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数学竞赛初赛试题

发布时间:2014-03-30 18:02:15  

2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

一、填空题(每小题7分,共70分)

1.已知sinαcosβ=1,则cos(α+β)=

2.已知等差数列{an}的前11项的和为55,去掉一项ak后,余下10项的算术平均值为4.若a1=-5,则k= .

3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率e=

3x+114.已知-x= . 9-13-35.如图,在四面体ABCD中,P、Q分别为棱BC与CD上的点,且BP=2PC,

CQ=2QD.R为棱AD的中点,则点A、B到平面PQR的距离的比值为 B .

6.设f(x)=log3x4-x,则满足f(x)≥0的x的取值范围是.

7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、

20cm、60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存水 cm3.

→→8.设点O是△ABC的外心,AB=13,AC=12,则BC·AO=.

9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009=2,则此数列

的前2009项的和为 .

10.设a是整数,0≤b<1.若a2=2b(a+b),则b= .

二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分) http://www.mathedu.cn

x2y2

11.在直角坐标系xOy中,直线x-2y+4=0与椭圆+=1交于A,B两点,F是椭圆的94

左焦点.求以O,F,A,B为顶点的四边形的面积.

ARPC

1

12.如图,设D、E是△ABC的边AB上的两点,已知∠ACD=∠BCE,

AC=14,AD=7,AB=28,CE=12.求BC.

A

13x+y≤2x+y对于任意正实数x,y成立,求k的取值范围.

DEB

14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数,请予以验证;

⑵ 是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数?请证明你的结论.

2

1.已知sinαcosβ=1,则cos(α+β)=

填0.

解:由于|sinα|≤1,|cosβ|≤1,现sinαcosβ=1,故sinα=1,cosβ=1或sinα=-1,cosβ=-1,

πππ∴ α=2kπ+,β=2lπ或α=2kπ-β=2lπ+π?α+β=2(k+l)π+(k,l∈Z). 222

∴ cos(α+β)=0.

2.已知等差数列{an}的前11项的和为55,去掉一项ak后,余下10项的算术平均值为4.若a1=-5,则k= .

填11.

解:设公差为d,则得

1 55=-5×11+×11×10d?55d=110?d=2. 2

ak=55-4×10=15=-5+2(k-1)?k=11.

3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率e=. -1+5填 2

-15解:由(2b)2=2c×2a?a2-c2=ac?e2+e-1=0?e=. 2

3x+114.已知x= . 9-13-3填1.

13x

解:即32x-4×3x+3=0?3x=1(舍去),3x=3?x=1. 3-13(3-1)

5.如图,在四面体ABCD中,P、Q分别为棱BC与CD上的点,且BP=2PC,CQ=2QD.R为棱AD的中点,则点A、B到平面PQR的距离的比值为 .

1填 4

解:A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR

为底的高.故其比值等于这两个三棱锥的体积比.

1111111VAPQR=VAPQD=APCD=ABCD=VABCD; 22323318

1214又,SBPQ=SBCD-SBDQ-SCPQ=(1SBCD=SBCD, 3339

4144VRBPQ=VRBCDABCD=VABCD. 92918

∴ A、B到平面PQR的距离的比=1∶4. BPCA

3

又,可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值:

在面BCD内,延长PQ、BD交于点M,则M为面PQR与棱BD的交点. BMDQCPDQ1CP1BM

由Menelaus=1,而=,故4.

MDQCPBQC2PB2MD在面ABD内,作射线MR交AB于点N,则N为面PQR与AB的交点. BMDRANBMDRAN1

由Menelaus1,而=4,1=

MDRANBMDRANB4∴ A、B到平面PQR的距离的比=1∶4.

6.设f(x)=log3x4-x,则满足f(x)≥0的x的取值范围是. 填[3,4].

B

N

A

P

C

解:定义域(0,4].在定义域内f(x)单调增,且f(3)=0.故f(x)≥0的x的取值范围为[3,4]. 7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存水 cm3.

填78000.

解:设净水器的长、高分别为x,ycm,则 xy=300,

V=30(20+x)(60+y)=30(1200+60x+20y+xy) ≥30(1200+60x×20y+300)=30(1500+1200)

=30×2700.

∴ 至少可以存水78000cm.

3

B

→→8.设点O是△ABC的外心,AB=13,AC=12,则BC·AO= .

25填-.

