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第5讲 工程问题

发布时间:2014-03-28 09:05:44  

第5讲 工程问题

生活故事:

财主家要在自家后花园周围建一道砖墙,计划雇请阿凡提来完成这项工程。阿凡提平均每天能建墙1又1/2米,他一共花上18天时间就能全部完工。财主现在准备让阿凡提建完10天后,把剩下的部分交由另外一个工人来完成,此人平均每天只能建4/5米,那么还要花多少时间才能完成?财主为此向阿凡提请教,阿凡提听后觉得非常简单,不慌不忙地回答道:“我每天建1又1/2米,18天建完,砖墙总长为1又1/2×18=27(米),如果只是让我建10天,那么我只建了1有1/2×10=15(米),27-15=12(米),这个工人每天建4/米,12÷4/5=15(天),所以剩下的还需要15天才能完成。” 阿凡提回答的这个问题实际上就是数学问题中的工程问题,下面我们一起来总结一下解答工程问题的基本方法。

知识与方法:

知识要点

工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实,这类题目的内容已不仅仅是工程方面问题,也包括行路,水管注水等许多内容。

工程问题的一般条件有工作量,工作效率和工作时间,三者之间的基本关系是:

工作量=工作效率×工作时间

工作量指的是工作的多少,一般用单位“1”表示全部工作量,也有部分工作量,一般用分数表示,例如:工程的一半用50%(或1/2)表示,工程的三分之一表示为1/3.

工作效率表示工作的快慢,其意义是单位时间里所完成的工作量。单位时间的选用,根据题目需要,可以是天,也可以是时,分,秒等。而工作效率是一个复合单位,表示成“工作量/天”或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下,一般不写工作效率的单位。

基本方法:

工程问题主要分为两类,一类是已知具体工作量,另一类是未知给出具体工作量,解答这类题一般要遵循以下原则:一是没有给出工作量的,可设工作量为“1”,二是由于工作量为”1”,则一般用完成时间的倒数表示该人(或队)的工作效率。

工作效率是解答工程问题的重点,如果能直接求出工作效率,再解答其他问题就较容易,如果不能直接求出工作效率,就要仔细分析单独或合作的情 1

况,想方设法求出单位独做的工作效率或合作的工作效率。

总而言之,在工程问题中,工作总量一般不是一个具体的数,常被看作单位“1“,工作效率也不是一个具体的数量,常常用工作总量的几分之一来表示。

问题与思考:

1,单独干某项工程,甲队需100天完成,乙队需150天完成。甲,乙两队合干50天后,剩下的工程乙队还需要多少天?

分析:以全部工程量为单位1.。甲的工作效率为1/100,乙的工作效率为 1/150.两队的工作效率为(1/100+1/150),由“工作量=工作效率×工作时间“,50天的工作量是(1/100+1/150)×50=5/6,剩下的工作量是 (1-5/6),从而可求出乙还需做的天数。

解:「1-(1/100+1/150)×50」÷1/150=25(天)

答:剩下的工程乙队还需25天。

2,甲,乙二人同时从两地出发,相向而行。走完全程甲需60分钟,乙需40分钟。出发后5分钟,甲因忘记带东西而返回出发点,取东西又耽误了5分钟。问甲再出发后多长时间两人相遇?

分析:这道题看起来像行程问题,但是既没有路程又没有速度,所以不能用时间,路程,速度三者关系来解答。甲出发5分钟后返回,往返一共耽误10分钟,再加上取东西的5分钟,等于比乙晚出发15分钟,因此,我们将题目改一下,完成一项工作,甲需60分钟,乙需40分钟,乙先做15分钟后,甲,乙合作还需多长时间?由此看出,这道题应该用工程问题的解决来解答。 解:(1-1/40×15)÷(1/60+1/40)=5/8÷1/24=15(分钟) 答:甲再出发后15分钟两人相遇。

3,一项工程,甲单独做10天完成,乙单独做12天完成,丙单独做15天完成。现在甲,乙,丙合做一段时间后,甲被抽调去做别的事,故花了6天完成任务。问甲做了多少天?

分析:甲,乙,丙的工作效率依次为1/10,1/12,1/15,由于乙和丙都做了6天,故完成(1/12+1/15)×6=9/10的工作量,剩下1/10的工作量时甲完成的,从而可求出甲的工作时间。

解:(1/12+1/15)×6=9/10

(1-9/10)÷1/10=1(天)

答:甲只做了1天。

2

4,一项工程,甲,乙合做10天可完成这项工程的1/3,乙,丙合做4天可以完成余下工程的1/4,最后由甲,丙合做10天完成全部任务,问甲,乙,丙单独做各需多少天完成全部工程量?

