奇数,按照这列数的组成规律知,各数的奇偶性依次为:奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶、??即每三个数为一组,其中前两个是奇数,后一个是偶数。再判断前1000个数中有多少个奇数?)

(3)用0—9这10个数组成5个两位数,每个数只用一次,要求它们的和是奇数,那么这5个两位数的和最大是多少?(提示:要使组成的5个两位数的和最大,应该把10个数中最大的5个分别放在十位上,即十位上是5,6,7,8,9,而个位上是0,1,2,3,

4。根据奇数的定义,这样组成的5个两位数中,只有个位是1和3的2个奇数。要满足这5个两位数的和是奇数,根据奇偶数相加减的运算规律,这5个数中应有奇数个奇数,而现在只有个位是1和3的2个奇数,所以5个数的和是偶数,不合要求,必须调整。调整的方法是将十位上的一个奇数与个位上的一个偶数对换,为使5个数的和尽可能大,则要使交换的2个数之差尽可能小。)

(4)3个相邻偶数的乘积是一个六位数8□□□□2,求这3个偶数及它们的乘积。(提示:3个相邻偶数的乘积是一个六位数,可以断定这3个数必须是两位数,并且它们的个位数字只能是0,2,4,6,8中相邻的三个。由于100×100×100=1000000是个七位数,最小可能是90×90×90=729000,所以这3个相邻偶数的乘积在1000000与729000之间,由此可知这3个相邻偶数的十位数。又因为这3个相邻偶数的积是2,可得这3个相邻偶数的个位数。)

(5)7只杯子全部杯口朝上放在桌子上,每次“翻转”其中的2只杯子。能否经过若干次“翻转”,使得7只杯子全部杯口朝下?(提示:盲目试验,可能总也找不到答案,如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性,就会发现问题所在。对每只杯口向上的杯子,只有翻转1次,3次,?才能使杯口向下,即对每只杯子只有翻转奇数次后,其杯口的朝向才会改变。)

【思维体操】

(1)如果n是奇数,那么n-3和n+4分别是 和 (填奇数或偶数)。

33

(2)甲盒中放有180枚白色围棋子和181枚黑色围棋子,乙盒中放有181枚白色围棋子。小华每次任意从甲盒中摸出两枚棋子,如果两枚棋子同色,他就从乙盒中拿出一枚白子放入甲盒;如果两枚棋子不同色,他就把黑子放入甲盒;那么他拿 次后,甲盒中只剩下一枚棋子,这枚棋子是 颜色。

(3)从3开始,依据后一数是前一数加上3,写出2000个数,排成一行:3,6,9,12,15,18,21,24,??在这行数中第1995个数是 (填奇数或偶数)

(4)某城市举行小学生数学竞赛,试卷共有20道题。规定评分标准是:答对一题给3分,不答给1分,答错一题倒扣1分。那么无论有多少人参加,所以竞赛学生得分的总和一定是 (填奇数或偶数)。

(5)有15张卡片,其中有3张写着1,有5张写着3,有7张写着5。你能从中选出5张来,使五个数的和为30吗?为什么?

(6)有一串数,最前面的四个数依次是1,9,8,8,从第五个数起,每一个数都是它前面的四个数之和的个位数字。那么在这一串数中,会依次出现1,9,9,4这四个数吗?为什么?

【思维乐园】

图形推理

A

B

、 C、 D、

十五、如何巧算表面积?

淘气在家玩积木,摆出了各种图形,他想考考弟弟,于是就用棱长是2厘米的若干个小正方体的积木,摆出一个长是6厘米,宽是4厘米,高是8厘米的长方体,问弟弟:这些小正方体表面积之和比这个长方体的表面积增加了多少平方厘米?弟弟想了想说:“应该没有变的!”淘气摇摇头对弟弟说:“你怎么不算一算呢?我来告诉你吧!”

【思维导航】

先求出长方体的表面积,再求出所有小正方体表面积之和,然后求所增加的面积。 34

根据长方体的表面积=(ab+ah+bh)×2,可知:

(6×4+6×8+4×8)×2=208(平方厘米)

根据由小正方体拼成的长方体,算出小正方体的个数为:(6×4×8)÷(2×2×2)=24(个)

24个小正方体表面积之和是:

(6×2×2)×24=576(平方厘米)

比长方体增加的表面积为:

576-208=368(平方厘米)

答:这些小正方体表面积之和比这个长方体的表面积增加了368平方厘米。

【思维热身】

(1)下图是一个由若干小正方体构成的,请你数一数并计算出共有多少块?(提示:可从上往下一层一层数。)

(2)右图是由15个边长为1厘米的小正方体拼成的,求它的表面积。(提示:仔细观察后会发现这个立体图形上下两个面的面积是相等的,左右两个面的面积是相等的,前后两个面的面积是相等的,先分别求出再合起来。)

