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四川省2014年初中数学联赛初赛()初三试卷及解答

发布时间:2014-03-28 16:59:48  

2014年四川省全国初中数学联赛初赛

(初三)试卷及解析

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

本题共有6个小题,每题均给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中有且只有一个是正确的,将你选择的答案的代号填在题后的括号内,每小题选对得7分;不选、错选或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。

1、某件商品的标价为13200元,若以8折降价出售,仍可获利10%(相对于进货价),则该商品的进货价是 ( )

A、9504元 B、9600元 C、9900元

D、10000元

2、如图,在凸四边形ABCD中,AB?BC?BD,?ABC?80?,则?ADC等于( )

A、80° B、100° C、140° D、160°

3、如果方程(x?2)(x2?4x?m)?0的三根可以作为一个三角形

的三边之长,那么,实数m的取值范围是 ( ) A

A、0?m?4 B、m?3 C、m?4 D、

3?m?4

4、如图,梯形ABCD中,AB∥CD ,?BAD?60?,?ABC?30?,AB?6,且AD?CD,那么BD的长度是 ( ) A

B、4 C

、 D

5、如果?2014?a?0,那么x?a?x?2014?x?a?2014的最

小值是 ( ) ABA

B

A、2014 B、a?2014 C、4028 D、a?4028

2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷(第 1 页 共 6 页)

6、方程x2?xy?y2?3(x?y)的整数解有 ( )

A、3组 B、4组 C、5组 D、6组

二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)

1、如图,扇形AOB的圆心角?AOB?90?,半径为5,正方形CDEF

内接于该扇形,则正方形CDEF的边长为 。

ABO2、已知四个自然数两两的和依次从小到大的次序是:23、28、33、39、x、y,则x?y? 。

3、已知x?y?

6?

9

4、有质地均匀的正方体形的红白骰子各一粒,每个骰子的六个面分别写有1、2、3、4、5、6的自然数,随机掷红、白两粒骰子各一次,,红色骰子掷出向上面的点数比白色骰子掷出向上面的点数小的概率是 。

三、(本大题满分20分)

已知2a2?a?4?0,a?b?2,求

四、(本大题满分25分)

Rt?ABC中,?ACB?90?,AE垂直于AB边上的中线CD,交BC于点E.

(1)求证:AC2?BC?CE

(2)若CD?3,AE?4,求边AC与BC的长。

A12?的值。 a?1b

五、(本大题满分25分)

已知二次函数y?x2?ax?b的图像经过点CE

B

2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷(第 2 页 共 6 页)

A(x1,0)、B(x2,0)、C(2,m),且0?x1?x2?2.

(1)求证:m?0; (2)若b?1,求证:m?1.

答案解析

解析:本题是利润问题。法1:直接设进货价x元,可列一大题 1.

13200?0.8?x?10%x,解之x?9600;法2:用算术方法,列式 13200?0.8?(1?10%)?9600,选B。

2. 解析:法1:∵AB=BC=BD,∴∠A=∠ADB,∠C=∠CDB,由∠A+∠ADB+∠CDB+∠C+∠ABC=360°,∴2(∠ADB+∠CDB)=360°-80°,即∠CDA=140°; 法2:

ADC所对的圆周角为40°,∵AB=BC=BD,∴构建以B为圆心的圆,故可容易得?

由圆内接四边形对角互补,所以?ADC?140?,选C。

3. 解析:法1:∵AB=BC=BD,∴∠A=∠ADB,∠C=∠CDB,由∠A+∠ADB+

∠CDB+∠C+∠ABC=360°,∴2(∠ADB+∠CDB)=360°-80°,即∠CDA=140°;

ADC所对的圆周角为法2:∵AB=BC=BD,∴构建以B为圆心的圆,故可容易得?

40°,由圆内接四边形对角互补,所以?ADC?140?,选C。

4. 解析:法1:如图,延长AD、BC交点E,可构建直角三角形ABE ,∠E=90°,

由∠ABC=30°,AB=6,

∴AE?3,BE?因为DC∥AB,可得∠ECD=∠ABC=30°, ∴DE?1DC?1AD.AE?AD?DE,?DE?1AE?

1,BD?

223?A B法2:作DF⊥AB于F,CG⊥AB于G,可去求得

再由

AF+FG+GB=AB=6,求得AD=2,故

FB=5,BD?

选C。

2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷(第 3 页 共 6 页)

5.解析:用“零点分段法”,①当x??2014时,化简原式≥?x>2014;②当?2014?x?a时,化简原式=x?4028≥2014;③当x?a时,化简原式=3x?2a?4028≥a?4028?2014,综上所述,最小值为2014,选A。

6. 解析:把方程看作是关于一个未知数的一元二次方程,求其整数解来解答。 如:看作是关于x的一元二次方程,整理为x2?(y?3)x?y2?3y?0,方程有解,故??(y?3)2?4(y2?3y)?0,即(y?1)2?4,??1?y?3。在?1?y?3的条件下,再解

方程x?(y?3)x?y?3y?

