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2012年全国初中数学竞赛预赛

发布时间:2014-03-29 17:36:22  

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2012年全国初中数学竞赛预赛

试题及参考答案

一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.在1,3,6,9四个数中,完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】

(A)2,3,1 (B)2,2,1 (C)1,2,1 (D)2,3,2

【答】A.

解:完全平方数有1,9;奇数有1,3,9;质数有3.

2.已知一次函数y?(m?1)x?(m?1)的图象经过一、二、三象限,则下列判断正确的是【 】

(A)m??1 (B)m??1 (C)m?1 (D)m?1

【答】C.

解:一次函数y?(m?1)x?(m?1)的图象经过一、二、三象限,说明其图象

?m?1?0,与y轴的交点位于y轴的正半轴,且y随x的增大而增大,所以? 解得m?1?0.?

m?1.

??DA???3.如图,在⊙O中,CDAB,给出下列三个

结论:(1)DC=AB;(2)AO⊥BD;(3)当∠BDC=30°

时,∠DAB=80°.其中正确的个数是【 】

(A)0 (B)1

(C)2 (D)3

【答】D. 第3题图

???AD??AB,解:因为CD所以DC=AB;因为?AO是半径,所以AO⊥BD;AB,

设∠DAB =x度,则由△DAB的内角和为180°得:2(x?30?)?x?180?,解得x?80?.

4. 有4张全新的扑克牌,其中黑桃、红桃各2张,它们的背面都一样,将 1

它们洗匀后,背面朝上放到桌面上,从中任意摸出2张牌,摸出的花色不一样的概率是【 】

3211 (B) (C) (D) 4323

【答】B.

解:从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能,摸出的2张牌花色不一样的有

424种可能,所以摸出花色不一样的概率是?. 63(A)

5.在平面直角坐标系中,点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(?3,?3),点C是y轴上一动点,要使△ABC为等腰三角形,则符合要求的点C的位置共 有【 】

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

【答】D.

解:由题意可求出AB=5,如图,以点A为圆心AB

的长为半径画弧,交y轴于C1和C2,利用勾股定理可求

第5题图 出OC1=OC2

?C1(0,26),C2(0,?26), 以点B为圆心BA的长为半径画弧,交y轴于点C3和C4, 可得C3(0,1),C4(0,?7),AB的中垂线交y轴于点C5,利用 三角形相似或一次函数的知识可求出C5(0,?17). 66.已知二次函数y?2x2?bx?1(b为常数),当b取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”,图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象,它们的顶点在一条抛物线上(图中虚线型

抛物线),这条抛物线的解析式是【 】

1(A)y??2x2?1 (B)y??x2?1 2

1(C)y??4x2?1 (D)y??x2?1 4

【答】A.

2y O x 第6题图

?b8?b2?b8?b2

解:y?2x?bx?1的顶点坐标是???4,8??,设x??4,y?8,由??

b8?b28?(?4x)2

x??得b??4x,所以y???1?2x2. 488

2

二、填空题(共6小题,每小题6分,共36分)

7.若m?n?2,则2m2?4mn?2n2?1的值为

【答】7.

解:2m2?4mn?2n2?1?2(m?n)2?1?2?22?1?7.

112??8.方程的解是 . (x?1)(x?2)(x?2)(x?3)3

【答】x1?0,x2??4. 解:111111????? (x?1)(x?2)(x?2)(x?3)x?1x?2x?2x?3

112??. x?1x?3(x?1)(x?3)?

∴22?,解得 x1?0,x2??4. (x?1)(x?3)3

9.如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标是(1,0),

若点A的坐标为(a,b),将线段BA绕点B顺时针旋转

90°得到线段BA?,则点A?的坐标是.

【答】(b?1,?a?1).

解:分别过点A、A?作x轴的垂线,垂足分别

为C、D.显然Rt△ABC≌Rt△BA?D. 由于点A的 第9题图 坐标是(a,b),所以OD?OB?BD?OB?AC?1?b,A?D?BC?a?1,所以点的A?坐标是(b?1,?a?1).

?是以点A为圆心210.如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,AM=1,DE

1?是以点M为圆心2为半径的1圆弧,为半径的圆弧,NB则图中两段弧之间的44

阴影部分的面积为 .

【答】2.

解:连接MN,显然将扇形AED向右平移

可与扇形MBN重合,图中阴影部分的面积等于 3 第10题图

矩形AMND的面积,等于1?2?2.

11.已知α、β是方程x2?2x?1?0的两根,则?3?5??10的值为.

【答】?2.

解:∵α是方程x2?2x?1?0的根,∴?2?1?2?.

∴ ?3??2???(1?2?)????2?2???2(1?2?)?5??2,

又 ∵?????2,

∴ ?3?5??10?(5??2)?5??10?5(???)?8=5?(?2)?8??2.

12.现有145颗棒棒糖,分给若干小朋友,不管怎样分,都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上,这些小朋友的人数最多有 个.

【答】36.