(3)下图是一个棱长为2厘米的正方体,在正方体上表面的正中向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞,接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为0.5厘米的正方体小洞,第三个正方体小洞的挖法与前两个相同,棱长是0.25厘米,那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?(提示:在小洞里,平行于上下表面的所有面的面积和等于边长为1厘米的正方形的面积,这个边长为1厘米正方形再与图中阴影部分合在一起正好是边长为2厘米的正方体的上表面的面积。这个立体图形的表面积分成两部分:上下方向:2个边长为2厘米的正方形的面积。侧面:边长为2厘米的正方体的四个侧面;边长为1厘米的正方体的四个侧面;边长为0.5厘米的正方体的四个侧面;边长为0.25厘米的正方体的四个侧面。)

35

(4)有一些棱长是1厘米的正方体,共1993个,要拼成一个大长方体,问表面积最小是多少?(提示:因为1993是一个质数,所以这1993个正方体只能摆成长1993厘米、宽1厘米、高1厘米的长方体,才能满足表面积最小。)

(5)把一个长为4厘米,宽为5厘米,高为6厘米的长方体木块表面全部涂成红色,然后切成棱长为1厘米的小正方体木块。问:①切开后,有多少块小正方体木块没有染上色?②切开后,有多少块小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色。(提示:①切开后,没有染上色的小正方体木块处在长方体内部,即剥掉长方体外面一层小正方体后剩下的部分;②切开后,位于长方体8个角上的小正方体,有3个面涂上了红色;位于长方体12条棱的两侧的小正方体(除去角上的),有两个面涂上了红色;位于长方体各个面的中心部位的小正方体只有一个面涂上了红色。)

【思维体操】

(1)把底面积为15平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是 平方厘米。

(2)如下图①所示,由三个正方体木块粘合而成的模型,它们的棱长分别为1米、2米、4米,要在表面涂刷油漆,如果大正方体的下面不涂油漆,则模型涂刷油漆的面积是多少平方米?

(3)下图②的一些积木是由16块棱长为2厘米的正方体堆成的,它的表面积是多少平方厘米?

(4)图③中是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块,如果把它沿着虚线切

① ③

36

(5)一个正方体的棱长为4厘米,在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米的正方体做成一种玩具,求这个玩具的表面积。

【思维乐园】

图形推理:

A、

十六、 你知道包含与排除原理吗?

核心公式

(1)两个集合的容斥关系公式:

A+B=A∪B+A∩B

(2)三个集合的容斥关系公式:

A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C

【思维导航】

1 、对某单位的100名员工进行调查,结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛,38人喜欢看戏剧,52人喜欢看电影,既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人,既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人,三种都喜欢看的有12人,则只喜欢看电影的有:

A.22人 B.28人 C.30人 D.36人

【解析】设A=喜欢看球赛的人(58),B=喜欢看戏剧的人(38),C=喜欢看电影的人(52) A∩B=既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人(18)

B∩C=既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16)

A∩B∩C=三种都喜欢看的人(12)

A∪B∪C=看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100)

根据公式:A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C

C∩A=A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C)

=148-(100+18+16-12)=26

所以,只喜欢看电影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C

=52-16-26+12=22

37

2、某大学某班学生总数为32人,在第一次考试中有26人及格,在第二次考试中有24人及格,若两次考试中,都没有及格的有4人,那么两次考试都及格的人数是( )。

A.22 B.18 C.28 D.26

【解析】设A=第一次考试中及格的人(26),B=第二次考试中及格的人(24)

显然,A+B=26+24=50;A∪B=32-4=28,

则根据公式A∩B=A+B-A∪B=50-28=22

所以,答案为A。

3 、某单位有青年员工85人,其中68人会骑自行车,62人会游泳,既不会骑车又不会游泳的有12人,则既会骑车又会游泳的有( )人

A.57 B.73 C.130 D.69

【解析】设A=会骑自行车的人(68),B=会游泳的人(62)

显然,A+B=68+62=130;A∪B=85-12=73,

则根据公式A∩B=A+B-A∪B=130-73=57

所以,答案为A。

4、 电视台向100人调查前一天收看电视的情况,有62人看过2频道,34人看过8频道,11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人?

【解析】设A=看过2频道的人(62),B=看过8频道的人(34)

显然,A+B=62+34=96;A∩B=两个频道都看过的人(11)

则根据公式A∪B=A+B-A∩B=96-11=85

所以,两个频道都没有看过的人数=100-85=15

所以,答案为15。

【思维热身】

1、一班有48人,班主任在班会上问:“谁做完了语文作业?请举手”有37人举手,又问:“谁做完了数学作业?请举手”有42人举手,最后问:“谁语文、数学作业都没做完?请举手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个?

2、四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订阅《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订阅一种读物,订阅《数学大世界》的有多少人?

3、某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的人有23人,两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答的不对?