2

→→→

解:设|AO|=|BO|=|OC|=R.则

→→→→→→→→→BC·AO=(BO+OC)·AO=BO·AO+OC·AO=R2cos(π-2C)+R2cos2B

11125

=R2(2sin2C-2sin2B)=RsinB)2-RsinC)2=(122-132)=-.

2222

9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009=2,则此数列的前2009

项的和

4

为 .

填20082.

22解:若an+1≠0,则an=2-,故a2008=22,a2007=2-2,a2006=22,an+122

a20052.

an+1-222一般的,若an≠0,1,2,则an=2-an-1=,an-2=a-=a+,故an+1an+1-12-an+1n3n1

an-4=an.

2009于是,Σan=502(a1+a2+a3+a4)+a2009=502(a2005+a2006+a2007+a2008)+a2009=20082. k=1

10.设a是整数,0≤b<1.若a2=2b(a+b),则b= .

填0,3-13-1. 2

解:若a为负整数,则a2>0,2b(a+b)<0,不可能,故a≥0.

于是a2=2b(a+b)<2(a+1)?a2-2a-2<0?0≤a<1+3?a=0,1,2.

a=0时,b=0;

a=1时,2b2+2b-1=0?b3-1 2

a=2时,b2+2b-2=0?b3-1.

说明:本题也可以这样说:求实数x,使[x]2=2{x}x.

二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分) http://www.mathedu.cn

x2y2

11.在直角坐标系xOy中,直线x-2y+4=0与椭圆+=1交于A,B两点,F是椭圆的94

左焦点.求以O,F,A,B为顶点的四边形的面积.

?4x2+9y2=36,解:取方程组?代入得,25y2-64y+28=0. ?x=2y-4.14此方程的解为y=2,y=. 257214即得B(0,2),A(-,),又左焦点F1(-5,0). 2525连OA把四边形AFOB分成两个三角形.

1721141得,S=×+75). 22522525

也可以这样计算面积:

11141直线与x轴交于点C(-4,0)4×2-×(4-=+5).

222525

5

也可以这样计算面积:

1147272141144所求面积=(0×2-0×0+-(-)×2+(-)×0-(-+(-5)×0-0×0)=(225252525225+1415)=(72+5). 2525

12.如图,设D、E是△ABC的边AB上的两点,已知

∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7,AB=28,CE=12.求

BC.

ADAC解:=△ACD∽△ABC?∠ABC=∠ACD=∠BCE. ACAB

∴ CE=BE=12.AE=AB-BE=16.

AC2+AE2-CE2142+162-122142+28·411∴ cosA= 2AC·AE2·14·162·14·1616

11∴ BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=142+282-2·14·72·9?BC=21. 16

13.若不等式+y≤k2x+y对于任意正实数x,y成立,求k的取值范围.

解法一:显然k>0.xy)2≤k2(2x+y)?(2k2-1)x-2xy+(k2-1)y≥0对于x,y>0恒成立.

令tx>0,则得f(t)=(2k2-1)t2-2t+(k2-1)≥0对一切t>0恒成立. yADEB当2k2-1≤0时,不等式不能恒成立,故2k2-1>0.

2k4-3k2k2(2k2-3)1122此时当t=时,f(t)取得最小值+k-1== 2k-12k-12k-12k-12k-1

当2k2-1>0且2k2-3≥0,即k≥

∴ k∈,+∞). 2

2212t+2t+10,则k≥(1+y22t+16x=4y>0时等号成立. 2xy)2x+2xy+y解法二:显然k>0,故k≥=t=2x+y2x+y

4t+1. 2t+1

u-18u令u=4t+1>1,则t=.只要求s(u)= 4u-2u+9s(u)=89u2u8u2u4t+1113=2+(1+2)= 222t+1236∴k2≥k≥(当x=4y>0时等号成立). 22

6

4t+18t2+4-4t(4t+1)-8t2-4t+41又:令s(t)=,则s?(t)==t>0时有驻点t.且在022t+1(2t+1)(2t+1)111113<t<时,s?(t)>0,在t时,s?(t)<0,即s(t)在t=时取得最大值2,此时有k2≥(1+s())=. 222222

1解法三:由Cauchy不等式,xy)2≤(+1)(2x+y). 2

即xy)≤

当k<

恒成立.

而当k≥

∴ k∈66时,由于对一切正实数x,y,都有x+y≤2x+y≤k2x+y,故不等式恒成立. 226,+∞). 22x+y对一切正实数x,y成立. 2136663x=y=1,有x+y=2x+y=.即不等式不能2422222

14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数,请予以验证;

⑵ 是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数?请证明你的结论.