分析:由甲,乙合做10天完成1/3,可知甲,乙工作效率的和为:

1/3÷10=1/10,由乙,丙合做4天可完成余下工程量的1/4,可知乙,丙工作效率的和为:(1-1/3)×1/4÷4=1/24,由甲,丙合做10天完成余下的工程量,可知甲,丙工作效率的和为(1-1/3-1/6)÷10=1/20.从而可知甲,乙,丙工作效率的和为:(1/30+1/24+1/20)÷2=1/16.继而可以求出甲的工作效率为:1/16-1/24=1/48,乙的工作效率为:1/16-1/20=1/80,丙的工作效率为:1/16-1/30=7/240.再求各自单独完成这两项工程的时间也就容易了。

解:1/3÷10=1/30.。。。。。甲,乙工作效率的和

(1-1/3)×1/4÷4=1/24.。。。。乙,丙工作效率的和 (1-1/3)-(1-1/3)×1/4=1/2

1/2÷10=1/20.。。。。。甲,丙工作效率的和

(1/30+1/24+1/20)÷2=1/16.。。。。。甲,乙,丙工作效率的和 1/16-1/24=1/48.。。。。。甲的工作效率

1/16-1/20=1/80.。。。。乙的工作效率

1/16-1/30=7/240.。。。丙的工作效率

所以,甲单独做完需1÷1/48=48(天)

乙单独做完需1÷1/80=80(天)

丙单独做完需1÷7/240=34又2/7(天)

答:甲,乙,丙单独做各需48天,80天,34又2/7天。

5,有一个空水池装有甲,乙两个进水管,单开甲管9小时可注满3/4池水,单开乙管20小时可注满5/6池水。现同时打开两个进水管注水,6小时后,关上甲管,由乙管继续注水。问注满这池水工花了多少小时?

分析:本题关键是求出关上甲管后,余下的工作量由乙管单独完成花了多少时间。在知道了乙管注水的工作效率的前提下,只需知道乙单独注了多少水。 解:3/4÷9=1/12.。。。。甲管的工作效率

5/6÷20=1/24.。。。乙管的工作效率

(1/12+1/24)×6=3/4.。。。。。甲,乙一起注水6小时的工作量 (1-3/4)÷1/24=6(小时)。。。。关上甲管后,乙管注水的时间 6+6=12(小时) 答:注满这水池共花去12小时。 3

6,甲,乙,丙三名打字员共同打印一份材料。甲,乙同时打印6小时完成了总工作量的1/3,乙,丙同时打印2小时完成了余下的工作量的1/4,最后三人同时打印5小时完成全部任务,共得打印费180元。如果按每个人多劳多得的原则进行分配,三人各应分多少钱?

分析:由于知道每个人的工作时间,故只需要知道每个人的工作效率,这样就等于知道了每个人的工作量。每个人的工作量知道了,分配问题就解决了。 解:1/3÷6=1/18.。。。。甲,乙工作效率的和

(1-1/3)×1/4÷2=1/12.。。。。。乙,丙工作效率的和 (1-1/3)(1-1/4)÷5=1/10.。。。。。甲,乙,丙三人工作效率的和

1/10-1/12=1/60。。。。。甲的工作效率

1/18-1/60=7/180.。。。。乙的工作效率

1/12-7/180=2/45.。。。。丙的工作效率

180×1/60×(6+5)=33(元)

180×7/180×(6+2+5)=91(元)

180×2/45×(2+5)=56(元)

答:甲应分33元,乙应分91元,丙应分56元。

7,一件工程,甲单独做50天可以完工,乙单独做60天可以完工,丙单独做80天可以完工。甲,乙,丙合做,甲每天做2天后就休息一天,乙每天做3天后就休息一天,丙每天做5天后就休息一天,直到这件工程做完,问共用了多少天?

分析:因为甲每3天中先工作2天后休息1天,乙每4天中先工作3天后休息1天,丙每6天中先工作5天后休息1天,所以在12天中,甲工作了8天(休息4天),乙工作了9天(休息3天),丙工作了10天(休息2天)这样可以求出每12天完成的工作量。然后用这12天的工作量去除工作总量,可得出工作了1÷(8/50+9/60+10/80)=2又26/87(个)12天。但是在不足12天的时间里,计算天数用累加的方法,即先是甲,乙,丙合做了2天,然后甲休息,乙,丙继续合做了1天,剩下的工作量由甲,丙合做完成。 解:「2+1,3+1,5+1」=12(天)