4、某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么参加语文、数学两科竞赛的有多少人?

38

5、在1到100的全部自然数中,既不是5的倍数,也不是6的倍数的数有多少个?

6、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品一共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅?

【思维体操】

1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手提琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两样都会的有8人。这个文艺组一共有多少人?

2、一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人?

3、一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人。问这个俱乐部里两种棋都会下的有多少人?

4、在1到130的全部自然数中,既不是6的倍数,也不是5的倍数的数有多少个?

5、六(一)儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅不是三年级的,有19幅不是四年级的,三、四年级参展的图画共有8幅,其他年级参展的画共有多少幅?

备选题:

1、五年级有22名学生参加语文、数学考试,每个至少有一门功课取得优秀成绩,其中语文成绩优秀的有65人,数学成绩优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人?

39

2、五(一)班有40个学生,其中有25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了。那么有多少人两个小组都没有参加?

3、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果3人两项比赛都获奖了,有27人两项比赛都没有获奖,已知作文比赛获奖的有14人,问数学比赛获奖的有多少人?

4、一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的18人,两样都不会的有4人。两样都会的有多少人?

5、三年级一班参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请计算这个班共有多少人?

6、在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数,也不是8的倍数的数有多少个?

7、五(一)班做广播操,全班排成4行,每行的人数都相等。小华排的位置是:从前面数是第5个,从后面数是第8个。这个班共有多少名学生?

8、科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有110件不是一年级的,有100件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有32件。其它年级参展的作品共有多少件?

40

9、实验小学举办学生书法展,学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅?

1、求不超过20的正整数中是2的数倍或3的倍数的数共有多少个。

2、某班有团员23人。这个班里男生共20人,问这个班女生团员比男生非团员多多少人?

3、某班统计考试成绩,数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90以上有38人。问两科都在90分以上的有多少人?

4、边长为2的正方形与边长为3的正方形,如图所示放在桌面上,它们所盖住的面积有多大?

5、纸片面积为7,一张边长为2的正方形纸片,把这两张纸片放在桌面上覆盖的面积为8,问两张纸片重合部分的面积是多少?

41

6、有100位旅客,其中有10人既不懂英语又不懂俄语,有75人懂英语,83人懂俄语。问既懂英语又懂俄语的有多少人?

7、某校组织棋类比赛,分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行。参加围棋比赛的共有42人,参加中国象棋比赛的共有51人,参加国际象棋比赛的共有30人。同时参加了围棋和中国象棋比赛的共有13人,同时参加了围棋和国际象棋比赛的7人,同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的11人,其中三种棋赛都参加的3人。问参加棋类比赛的共有多少人?

8、边长分别为6,5,2的三个正方形,如图所示放在桌面上。问它们盖住的面积是多大?

9、某班学生手中分别拿有红、黄、蓝三种颜色的球。已知手中有红球的共有34人,手中有黄球的共有26人,手中有蓝球的共有18人。其中手中有红、黄、蓝三种球的有6人。而手中只有红、黄两种球的有9人,手中只有黄、蓝两种球的有4人,手中只有红、蓝两球的有3人,那么这个班共有多少人?

10、从1到100的自然数中,

(1)不能被6和10整除的数有多少个?

(2)至少能被2,3,5中一个数整除的数有多少个?

11、求1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少?

42

12、盛夏的一天,有10个同学去冷饮店,向服务员交了一份需要冷饮的统计表:要可乐、雪碧、果汁的各有5人;可乐、雪碧都要的有3人;可乐、果汁都要的有2人;雪碧、果汁都要的有2人;三样都要的只有1人。证明其中一定有。

13、对100个学生课外学科活动的调查结果如下:32人参加数学小组;20人参加英语小组,45人参加生物小组。其中15人既参加了数学小组又参加了生物小组;7人既参加了英语小组又参加了数学小组;10人既参加了英语小组又参加了生物小组。还有30人没有参加上述任何一个学科小组。

(1)求三个学科小组都参加的人数。

(2)在文氏图的八个区域内填入相应的学生人数。其中A、B、C分别表示参加数学、英语和生物小组的学生的集合。被调查的100个学生的集合为全集I。

43

参考答案:

一、【思维热身】(1)1 (2)1.216 (3)13.804 (4)0.852(5)438 【思维体操】(1)C (2)B (3)B (4)0.22 (5)1.44 (6)0.0001 (7)1 (8)18 (9)31.76 (10)0.001 (11)15 (12)120 (13)480 (14)210 (15)76 (16)495

(17)22200 (18)1111110.3【思维乐园】B

二、【思维热身】(1)50×3-30=120(千米)50×5÷120=2??10(千米) (2)32×2÷(56-48)=8(小时)

(56+48)×8=832(千米) (3)15×2÷6-(12-8)=1(小时)15÷1×4=60(千米)