解:对于任意n∈N*,n2≡0,1(mod 4).

设a,b是两个不同的自然数,①若a≡0(mod 4)或b≡0(mod 4),或a≡b≡2(mod 4),均有ab≡0(mod

4),此时,ab+10≡2(mod 4),故ab+10不是完全平方数;② 若a≡b≡1(mod 4),或a≡b≡3(mod 4),则ab≡1(mod 4),此时ab+10≡3(mod 4),故ab+10不是完全平方数.

由此知,ab+10是完全平方数的必要不充分条件是a≡/b(mod 4)且a与b均不能被4整除. ⑴ 由上可知,满足要求的三个自然数是可以存在的,例如取a=2,b=3,c=13,则2×3+10=42,2×13+10=62,3×13+10=72.

即2,3,13是满足题意的一组自然数.

⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数.

这是因为,任取4个不同自然数,若其中有4的倍数,则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数,如果这4个数都不是4的倍数,则它们必有两个数mod 4同余,这两个数的积加10后不是完全平方数.

故证.

7

2010年全国高中数学联赛 江苏赛区·初赛

一、填空题(本题满分70分,每小题7分)

1.方程9x??3x?5的实数解为 .

2.函数y?sinx?cosx(x?R)的单调减区间是 .

3.在△ABC中,已知???AB?????AC??4,???AB?????BC???12,则???AB?= .

4.函数f?x???x?2??x?1?2在区间?0,2?上的最大值是 ,最小值是 .

5.在直角坐标系xOy中,已知圆心在原点O、半径为R的圆与△ABC的边有公共点,

其中A??4,0?、B??6,8?、C??2,4?,则R的取值范围为 .

6.设函数f?x?的定义域为R,若f?x?1?与f?x?1?都是关于x的奇函数,则函数

y?f?x?在区间?0,100?上至少有 个零点.

7.从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n条,使得其中任意

两条线段所在的直线都是异面直线,则n的最大值为 .

(第7题)

8.圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中

镀2金2银的概率是 .

9.在三棱锥A?BCD中,已知?ACB??CBD,?ACD??ADC??BCD??BDC

?

?,且cos??10.已知棱AB

的长为 .

10.设复数列?xaxn

n?满足xn?a?1,0,且xn?1?1.若对任意n?N* 都有xn?3?x

xn,

n?

则a的值是 .

8

二、解答题(本题满分80分,每小题20分)

?????3????4????x2

2?y?1上的三点.11.直角坐标系xOy中,设A、B、M是椭圆C:若OM?OA?OB,455

证明:AB的中点在椭圆x2

2?2y2?1上.

12.已知整数列?an?满足a3??1,a7?4,前6项依次成等差数列,从第5项起依次

成等比数列.

(1) 求数列?an?的通项公式;

(2) 求出所有的正整数m,使得am?am?1?am?2?amam?1am?2.

9

13.如图,圆内接五边形ABCDE中,AD是外接圆的直径,BE?AD,垂足H.

过点H作平行于CE的直线,与直线AC、DC分别交于点F、G.

证明: (1) 点A、B、F、H共圆;

(2) 四边形BFCG是矩形.

14.求所有正整数x,

y,使得x2?3y与y2?3x都是完全平方数. 10

1、x<0无解; 当x?0时,原方程变形为32x+3x-6=0,解得3x=2,x=log32.

2、与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同, [k?

2??k??

4,2?2],k?Z.

3、???AB?????AC?????AB?????BC?????AB?2?16,得???AB??4.

4、极小值-4,端点函数值f(2)=0,f(0)=-2,最小值-4,最大值0.

5、画图观察,R最小时圆与直线段AC相切,R最大时圆过点B.85

5,10].

6、f(2k-1)=0,k∈Z. 又可作一个函数f?x?满足问题中的条件,且f?x?的

一个零点恰为x?2k?1,k∈Z. 所以至少有50个零点.

7、不能有公共端点,最多4条,图上知4条可以.

8、穷举法,注意可翻转,有6种情况,2金2银有两种,概率为 1

3.

9、4面为全等的等腰三角形,由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 .

10、由xaxnax2

n?2axn?1a3xn

n?1?x,xn?3???1x?2?xn

n?1xn?2?1an?1?1a?a?1xn?1

恒成立,即?a2?a?1?xxx2

n?n?1?a??0. 因为n?a?1或0,故a?a?1?0,所以

a??12?i.