0,得x?22x,y为整数,且?1?y?3,

6组,选D。

A

Bx?2解得???x?0?x?3?x?2?x??1?x?0,所以共,?,?,?,?,??y??1?y?0?y?0?y?2?y?2?y?3二大题、 1. 解析:作OM⊥EF于M,交DC于点N,连接OF,易

得OM为扇形的对称轴,设正方形边长为2x,由垂径定理,OB

可得MF=CN=ON=x,再由OM?MF?OF,有(3x)?x?5,

A222222解之,x?

2

2.?a?b?23?a?c?28??a?d?33解析:设四个自然数从小到大依次为a、b、c、d,则由题意有?b?c?39,??b?d?x??c?d?y四式相加,有3(a?b?c?d)?123?x?y,而a?b?c?d?72,所以x?y?93。 3.

解析:令a,与已知根式相乘,得x2?xy?(xy?y2)?9a,即(x?y)2?9a,所以a?4。

54.解析:利用树状图求概率。12

2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷(第 4 页 共 6 页)

三大题.

解析:法(一):由a?b?2,得b?a?2,又由2a2?a?4?0,知a?0,所以

6a6a6a12123a?2????2 ????22a?1ba?1a?2a?a?22a?2a?4(2a?a?4)?3a?3a

法(二):由已知a?0,再由a?b?2,得a?b?2 和 2a2?2ab?4a①,由原式与①求差,得2ab?4?5a。 ∴12b?2a?22b?4a?42b?4(b?2)?46b?126(b?2)????????2 a?1bab?b2ab?2b4?5a?2b4?5(b?2)?2b?3(b?2)法(三):由已知得b?a?2, 所以12123a. ··································· (10????2a?1ba?1a?2a?a?2分)

显然a?0,由2a2?a?4?0得a2?2??a. ··························· (15分) 2

所以

所以3a3a???2, a?a?2?a?a2212???2. a?1b………………………………….(20分)

四大题 解析:(1)(法一)

∵ ?ACB?90?,CD是斜边AB的中线,

∴ AD=CD=BD, ∴∠B=∠DCB

∵ AE⊥CD , ∠DCA+∠CAE=90°,而∠DCA+∠DCB=90°, ∴ ∠CAE=∠DCB=∠B,Rt△ACB与Rt△ECA有公共角∠ACE ∴ △ACB∽△ECA, 得AC?CB , 即 AC2?CE?CB ECCA

(法二) ∵ ?ACB?90?,CD是斜边AB的中线, ∴ AD=CD=BD, 故可以D为圆心作圆D,如A

D

2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷(第 5 页 共 6 页) CFB

图。

? AC?CF ∵ AE⊥CD , ∴ ?

∴ ∠CAE=∠B, Rt△ACB与Rt△ECA有公共角∠ACE

∴ △ACB∽△ECA, 得

(2) 由(1)△ACB∽△ECA,ACCB , 即 AC2?CE?CB ?ECCAACAB,而AB=2CD=6,AE=4 ?ECEA

∴ AC?3 ,即EC?2AC,由勾股定理 AC2?EC2?

AE2, AC?EC23

BC? ?? 五大题. 解析:证:(1)由已知可得方程x?ax?b?0的两根为x、x, 2

12

所以x1?x2??a,x1?x2,所以2?x2??a, ························· (5分) 2

由已知可得,当x??a时二次函数y?x2?ax?b的值随x的增大而增大. 2

所以二次函数在x?2的函数值大于在x?x2的函数值.

即m?0. ············································································· (10分) 法2:又由已知可得x2?ax?b?(x?x1)(x?x2),

所以m?(2?x1)(2?x2)。 ························································· (5分)

又因为0?x1?x2?2,

所以2?x1?0,2?x1?0,

所以m?0. ········································································· (10分)

(2)由已知得x2?ax?b?(x?x1)(x?x2)

令x?0得b?x1x2,

令x?2得m?(2?x1)(2?x2),

所以bm?x1x2(2?x1)(2?x2)?[1?(x1?1)2][1?(x2?1)2]。 ················· (15分) 因为0?x1?x2?2,所以0?1?(x1?1)2?1,0?1?(x2?1)2?1,

并且1?(x1?1)2?1和1?(x2?1)2?1不能同时成立,

所以0?bm?1. ···································································· (20分) 又b?1,所以m?1. (25分)

2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷(第 6 页 共 6 页)

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