(4)(3-1)×7÷(8-7)×8=112(千米)【思维体操】(1)(60×3+40)÷2=110(千米)

(2)80×3-50=190(千米) (3)(60×3+30)÷(1+0.5)=140(千米) (4)24×2÷8=6(小时)11-7=4(小时)24÷(6-4)×4=48(千米) (5)(1+1)×4=8(千米)8×5=40(千米) (6)480÷(480÷6+8×2)=5(小时)(8×5-4)÷(6-5)=36(千米) (7)3×2÷(15-13)=3(小时)(15+13)×3=84(千米) (8)3.2×2×1000÷(250-90)=40(分)(250+90)×40÷2=6800(米) (9)350÷(350×2÷20-30)=70(米) (10)6÷60=0.1(小时)(10.8+4.8)×0.1÷(5.4-4.8)=2.6(小时) (11)120÷2÷(60-48)=5(小时)(60+48)×5=540(千米)【思维乐园】A

三、【思维热身】(1)35×(3-1)÷(40-35)=14(小时)

40×14=560(千米) (2)(4+12÷60)+(3+48÷60)=8(小时)48÷(8-48÷10)=15(千米) (3)(1+10+1)×10÷(3-1)=60(秒) 【思维体操】(1)18分=0.3时 6×0.3÷(15-6)=0.2(时)=12(分) (2)12分=0.2时 30×0.2÷(40-30)=0.6(时) 40×0.6=24(千米) (3)(100+80)×5÷(100-80)=45(分)100×(45+5)=5000(米)

(4)20÷5=4(时)(20-2)÷10=1.8(时)4-1.8=2.2(时) (5)1000÷5=200(米)6000÷(6000÷200-10-5)=400(米) (6)设全程为x千米。X÷2+x÷5=38+32,x=100假设法求上坡路:(5×38-100)÷(5-2)=30(时)2×30=60(千米)下坡路是100-60=40(千米) (7)40分【思维乐园】B

四、【思维热身】(1)(15+3)×8=144(千米)144÷(15-3)=12(小时)144÷12=12(小时) (2)21+(21-144÷8)=24(千米/小时)144÷24=6(小时) (3)2÷4=0.5(小时 (4)90000÷(1000÷2)=180(分)=3(小时)【思维体操】(1)140÷(25+3)=5(小时) (2)30-(176÷11)=14(千米/小时)176÷(14+30)=4(小时) (3)18×2÷3=12(千米/小时)(18+12)÷2=15(千米/小时)

(18-12)÷2=3(千米/小时) (4)(352÷11-352÷16)÷2=5(千米/小时) (5)90÷3=30(千米/小时)90÷15=6(千米/小时)(30+6)÷2=18(千米/小时)(30-6)÷2=12(千米/小时) (6)(120÷2-120÷4)÷2=15(千米/小时)120÷3-2×15=10(千米/小时)120÷10-3=9(小时) (7)336÷(24+36)=6(小时) 336÷(32-24)=42(小时)【思维乐园】D

五、【思维热身】(1)(17×30-19×24)÷(30-24)=9(单位1)510-9×30=240(单位1)240+9×(6+2)=312(单位1)312+4×2=320(单位1)320÷8=40(头) (2)(1×5×8-1×10×3)÷(8-3)=2(单位1)(1×10×3-2×3)÷2=12(人)12+2÷2=14(人)

(3)(16×20-20×12)÷(20-12)=10(单位1)16×20-10×20=120(单位1)120÷(60÷4+10-10)=8(天) (4)(8×10-6×20)÷(20-10)=4(台)120-20×4=40(台)40÷5+4=12(台)【思维体操】(1)25×4=100(头) (2)12×25

÷10=30(头) (3)(15×20-20×10)÷(20-10)=10(头)

(4)(4×15-6×9)÷(15-9)=1(台) 4×15-1×15=45(台) (5)(10×20-15×10)÷(20-10)=5(单位1)10×20-5×20=100(单位1)100÷(30-5)=4(天) (6)(5×8-10×3)÷(8-3)=2(单位1)10×3-2×3=24(单位1)24+2×2=28(单位1)28÷ 44

2=14(头) (7)(23×9-27×6)÷(9-6)=15(单位1)23×9-15×9=72 72÷6=12周

(8)(5×20-6×15)÷(20-15)=2(单位1)5×20-2×20=60(单位1)(60+6×2)÷6=12(台)【思维乐园】60厘米

六、【思维热身】1、4×(4-1)÷2×3=18(条)3×(3-1)÷2×3=9(条)18+9=29(条)2、50×(50-1)÷2=1225(条)3、(a)3×(3-1)÷2=3(个)(b)4×(4-1)÷2=6(个)(c)5×(5-1)÷2=10(个)【思维体操】1、13×(13-1)÷2=78(个)2、20×(20-1)÷2=190(条) 3、15×(15-1)÷2=105(条) 4、20×(20+1)÷2=210(个) 5、10×(10+1)÷2=55(个) 6、9×(9+1)÷2=45 6×(6+1)÷2=21 45×21=945(个)7、10×(10+1)÷2=55 55×55=3025(个) 8、(7+1)×(7+1)=64(个) 9、289=17×17 P=2n-1=2×17-1=33(个) 10、5×(5-1)÷2=10 6×(6-1)÷2=15 10×15=150(个)【思维乐园】