解:利用抽屉原理分析,设最多有x个小朋友,这相当于x个抽屉,问题变为把145颗糖放进x个抽屉,至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则4x?1≤145,解得x≤36,所以小朋友的人数最多有36个.

三、解答题(第13题15分,第14题15分,第15题18分,共48分)

13.王亮的爷爷今年(2012年)80周岁了,今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和,问王亮今年可能是多少周岁?

解:设王亮出生年份的十位数字为x,个位数字为y(x、y均为0 ~ 9的整数).∵王亮的爷爷今年80周岁了,∴王亮出生年份可能在2000年后,也可能是2000年前.故应分两种情况: ???????2分

(1)若王亮出生年份为2000年后,则王亮的出生年份为2000?10x?y,依

2题意,得 201?(20?00x?1y0?)?2?x0?y ,

整理,得 y?10?11x,2 x、y均为0 ~ 9的整数,

∴x?0. 此时y?5.

∴王亮的出生年份是2005年,今年7周岁.???????8分

(2)若王亮出生年份在2000年前,则王亮的出生年份为1900?10x?y,依

2题意,得 201?(19?00x?1y0?)?1?x9?y ,

102?11x102?11x,0≤≤9, 22整理,得 11x?102?2y,故x为偶数,又y?

4

∴ 77≤x≤9, ∴ x?8. 此时y?7. 11

∴王亮的出生年份是1987年,今年25周岁. ???????14分

综上,王亮今年可能是7周岁,也可能是25周岁.?????15分

14.如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是(5,0)、(3,2),点D在线段OA上,BD=BA, 点Q是线段BD上一个动点,点P的坐标是(0,3),设直线PQ的解析式为y?kx?b.

(1)求k的取值范围;

(2)当k为取值范围内的最大整数时,若抛物线y?ax2?5ax的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部,求a的取值范围.

解:(1)直线y?kx?b经过P(0,3),∴ b?3.

∵B(3,2),A(5,0),BD=BA,∴ 点D的坐标是(1,0)

∴ BD的解析式是y?x?1, 1≤x≤3. ?y?x?1,4, 依题意,得 ?,∴x?1?k?y?kx?3.

∴ 1≤41≤3.解得?3≤k≤?.?????????????????7分 1?k3

1 (2)??3≤k≤?,且k为最大整数,∴k??1. 3

则直线PQ的解析式为y??x?3.?????????????????9分

5?525?又因为抛物线y?ax2?5ax的顶点坐标是?,?a?,对称轴为x?. 24??2

5??y??x?3,?x?,551??2解方程组?得? 即直线PQ与对称轴为x?的交点坐标为(,), 52221x?.??y?.2??2?

∴12582??a?2.解得 ??a??.??????????????15分 242525

?上一动点, 15. 如图,扇形OMN的半径为1,圆心角是90°.点B是MN

BA⊥OM于点A,BC⊥ON于点C,点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点,GF与CE相交于点P,DE与AG相交于点Q.(1)求证:四边形EPGQ是平行四边形;(2)探索当OA的长为何值时,四边形EPGQ是矩形;(3)连结PQ,试说明3PQ2?OA2是定值.

5

解:(1)证明:如图①, ∵∠AOC=90°,BA⊥OM,BC⊥ON, ∴四边形OABC是矩形. ∴AB//OC,AB?OC.

∵E、G分别是AB、CO的中点, ∴AE//GC,AE?GC.

C

G

Q

F

B

N

∴四边形AECG为平行四边形.

∴CE//AG. ???????????4分 O A M D 连接OB, 图① ∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点, ∴ GF∥OB,DE∥OB, ∴ PG∥EQ,

∴四边形EPGQ是平行四边形.??????????????????6分

(2)如图②,当∠CED=90°时,□EPGQ是矩形. 此时 ∠AED+∠CEB =90°.

N 又∵∠DAE=∠EBC =90°,∴∠AED=∠BCE.

∴△AED∽△BCE.????????????8分 C

ADAE

?∴. BEBC

E G

xyy

设OA=x,AB=y,则∶=∶x,得y2?2x2.?10分 222又 OA2?AB2?OB2,即x2?y2?12. ∴x2?2x2?1,

解得x?

O

D A 图②

M

∴当OA

的长为

时,四边形EPGQ是矩形.????????????12分 3

(3)如图③,连结GE交PQ于O?,则O?P?O?Q,O?G?O?E..过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B?、A?.

PGPEGE2

???, PFPCFC1

2111

??=AB, GA?=GE=OA, ∴ PA?=AB333311

∴ A?O??GE?GA??OA.

26

在Rt△PA?O?中,PO?2?PA?2?A?O?2,

由△PCF∽△PEG得,

NCG

B'FO

D

A

MEPQ2AB2OA2

即 , 又 AB2?OA2?1, ??

4936

图③

6

∴ 3PQ2?AB2?, ∴ OA2?3PQ2?OA2?(AB2?)?.??????????????18分 1

34313

7

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