11、解:设A(xx

1,y1),B (x2,y2),则 22x2

4+y1=1,4y22=1. ????? 由OM?3????4????35OA?5OB,得 M(5x434

1+52,5y1+5y2).

因为M是椭圆C上一点,所以

(34 51+5x2)24+354

152)2=1, …………………6分

即 x2

+yx

12)(32+(2

y434x

22x454)(5)2+2(5)(54y1y2)=1,

得 32+(4)234xx55+2(55)(4y1y2)=1,故

xx4+y1y2=0. …………………14分

又线段AB的中点的坐标为 (x1+x2y1+y2

2,2),

11

(x1+x2 所以 2)22y1+y22)2=12(x224+yx

12)+12xx4+y22)+4y1y2=1,

AB的中点x1+x22,y1+y22)在椭圆x2从而线段2+2y2=1上. ………………20分

12、解:(1) 设数列前6项的公差为d,则a5=-1+2d,a6=-1+3d,d为整数.

又a5,a6,a7成等比数列,所以(3d-1)2=4(2d-1),

即 9d2-14d+5=0,得d =1. …………………6分 当n≤6时,an =n-4,

由此a5=1,a6=2,数列从第5项起构成的等比数列的公比为2,

所以,当n≥5时,an =2n-5.

故 a?n-4,n≤4,

n =??2n-5, n≥5. …………………10分

(2) 由(1)知,数列?an?为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,…

当m=1时等式成立,即 -3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1);

当m=3时等式成立,即 -1+0+1=0;

当m=2、4时等式不成立; …………………15分 当m≥5时,amam+1am+2 =23m-12, am +am+1+am+2=2m-5(23-1)=7×2m-5,

7×2m-5≠23m-12,

所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 . 故所求 m= 1,或m=3. …………………20分

13、证明:(1) 由HG∥CE,得∠BHF=∠BEC,

又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC, ∴ ∠BAF=∠BHF,

∴ 点 A、B、F、H共圆; D

…………………8分

(2) 由(1)的结论,得 ∠BHA=∠BFA, C

G

∵ BE⊥AD, ∴ BF⊥AC,

又AD是圆的直径,∴ CG⊥AC, …………………14分

由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆,

∴∠BFG =∠DAB =∠BCG, ∴ B、G、C、F共圆.

12

∴ ∠BGC=∠AFB=900, ∴ BG⊥GC,

∴ 所以四边形BFCG 是矩形. …………………20分

14、解:若x=y,则x2+3x是完全平方数. ∵ x2<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2,

∴ x2+3x= (x+1)2,∴ x=y =1. ………………5分 若x>y,则x2<x2+3y<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2. ∵ x2+3y是完全平方数,

∴ x2+3y= (x+1)2,得3y = 2x+1,由此可知y是奇数,设y = 2k+1,则x=3k+1,k是正整数. 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数,且 (2k+2)2=4k2+8k+4<4k2+13k+4<4k2+16k+16= (2k+4)2, ∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2,

得 k=5,从而求得x=16,y=11. …………………15分 若x<y,同x>y情形可求得 x=11,y=16.

综上所述,(x,y)= (1,1), (11,16), (16,11). …………………20分

13

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题

一、填空题(本题共10小题,满分70分,每小题7分.要求直接将答案写在横线上)

1. 复数(1?i)4?(1?i)4?.

2. 已知直线x?my?1?0是圆C:x2?y2?4x?4y?5?0的一条对称轴,则实数

m?

3. 某班共有30名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率

是 (结果用最简分数表示).

14. 已知cos4??,则sin4??cos4??. 5

5. 已知向量a,b满足a?b?2,?a,b??π,则以向量2a?b与3a?b表示的有向线段 3

为邻边的平行四边形的面积为 .

36. 设数列{an}的前n项和为Sn.若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列,则数列{an}的前

n项和等于 .

7. 设函数f(x)?x2?2.若f(a)=f(b),且0<a<b,则ab的取值范围是

8. 设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数,其中an?n2,n?N*,

则f[f(2011)]? .

9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角

形的斜边长是 .

10.已知m

是正整数,且方程2x?m?10?0有整数解,则m所有可能的值

是 .

14

二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分)

11.已知圆x2?y2?1与抛物线y?x2?h有公共点,求实数h的取值范围.