七、【思维热身】1、10×20÷2+10×10÷2=150(平方厘米)或10×10+20×20=500(平方厘米)20×20÷2+(20+10)×10÷2=350(平方厘米)500-350=150(平方厘米)

2、(4+10)×10÷2=70(平方厘米)4×4÷2=8(平方厘米)6×6÷2=18(平方厘米)4×(6+4)÷2=20(平方厘米)

70-(8+18+20)=24(平方厘米) 3、9×6÷3=18(平方厘米) 6-18×2÷9=2(厘米)9-18×2÷6=3(厘米 )

18-2×3÷2=15(平方厘米)【思维体操】1、5×2×4=40(平方厘米) 2、244-(50+132+12)=50(平方厘米)

23、25-8=17(平方厘米)4、8×2+8×4÷5×2=36(平方厘米)5、阴影部分的面积是。5

6、3平方厘米。7、CF=5厘米。【思维乐园】A

八、【思维热身】1、4x+3.60=8x-4.80 x=2.10 2.10×4+3.60=8.4+3.60=12(元) 2、13×(x-25)=3×(x+25) x=40 A、B间的距离为3×(x+25)=3×(40+25)=195米

3、15×(x-0.4)=12×(x+0.25) x=3 15×(3-0.4)=39(千米)或x÷15+0.4=x÷12-0.25 x=39 39÷15+0.4=2.6+0.4=3(小时) 4、x+x+10+x+8=36×3 x=30 30+8=38 【思维操练】1、2x+1.80=4x-2.40 x=2.10 2.10×2+1.80=6 (x-1.80)÷2=(x+2.40)÷4 x=6 2、56-2x=3×(36-2x) x=13 3、3x-20=x+20 x=60 4、55-x=2×(110-3x) x=33 5、x+x-12=40 x=26 26-13=14 6、6x+30=3×(x+30) x=20 6×20=120 7、4.5-0.36x=6-0.51x x=10 8、4×(x-4)=88+85+90+x x=93 93-4=89 9、(x-37)+(x-29)+(x-18)=x x=42 42-37=5 42-29=13 42-18=24 10、x+2+x-2+(x÷2)+2x=45 x=10 10+2=12 10-2=8 10÷2=5 10×2=20【思维乐园】D

九、【思维热身】1、x=2,3,4,5,6,y=16,24,32,40,48 2、(3+2)x+(4+2)y=35 y=5 x=1 3、1998-19xy=x+y x=8 y=5 8+5=13 4、6x+8x=46 x=(23-4y)÷3 y=2 x=5或 y=5 x=1【思维体操】1、5x+3y=50 x=1 y=15 2、5x+10y=50 x=8 y=1 3、3x-8u=7 x=5 y=1 4、xy+1=8x+6 x=7 y=7 8×7-6=50 5、10x+5y=160且 x﹤y﹤2x x=9 y=14 6、(x÷4+1)-{{(x-2)÷6}+1}=9 x=104 7、2(y+2a)÷6 x=5【思维乐园】D

十、【思维热身】(1)7 (2)9990和4995(3)a=2 b=0 c=0 (4)4950÷90=55(名)

(5)略(6)112131415 (7)54【思维体操】(1)2或8 (2)3600 (3)0或6 (4)9

(5)132,231 (6)6 (7)1020 (8)5个(9)因为45=5×9,所以x1993y能被5和9整除,所以y可取0或5。当y=0时,x19930能被9整除,可知x=5。当y=5时,x19935能被9整除,可知x=9。所以满足条件的六位数是519930或919935。(10)根据这个数能被11整除,可得(1+2+3+4+5)-5a的差应是11的倍数,即15-5a的差是11的倍数。又因为a是数位上的数字,所以a只能取0—9,所以只有a=3才能满足条件,符合题意的整数是1323334353。(11)要使这个六位数尽可能小,而且能被5整除,百位和个位上的数字都应选0。这样,五位数字之和是5+6+8+0+0=19。要使这个六位数能被3整除,十位上 45

可填2,5,8。由能被4整除的数的特征(这个数的末两位数应该能被4整除)可知,应在十位上填2。这个六位数是568020。(12)因是18的倍数,个位为偶数6或8,若个位为6,十位与百位的和为12,有576和756;若个位为8,十位与百位的和为10,重复使用不行。所以是576和756。

