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第十四届希望杯2试试题(附答案)

发布时间:2014-03-30 18:02:18  

希望杯第十四届(2003年)初二年级第二试试题

一、选择题

1.y-2x+1是4xy-4x-y-k的一个因式,则k的值是【 】

A.O B.—l C.1 D.4

2.不等式0≤ax+5≤4的整数解是1,2,3,4,则a的取值范围是【 】

A.a≤-22555 B.a<-1 C.-≤a<-l D.a≥- 444

223.整数x,y满足不等式x+y+1≤2x+2y.则x+y的值有【 】

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.如图,在矩形ABCD中.AE、AF三等分∠BAD,若BE=2,CF=1,则最接近矩形面积的是【 】

A.13 B.14 C.15 D.

16

5.如图,Rt△ABc中,∠c=90°,∠DAF=

A平行 11∠DAB,∠EBG=∠EBA.则射线AF与BG【 】 33 B.延长后相交 C.反向延长后相交 D.可能平行也可能相交

6.If the radius(半径)of circleⅢin the figure(如图)is

Ⅱ,and the radius of circle Ⅱ is 3of the radius of circle 44 of the radius0f circle I,then the area 5

of the shaded region is what part ofthe area of circIe I? 【 】

A.79316

B. C. D. 2520525

7.凸n边形(n≥4)中,不算两个最大的内角,其余内角的和为1100°.则n等于【 】

A.12 B.1l C.10或9 D.10

8.将长为12的线段截成长度为整数的三段,使它们成为一个三角形的三边,则构成的三角形【 】

A.不可能是等腰三角形 B.不可能是直角三角形

C.不可能是等边三角形 D.不可能是钝角三角形

9.数轴上的点A、B、P分别对应数-l、-4、x,并且P与A的距离大于P与B的距离。则【 】

A .x>-3 B.x>-2 C.x<-2 D.x<-

1O.如图,啤酒瓶高为h.瓶内酒面高为a,若将瓶盖盖好后倒置,酒

面高为a’(a’+b=h),则酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为【 】

5 2

二、填空题

11.方程|x+3|+|3-x|= 9|x|+5的解是 . 2

12.有人问毕达哥拉斯,他的学校中有多少学生,他回答说:“现在,有一半学生学数学,四分之一的学生学音乐,七分之一的学生在休息,还剩三个女同学??”.那么毕达哥拉斯的学校中学生的人数是 .

13.方程x?11?4的一个根是4,则另一个根是. x?22

1

(n?1)n?nn?1

1

43?34??????1n?1

(k?1)k?kk?11n?1,若某个正整数k满足14.已知对于正整数n,有12?1?2?1

32?2??2, 3

则k= .

15.已知xy?yz?zxxz= ?y??0,那么222x?3y?4z32

16.小明到商场购买某个牌子的铅笔x枝,用了y元(y为整数).后来他又去商场时,发现这种牌子的铅笔降价20%,于是他比上一次多买了10枝铅笔,用了4元钱,那么小明两次共买了铅笔 枝.

17.If a,b and c are sides(边)of the△ABC,and a-bc=a(b-c),then the figure(形状)of the triangle(三角形)is .(用汉语填写)

l8.如图是一个圆形花坛.中间的鲜花构成一个菱形图案(图中尺寸单位为米),

如果每平方米种植鲜花20株,那么这个菱形图案中共有鲜花 株.

2

19.如图.△ABC中.AC=BC=5,∠ACB=80°.O为△ABC中一点.∠OAB=10°,∠OBA=30°,则线段AO的长是 .

20.已知x,y,z均为正整数,且7x+2y-5z是11的倍数,那么3x+4y+12z除以11,得到的余数是 .

三、解答题

21.有一批影碟机(VCD)原售价:800元/台.

甲商场用如下办法促销:

乙商场用如下办法促销:每次购买1~8台,每台打九折;每次购买9~l6台,每台打八五折;每次购买17~24台,每台打八折;每次购买24台以上,每台打七五折.

(1)请仿照甲商场的促销列表,列出到乙商场购买VCD的购买台数与每台价格的对照表;

(2)现在有A、B、C三个单位,A单位要买10台VCD,B单位要买16台VCD,C单位要买20台VCD,问他们到哪家商场购买花费较少?

22.如图,在锐角△ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点,P、Q、R分别是△ADF、△BDE、△CEF的三条中线的交点.