12.设f(x)?x2?bx?c(b,c?R).若x≥2时,f(x)≥0,且f(x)在区间?2,3?上的最大值为

1,求b2?c2的最大值和最小值.

13.如图,P是?ABC内一点. 1(1)若P是?ABC的内心,证明:?BPC?90???BAC; 2

11(2)若?BPC?90???BAC且?APC?90???ABC,证明:P是?ABC的内心. 22

A P B C

14.已知?

是实数,且存在正整数n0

证明:存在无穷多个正整数n

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评

15

一、填空题(本题共10小题,满分70分,每小题7分.要求直接将答案写在横线上)

1. 复数(1?i)4?(1?i)4?.

答案:-8

基础题,送分题,高考难度

2. 已知直线x?my?1?0是圆C:x2?y2?4x?4y?5?0的一条对称轴,则实数

m?3答案:? 2

基础题,送分题,高考难度

3. 某班共有30名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率

是 (结果用最简分数表示). 19答案: 145

基础题,送分题,高考难度,但需要认真审题,否则很容易有错

14. 已知cos4??,则sin4??cos4??. 5

答案:4 5

计算量挺大的,要注重计算的方法,对于打酱油的同学有一定难度

π5. 已知向量a,b满足a?b?2,?a,b??,则以向量2a?b与3a?b表示的有向线段 3

为邻边的平行四边形的面积为 .

答案:可以用特殊法,把向量放在直角坐标系中,很容易可以得出答案

36. 设数列{an}的前n项和为Sn.若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列,则数列{an}的前

n项和等于 . 1答案:(8n?48) 7

高考难度级别,基础好的同学可以做出来

7. 设函数f(x)?x2?2.若f(a)=f(b),且0<a<b,则ab的取值范围是 . 答案:(0,2)

这是一道高考题

8. 设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数,其中an?n2,n?N*,

则f[f(2011)]? .

答案:6

这也是一道高考题

16

9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角

形的斜边长是 .

答案:43

还是一道高考题

10.已知m

是正整数,且方程2x?m?10?0有整数解,则m所有可能的值

是 .

答案:3,14,30

这是2011年苏州市一模的第十四题。

二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分)

11.已知圆x2?y2?1与抛物线y?x2?h有公共点,求实数h的取值范围.

解:设公共点(cosθ,sinθ),代入抛物线方程, 15得h?sin??cos2??sin2??sin??1?(sin??)2? 24

?5?因为sin????1,1?,所以h???,1? ?4?

简单,很简单

12.设f(x)?x2?bx?c(b,c?R).若x≥2时,f(x)≥0,且f(x)在区间?2,3?上的最大值为

1,求b2?c2的最大值和最小值.

解:由题意函数图象为开口向上的抛物线,且f(x)在区间?2,3?上的最大值只能在闭端点取得,

故有f(2)≤f(3)?1,从而b≥?5且c??3b?8.

若f(x)?0有实根,则??b2?4c≥0,

4??b≤?,??f(?2)≥0,?4?2b?c≥0,5???在区间??2,2?有?f(2)≥0,即?4?2b?c≥0,消去c,解出?b≤?4,

???4≤b≤4,??4≤b≤4,b??2≤≤2,???2?

即b??4,这时c?4,且??0.

若f(x)?0无实根,则??b2?4c?0,将c??3b?8代入解得?8?b??4.

综上?5≤b≤?4.

所以b2?c2?b2?(?3b?8)2?10b2?48b?64,单调递减

故(b2?c2)min?32,(b2?c2)max?74.

注重分类讨论

13.如图,P是?ABC内一点.

1(1)若P是?ABC的内心,证明:?BPC?90???BAC; 2

17

11(2)若?BPC?90???BAC且?APC?90???ABC,证明:P是?ABC的内心. 22

111证明:(1)?BPC?180??(?ABC??ACB)?180??(180???BAC)?90???BAC 222

B A P C

这其实是平面几何一个很重要的结论,在一般的平面几何的参考书上都有

14.已知?

是实数,且存在正整数n0

证明:存在无穷多个正整数n

qq2

,其中p,q为互质的正整数,则n0???2. pp

设k为任意的正整数,构造n?p2k2?