(13)因为

××1001

11×91

所以能被91整除。

又×, 5ab 99所以要使99个能被91能被91整除,只有546能被91整除,因此,5ab=546。【思维乐园】(2+2+2+2)=22212。 十一、【思维热身】(1)1170-78=1092 1092=2×2×3×7×13=84×13=91×12 答:这个两位数是84或91。 (2)360=2×2×2×3×3×5=3×4×5×6 3+4+5+6=18(岁)答:这四个小孩年龄之和是18岁。(3)77、65、36、12的积和104、35、33、18的积相等。

(4)21、60、65、143的积与126、169、275的积相等。(5)积的末三位是连续的0。(6)462=2×3×7×11=2×231=3×154=7×66=11×42=6×77=14×33=22×21=1×462 答:共有8种不同的拼法。(7)2910=2×3×5×97=3×(2×5)×97(四年级学生年龄在10岁左右,不可能是3×5岁),所以这个学生的名次是第三名,成绩是97分。【思维体操】(1)23-5=18,18=2×3×3=6×3=2×9=1×18 有三种不同的填法:23÷(6)=(3)??5 23÷(9)=(2)??5 23÷(18)=(1)??5 (2)120=2×2×2×3×5=8×3×5,这三个数是3、5、8 (3)24=2×3×2×2,最大的是4岁。 (4)40=2×2×2×5,44=2×2×11,45=3×3×5,63=3×3×7,65=5×13,78=2×3×13,99=3×3×11,105=3×5×7把这些质因数分成相等的两组得(44、45、78、105)和(40、63、65、99)。(5)先分解质因数,然后再分成三组:(39、70、84)、(45、56、91)和(49、60、78)。 (6)把320写成两个差是4的数的积,就可求出原来的长与宽,原长方形的周长是(16+20)×2=72(米)。(7)312=2×2×2×3×13,因为每人不超过10棵,所以,可能是每人8棵或每人6棵,但每人8棵时,人数则是39人,减去老师,剩下的38人不可以平均分成3组,因此每人种6棵,51个学生。(8)99=3×3×11=9×11 答:水果糖每千克11元。(9)2328=2×2×2×3×97,因为李亮上六年级,所以应该是2×2×3=12(岁),得97分,是第二名。

(10)910=2×5×7×13,三个人分别得7本、10本、13本。(11)1620=2×2×3×3×3×3×5=36×45,甲45,乙36。(12)315=3×3×5×7,共有15辆卡车。【思维乐园】第一次船上坐6人,到对岸后,必须有1人驾船返回,也就是说,第一次实际上只是把5人渡过河去,当小船渡了9次时,渡过的人数是5×9=45(人),这时还没有渡过河的人有54-45=9(人),9人至少还要渡两次,所以把53个同学和王老师全部渡过河去,至少需要9+2=11(次)。

十二、【思维热身】(1)450和330的最大公约数是30。450÷30=15(块)330÷30=11(块)15×11=165(块)答:需要边长30厘米的方砖165块,正好把房间地面铺满。 (2)2.7米=270厘米,1.8分米=18厘米,1.5分米=15厘米。270,18和15的最大公约数是3,3厘米=0.3分米答:正方体的棱长最大是0.3分米。(3)196、294和490的最大公约数是98,答:这个数最大是98。(4)336、252和210的最大公约数是42 336÷42=8(支) 252÷42=6(块) 210÷42=5(个)答:最多可以分成42份同样的礼物。在每份礼物中,铅笔、橡皮、文具盒各有8支、6块、5个。【思维体操】(1)135和105的最大公约数是15 (135÷15)×(105÷15)=63(块)答:至少能裁63块。 (2)45、36和24的最大公约数是3,答:所切正方体木块的棱长最长是3厘米。 (3)50、75、100的最大公 46

约数是25,答:最多可以分给25个小组。 (4)110-5=105(块)240+5=245(块) 105、210、245的最大公约数是35 ,答:五(1)班最多有35名同学。 (5)2100-7=2093(个) 1800-6=1794(个) 1600-13=1587(个) 2093、1794、1587的最大公约数是23, 答:这批工人最多有23人。(6)200、240、360的最大公约数是40,200÷40+240÷40+360÷40=20(段)答:一共可以截成20段。【思维乐园】答:他得27分。