(8/50+9/60+10/80)×2=87/100.。。甲,乙两个12天完成的工作量 (1/50+1/60+1/80)×2=59/600.。。。。甲,乙,丙再合做2天完成的工作量

(1/60+1/80)×1=7/240.。。。。乙,丙又合做1天完成的工作量 4

1-(87/100+59/600+7/240)=1/400

1/400÷(1/50+1/80)=1/13(天)。。。。甲,乙完成余下工作量所需天数

12×2+2+1+1/13=27又1/13(天)

答:甲,乙,病完成这件工程共用了27又1/13天。

阅读与欣赏:

本讲的7个问题的解法都是把工作总量看做“1“,这是解工程问题最常用的一种方法。下面再介绍两种解工程问题的方法,希望大家对新的方法也产生兴趣。

方法一:为了尽可能用整数进行计算,可以把工作量多设份额,这样的方法叫做整数法。

例如解例7,因为(50,60,80)=1200,所以设全部工作量为1200份,那么甲每天可完成24份,乙每天可完成20份,丙每天可完成15份,在1个周期内,甲,乙,丙共完成工作量24×8+20×9+15×10=522(份),三人工作一天完成工作量24+20+15=59(份),乙和丙合作一天完成工作量20+15=35(份),甲和丙合作一天完成工作量24+15=39(份),故前期共完成522×2+59×2+35=1197(份)还剩下1200—1197=3(份),由甲,丙合做,还需3÷39=1/13(天)。所以,甲,乙丙共同完成这件工程共用了 12×2+2+1+1/13=27又1/13(天)

方法二:我们知道,时间一定,工作量个工作效率成正比,工作量一定,工作效率和时间成反比,如果我们从比例角度考虑工程问题,也是具有实际意义的。

例如,一件工作,甲单独做20天可完成,乙单独做30天可完成,则甲,乙合做几天可以完成?我们由条件可以知道甲,乙工作效率的比是30:20=3:2,所以甲,乙合做时,甲应完成全部工作量的3/3+2=3/5,所以需时间为20×3/5=12(天)

当然,工程问题的解答还有其他方法,比如方程法等,限于篇幅,这里就不介绍了。

练习与探索:

1,一件工程,甲单独做需24天完成,现在乙先做7天,剩下的由甲单独做12天才完成。问如果全部工作由乙单独做,需要几天才能完成?

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2,一部书稿,甲打字员单独打14天可打完,乙打字员单独打35天可打完,现在甲,乙两人合打一段时间后,剩下的由乙单独打,还需21天才能完成。问甲工作了几天?

3,甲,乙,丙合挖一条沟渠,甲,乙合挖5天可完成1/3,乙,丙合挖2天可完成1/6,甲,丙合挖5天可完成1/2.问甲,乙,丙单独完成各需多少天完成任务?

4,一个水池装有两根出水管和一根进水管,单开一根出水管40分钟可放光一池水,单开一根进水管30分钟可注满一池水。现在又一满池水需放掉,由于工作人员疏忽,把三根水管全开了,问放光这池水花了多少时间?

5,一项工程,先由甲做10天完成了全部工程的1/6,然后由乙做5天完成全部工程的1/4,再由丙做2天完成全部工程的1/15,最后为了赶进度,甲,乙,丙合做余下的工程,还需要多少天才能完成任务?

6,一列快车从甲地往乙地需5个小时,一列慢车从乙地开往甲地所需时间比快车所需时间多1/5.两列火车同时从甲,乙两地分别开出,相向而行,2小时后,慢车停止前进,快车继续前进96千米与慢车相遇。问甲,乙两地相距多少千米?

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7,甲,乙两人合作,12天可以完成一项工程,如果甲工作2天,乙工作3天,那么他们只完成工程的1/5.求每人单独完成全部工程各要多少天?

8,一项工程,甲单独做完要50天,乙单独做完要60天。两人合作,甲每做3天后休息1天,乙每做5天后休息1天。问两人合作完成这项工程共花去多少天?

9,两个运输队合作一批货物,7小时可以运完,共同运了5小时后,第一队的所有车辆和第二队车辆的1/5掉往别处,剩下的车辆运了6小时全部运完,问两队单独运各需多少时间?

10,用三根水管的向水槽注水,单开甲管45分钟注满,单开乙管50分钟注满,单开丙管60分钟注满,现在三管齐开5分钟后,关闭甲管,再过5分钟,关闭乙管,问再过几分钟水槽注满?

11,两列火车从甲,乙两地相向而行,慢车从甲地到乙地需8小时,比快车从乙地到甲地多用去1/3的时间,如果两车同时开出,那么相遇时快车比慢车多行驶了40千米,求甲,乙两地的距离。

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