2qk?n0,

qpk??Q. p非常非常常规的一道数论题,不需要数论的预备知识

总结:这张试卷大约90分以上应该可以出线了。一般说来,出线并不算太难,只要平时基础好,不粗心,填空题应该可以做满分(笔者错了一个),对于没有进行过竞赛辅导的同学来说,大题的1、2两题还是可以做做的。

尤其提醒一点,大题目不管会不会做,一定要写写,写写总是有分的,而且分很多。比如最后一题,只要把他设出来,就有8分。

18

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题(70分)

f(x)?|x3?3x|的最大值为____________.

????????????????

2、在?ABC中,已知AC?BC?12,AC?BA??4,则AC?____________. 1、当x?[?3,3]时,函数

3、从集合?3,4,5,6,7,8?中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为

2____________. 4、已知a是实数,方程x

的值为____________. ,则|a?bi|?(4?i)x?4?ai?0的一个实根是b(i是虚部单位)

x2y2

5、在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:??1的右焦点为F,一条过原点O且倾斜124

角为锐角的直线l与双曲线C交于

____________.

6、已知a是正实数,kA,B两点.若?

FAB的面积为,则直线的斜率为?alga的取值范围是____________.

AC?AD?DB?5,BC?3,CD?4该四面体的体积为

列7、在四面体ABCD中,AB?____________. 8、已知等差数?an?和等比数列?bn?满足:

a1?b13?,a2?ab37??,b31?5,a4?*则____________.() n?Na?b?b?35,nn4

71,75这7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数,则这9、将27,37,47,48,55,

样的排列有____________种.

10、三角形的周长为31,三边a,b,c均为整数,且a?b?c,则满足条件的三元数组(a,b,c)的个数为____________.

二、解答题(本题80分,每题20分)

11、在?ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明:

(1)bcosC

?ccosB?a(2)cosA?cosB?a?b2sin2cC

19

12、已知a,b为实数,a?2,函数f(x)?a|lx.?b|x?(若0)

ef(1)?e?1,f(2)??ln2?1. 2

(1)求实数a,b; (2)求函数

(3)若实数c,d满足c?d,cdf(x)的单调区间; ?1,求证:f(c)?f(d)

13、如图,半径为1的圆O上有一定点M,A为圆O上的动点.在射线OM上有一动点B,AB?1,OB?1.线段AB交圆O于另一点C,D为线段的OB中点.求线段CD长的取值范围.

20

14、设是a,b,c,d正整数,a,b是方程x整数且面积为ab的直角三角形.

2?(d?c)x?cd?0的两个根.证明:存在边长是

21

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题(70分)

f(x)?|x3?3x|的最大值为__18___.

????????????????

2、在?ABC中,已知AC?BC?12,AC?BA??4,则AC?___4____. 1、当x?[?3,3]时,函数

3、从集合?3,4,5,6,7,8?中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为_____3_______. 10

24、已知a是实数,方程x

的值为

_____,则|a?bi|?(4?i)x?4?ai?0的一个实根是b(i是虚部单位)x2y2

5、在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:??1的右焦点为F,一条过原点O且倾斜124

角为锐角的直线l与双曲线C交于A,B两点.若?

FAB的面积为,则直线的斜率为___1____. 2

?alga的取值范围是___[1,??)_____.

AC?AD?DB?5,BC?3,CD?4该四面体的体积为

6、已知a是正实数,k7、在四面体ABCD中,AB?

_____8、已知等差数列?an?和等比数列?bn?

___满足:___.a1?b13?,

*a2?ba37??,b31?5,a4?an?b4则?35bn,?3n?1?2n(n?N)

71,75这7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数,则这9、将27,37,47,48,55,

样的排列有___144_____种.

10、三角形的周长为31,三边a,b,c均为整数,且a?b?c,则满足条件的三元数组(a,b,c)的个数为__24___.

二、解答题(本题80分,每题20分)

11、在?ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明:

22

(1)bcosC?ccosB?a

(2)cosA?cosB?a?

b2sin2cC

12、已知a,b为实数,a?2,函数f(x)?a|lx.?b|x?(若0)f(1)?e?1,f(2)?

(1)求实数a,b;

(2)求函数e?ln2?1. 2f(x)的单调区间;

(3)若实数c,d满足c?d,cd?1,求证:f(c)?

f(d)

23

13、如图,半径为1的圆O上有一定点M,A为圆O上的动点.在射线OM上有一动点B,AB?1,OB?1.线段AB交圆O于另一点C,D为线段的OB中点.求线段CD长的取值范围

.

24

14、设是a,b,c,d正整数,a,b是方程x整数且面积为ab的直角三角形

. 2?(d?c)x?cd?0的两个根.证明:存在边长是

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