十三、【思维热身】(1)3、4、5的最小公倍数是60, 答:至少再过60天他们三人又在图书馆相会。 (2)20、12、6的最小公倍数是60,60×60×60÷(20×12×6)=150(块)答:至少需要150块砖头。(3)甲跑一圈需要600÷3=200(秒)乙跑一圈需要600÷4=150(秒)丙跑一圈需要600÷2=300(秒),200、150、300的最小公倍数是600,所以经过600秒后三人又同时从出发点出发。(4)6和8的最小公倍数是24。在42至52之间6和8的公倍数是48,48-2=46(人)答:参加数学竞赛辅导班的人数是46人。(5)因为每隔50米竖有一根电线杆,共有55根。所以,小亮家到学校的距离是:50×(55-1)=2700(米),50和60的最小公倍数是300。从第一根开始每隔300米的那一根不动,还有2700÷300=9(根)不必移动,再去掉最后一根,中途有9-1=8(根)不必移动。(6)24、28、32的最小公倍数是672,672-2=670(个)答:这批水果共有670个。【思维体操】(1)10、15、20的最小公倍数是60,所以至少要过60分钟又有这三种路线的车同时发车。(2)9、6、7的最小公倍数是126,(126÷9)×(126÷6)×(126÷7)=5292(块)答:至少需要用这样的长方体5292块。(3)240×2÷4=120(秒),240×2÷5=96(秒),240×2÷3=160(秒),120、96、160的最小公倍数是480,所以再经过480秒三人又从此处同时出发。(4)凡是30和45公倍数处的那一根不必移动,30和45的最小公倍数是90,总距离是30×(25-1)=720(米),720÷90=8(根),连起点的一根共有9根不需移动。(5)6×9+3=57(人)答:五(1)班有57人。(6)4、5、6、7、8的最小公倍数是840,840+1=841(个)答:这批乒乓球有841个。【思维乐园】234×124000+766000×124=234×124000+766×124×1000=(234+766)×124000=124000000

十四、【思维热身】(1) 2002÷2=1001(个奇数),说明1+2+3+4+?+2001+2002中共有奇数个奇数,所以和一定是奇数。 (2)1000÷3=333??1,根据这列数的排列规律是每三个数为一组,其中前两个是奇数,后一个是偶数,可知前1000个数中有偶数333个,有奇数1000-333=667(个)(3)满足题目要求的5个两位数的十位上的数是4,6,7,8,9;个位上的数是0,1,2,3,5。这5个数的和是(4+6+7+8+9)×10+(0+1+2+3+5)=351

(4)这3个相邻偶数是94,96,98。积是94×96×98=884352 (5)对每只杯口向上的杯子,只有翻转1次,3次,?才能使杯口向下,即对每只杯子只有翻转奇数次后,其杯口的朝向才会改变。现在要求7只杯口向上的杯子,杯口全部朝下,那么每只杯子必须经过奇数次翻转。又因为奇数个奇数的和是奇数,所以只有经过奇数次翻转,才能使7只杯口向上的杯子全部变为口朝下。另外每次只能同时翻转两只杯子,这就是说,不管如何翻转,最后翻转的总次数一定是2的倍数。因为任何整数乘以2的积一定是偶数,所以翻转的总次数是偶数。所以按要求无论怎样翻转,都不能使7只杯子全部杯口朝下。 【思维体操】(1)偶数和奇数 (2)360次,黑色(3)奇数 (4)偶数 (5)不能,因为5个奇数的和是奇数,而30是偶数。 (6)按题目要求写出一串数1,9,8,8,6,1,3,8,8,0,??根据奇偶性,从第一个数开始,这串数就按“奇奇偶偶偶”的规律循环排列,而1,9,9,4是三个奇数和一个偶数。所以这串数中不会出现1,9,9,4这四个数。 【思维乐园】C

十五、【思维热身】(1)第一层:1块;第二层:2×2=4(块);第三层:3×3=9(块);第四层:4×4=16(块);总块数:1+4+9+16=30(块)(2)从上面看是一个边长3厘米的正方形,它的面积是3×3=9(平方厘米);从左面看是长为3厘米宽为2厘米的长方形,面积是3×2=6(平方厘米);从前面看是长为3厘米宽为2厘米的长方形,面积是3×2=6(平方厘米);这个立体图形的表面积是(9+6+6)×2=42(平方厘米)(3)上下表面的面积之 47

和:2×2×2=8(平方厘米)侧面:2×2×4=16(平方厘米)1×1×4=4(平方厘米)0.5×0.5×4=1(平方厘米)0.25×0.25×4=0.25(平方厘米)这个立体图形的表面积是8+16+4+1+0.25=29.25(平方厘米)(4)(1993×1+1993×1+1×1)×2=7974(平方厘米)