(1)求△DEF与△ABC的面积比;

(2)求△PDF与△ADF的面积比;

(3)求多边形PDQERF与△ABC的面积比.

23.两条直线上各有n个点,用这n对点按如下规则连结线段:

①同一直线上的点之间不连结;

②连结的任意两条线段可以有共同的端点,但不得有其他的交点.

(1)画图说明当n=1,2,3时,连结的线段最多各有多少条?

(2)由(1)猜想n(n为正整数)对点之间连结的线段最多有多少条,证明你的结论.

(3)当n=2003时,所连结的线段最多有多少条?

参考答案: 一.BCCCA,ADDDC. 2

二.11.?;

9

12.28;

5

13.;

2

14.8;

115.;

2

16.40或90; 三.

17.等腰三角形; 18.480; 19.5; 20.0.

21.(1)乙商场的促销办法列表如下:

(2)比较两商场的促销办法可知:

因为到甲商场买21台VCD时共需600×21=12600元, 而到乙商场买20台VCD时共需640×20=12800元,

12800>12600,

所以购买20台VCD时应去甲商场购买.

所以甲单位应到乙商场购买,B单位应到甲商场购买,C单位应到甲商场购买. 22.(1)如图1,过点D作DG⊥BC于G,过点A作AH⊥BC于H,则DG∥AH,所以

ΔBDG∽ΔBAH,又

BD12

?,BE=BC, BA33

G

图1

12所以DG=AH,SΔBDE=SΔABC, 39

2同理SΔADF=SΔCEF=SΔABC 9

1所以SΔDEF=SΔABC-SΔADF-SΔCEF=SΔABC. 3

(2)分别延长DP,FP交AF,AD于M,N,因为点P是ΔADF的三条中线的交点,

2所以M,N分别是AF,AD的中点,且DP=DM, 3

过点P,M分别作DF的垂线,垂足分别为K,S,则ΔDKP∽ΔDSM,相似比为2∶3,所以KP=

122SM,SΔPDF=SΔMDF,又SΔMDF=SΔADF,得 233

1SΔPDF=SΔADF. 3

(3)由(2)知,

11SΔQDE=SΔBDE,SΔREF=SΔCEF, 33

所以SΔPDF=SΔQDE=SΔREF=1SΔABC. 27

5所以SPDQERF=SΔDEF+SΔPDF+SΔQDE+SΔREF=SΔABC. 9

23.(1)由图2可以看出,n=1时,最多可以连结1条线段,n=2时,最多可以连结3条线段,n=3时,最多可以连结5条线段.

(2)猜想:对于正整数n,这n对点之间连结的直线段最多有2n-1条

.

An=1n=2

图2

n=3iBi+1图3n+1l2

证明: 将直线标记为l1,l2,它们上面的点从左到右排列为A1,A2A3,┉,An和B1,B2,B3,┉,Bn,设

这n对点之间连结的直线段最多有Pn条,显然,其中必有AnBn这一条,否则,Pn就不是最多的数.

当在l1,l2分别加上笫n+1个点时,不妨设这两个点在An与Bn的右侧,那么除了原来已经有的Pn条直线段外,还可以连结An+1Bn,An+1Bn+1这两条线段,或连结AnBn+1,An+1Bn+1,这两条线段.

所以Pn+1≥Pn+2.

另一方面,设对于n+1对点有另一种连法:

考虑图3中以An+1为端点的线段,若以An+1为端点的线段的条数大于1,则一定可以找到一个i≤n,使得对于任意的j<i,An+1Bj都不在所画的线段中,这时,Bi+1,Bi+2,┉,Bn+1只能与An+1连结,不妨设An+1Bi+1,An+1Bi+2,┉,An+1Bn+1都已连结,此时图中的线段数为Pn+1,我们做如下操作:

去掉An+1Bi,连结AnBi+1,得到新的连结图,而新的连结图满足要求且线段总数不变,将此操作一直续断下去,直到与An+1连结的线段只有一条An+1Bn+1为止.最后图中,与点Bn+1相关的线段 只剩两条,即AnBn+1,An+1Bn+1,去掉这两条线段,则剩余Pn+2-2条线段,而图形恰是n对点的连结 图,所以Pn+1-2≤Pn.

由此,我们得到Pn+1=Pn+2,而P1=1,P2=3,所以Pn=1+2×(n-1)=2n-1.

(3)当n=2003时,P2003=4005(条).

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