(5)①剩下的小正方体的块数:(6-2)×(5-2)×(4-2)=4×3×2=24(块)②位于长方体8个角上的小正方体,有3个面涂上了红色,共8个。 位于长方体12条棱的两侧的小正方体(除去角上的),有两个面涂上了红色。其中4条长的两侧有2个小正方体两面涂上了红色,4条宽的两侧有3个小正方体两面涂上了红色,4条高的两侧有4个小正方体两面涂上了红色,所以两面涂上红色的小正方体的总个数是:【(4-2)+(5-2)+(6-2)】×4=36(个)。 只有一个面试红色的小正方体位于长方体各个面的中心部位。长方体有6个面,其中面积为4×5的2个面,每个面上有(4-2)×(5-2)=6(块)这样的小正方体;面积为4×6的2个面,每个面上有(4-2)×(6-2)=8(块)这样的小正方体;面积为5×6的2个面,每个面上有(5-2)×(6-2)=12(块)这样的小正方体。所以有一面是红色的小正方体共有:【(4-2)×(5-2)+(4-2)×(6-2)+(5-2)×(6-2)】×2=(6+8+12)×2=52(块)【思维体操】(1)150平方厘米(2)4×4+(1×1+2×2+4×4)×4=100(平方米)(3)上下方向:2×2×9×2=72(平方厘米),前后方向:2×2×7×2=56(平方厘米),左右方向:2×2×9×2=72(平方厘米),表面积:72+56+72=200(平方厘米)(4)第一种方法:10×10×6=600(平方厘米)第二种方法:一个小正方体有3个面没有涂上红色,8个小正方体共有3×8=24(个面)没有涂上红色,一个小正方体的每个面的面积是5×5=25(平方厘米)没有涂上红色的所有表面的面积和是25×24=600(平方厘米) (5)原正方体的表面积是4×4×6=96(平方厘米),在它的六个面各挖去一个棱长为1厘米的正方体后增加的面积为1×1×4×6=24(平方厘米),这个玩具的表面积是96+24=120(平方厘米) 【思维乐园】D

十六、【思维热身】(1)表面积:8×8×6+2×8×4-2×2×2=440(平方厘米),体积:8×8×8-2×2×8=480(立方厘米)答:这个零件的体积是480立方厘米,表面积是440平方厘米。(2)长×宽=2100÷10=210,将210分解质因数210=3×2×5×7,根据题意,长和宽只能是3×5和2×7,即长是3×5=15(米),宽是2×7=14(米)。答长和宽分别是15米和14米。(3)沉入中水池中碎石的体积是3×3×0.08=0.72(立方米),沉入小水池中碎石的体积是2×2×0.06=0.24(立方米),碎石的总体积是0.72+0.24=0.96(立方米),大水池水面上升的高度是0.96÷(5×5)=0.0384(米)=3.84(厘米)答:大水池的水面将升高3.84厘米。(4)浸在水中正方体铁块的体积是2×2×2=8(立方分米),水面上方空着的容积是5×6×1=30(立方分米),水箱的容积是82+8+30=120(立方分米)=120(升)答:长方体水箱的容积是120升。(5)每个横截面的面积是16÷(2×2)=4(平方米),原长方体的体积是2×3×4=24(立方米)答:原长方体的体积是24立方米。(6)假设上升的水位能把铁块淹没,那么上升的水的体积就是铁块的体积,6×6×6=216(立方分米),能使水槽中的水位上升216÷(24×9)=1(分米),原来的水深4分米,从而现在水深5分米,与淹没6分米高的铁块发生矛盾,所以上升的水位不能把整个铁块淹没。既然上升的水位不能把整个铁块淹没,设上升了x分米,则24×9×x=6×6×(x+4),得x=0.8(分米),答:水位上升了0.8分米。【思维体操】(1)①的容积是(12-4×2)×(12-4×2)×4=64;②的容积是(12-3×2)×(12-3×2)×3=108;③的容积是(12-2×2)×(12-2×2)×2=128;④的容积是(12-1×2)×(12-1×2)×1=100;最大的容积是128。(2)30×20×1=600(立方厘米),600×7.8=4680(克)=4.68(千克)答:这个铁球重4.68千克。(3)2×(4-1)=6(个横截面),24÷6=4(平方厘米),4×(6×4)=96(立方厘米)答:原长方体体积是96立方厘米。(4)8÷2÷4=1(分米),1×1×2=2(立方分米)答:截去的长方体体积是2立方分米。(5)水面最高为(5×6×2+4×5×2)÷(4×5)=5(分米),水的体积为4×5×5=100(升)答:水面最高是5分米,这时鱼缸中水的体积是100升。 【思维乐园】6号正方形。

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练习17

1、 答:所求的数共有13个。

2、 答:多3人;

3、 答:两科都在90分以上的学生有8人。

4、 答:两个正方形所盖住的面积是10.75。

5、 答:7+4-8=3;

6、 答:既懂英语又懂俄语的旅客有68人。

7、 答:参加棋类比赛的共有95人。

8、 答:三个正方形所盖住的面积为53。

9、 答:这个班共有50人。

10、 答:(1)16+10-3=23,100-23=77(个);

(2)50+33+20-16-10-6+3=74(个);

11、 答:1到200的自然数中不能被2,3,5中任何一个数整除的数有54个。

12、 答:要冷饮的有5+5+5-3-2-2+1=9(人),可见一定有1人没有要饮料;

13、 答:(1)5人;

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