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第十三届希望杯2试试题(附答案)

发布时间:2014-03-30 18:02:24  

2002年第13届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试

一、选择题

1、若a≠b,a,b,a都是有理数,那么a和b【 】

(A)都是有理数

(C)都是无理数

222(B)一个是有理数,另一个是无理数 (D)是有理数还是无理数不能确定 2222、已知a>b>c,M=ab+bc+ca,N=ab+bc+ca,则M与N的大小关系是【 】

(A)M<N (B)M<N (C)M=N (D)不确定的

3、上午九点钟的时候,时针与分针成直角,那么下一次时针与分针成直角的时间是【 】

(A)9时30分 (B)10时5分 (C)10时558分 (D)9时32分 1111

1

a1b1c4、有理数a,b,c满足下列条件:a+b+c=0且abc<0,那么++的值是【 】

(A)是正数 (B)是零 (C)是负数 (D)不能确定是正数、负数或0

3

5、已知a=,b=2+m

+m3,c=3+m

2+m,其中m>0,那么a,b,c的大小关系是【 】

(A)a>b>c (B)c>a>b (C)a>c>b (D)b>c>a

6、已知△ABC中,∠A=60°,BC=a,AB=c,AP是BC边上的中线,则AP的长是【 】

(A)1121212(C)(D)a2+b2+ab (B)b+c2+bc c+a2+ac b+c2-bc 2222

7、(Figure)In the parallelogram ABCD,AD=2AB,a point M is midpoint of segment AD,CE⊥AB,if∠CEM=40°,then the value of ∠DME is【 】

(A)150° (B)140° (C)135° (D)130° (英文小字典:parallelogram 平行四边形;midpoint 中点;segment 边)

8、如图,在四边形ABCD中,E、F分别是两组对边延长线的交点,EG、FG分别平分∠BEC、∠DFC,若∠ADC=60°,∠ABC=80°,则∠EGF的大小是【 】

(A)140° (B)130° (C)120° (D)110°

9、设ai=1989+i,当i取1,2,3,?,100时,得到100个分式ii(如i=5,则=aiai

55=),在这100个分式中,最简分式的个数是【 】 1989+51994

(A)50 (B)58 (C)63 (D)65

10、一个长方体的棱长都是正整数,体积是2002,若对应棱长相等的长方体算作同一种长方体,那么这样的长方体【 】

(A)有6种

二、填空题

11、某储蓄所每年工资支出10万元,其他固定支出每年17万元,对于吸收的存款每年应付2.25%的利息,吸收来的存款全部存到上级银行,可得年利率4.05%的内部核算收入,那么该储蓄所为使内部核算没有亏损,每年至少应吸收存款______万元. (B)有12种 (C)有14种 (D)多于16种

12、化简35

3,最后得________.

1?1?13、设x,y都是有理数,且满足方程(+)x+(+)y-4-?=0,那么x-y的值是_____. 2332

14、15与33的大小关系是15_____33.(填“?”,“?”或“?”).

15、If N is natural number,and N<(+2)<N+1,then the value of N is

________.(英汉小字典:natural number:自然数)

16、如果1+a1-b2,那么(2+a)(2+b)+b=_________. =1-a1+b616131613

17、如图所示的八个点处各写一个数字,已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相1a+b+c+d-(e+f+g+h)连的三个点处的数字的平均数,则代数式=__________.

1a+b+c+d-(e+f+g+h)3

18、2001年某种进口轿车每辆标价40万元人民币,买此种车时还需另外交纳汽车标价的80%的关税,我国加入WTO后,进口车的关税将逐渐下降,预计到2006年7月1日,关税降到25%,又因为科技的发展使成本降低,到2006年7月1日,该种车的标价降到2001年的65%,那么2006年7月1日后买一辆该种轿车将比2001年少付人民币__________万元.

19、在△ABC中,∠A=40°,H是△ABC的垂心,且H不与B、C重合,则∠BHC的大小等于________.

20、如图,正九边形ABCDEFGHI中,AE=1,那么AB+AC的长是________.

三、解答题

21、如图,在锐角△ABC中,AD,CE分别是BC,AB边上的高,AD,CE相交于F,BF的中点为P,AC的中点为Q,连结PQ,DE.

(1)求证:直线PQ是线段DE的垂直平分线;

(2)如果△ABC是钝角三角形,∠BAC=90°,那么上述结论是否成立?请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明.

22、已知在等式ax+b=s中,a,b,c,d都是有理数,x是无理数,解答: cx+d

(1)当a,b,c,d满足什么条件时,s是有理数?

(2)当a,b,c,d满足什么条件时,s是无理数?

23、在线段AB上,先在A点标注0,在B点标注2002,这称为第一次操作;然后在AB的中点C处标注0+2002=1001,称为第二次操作;又分别在得到的线段AC,BC的中点D,E2

0+10011001+2002与,称为第三次操作;22处标注对应线段两端所标注的数字和的一半,即

照此下去,那么经过11次操作之后,在线段AB上所有标注的数字的和是多少?

答案

21、证明(1) 连结PD,PE,QD,QE

因为 CE⊥AB,P是BF的中点

所以 △BEF是直角三角形,且PE是Rt△BEF斜边的中线 所以 PD=

1

BF=PE 2

可知 点P在线段DE的垂直平分线上

同理可证:QD,QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线 所以 QD=

1

AC=QE 2

即 点Q也在线段DE垂直平分线上 所以 直线PQ垂直平分线段DE (2)当△ABC为钝角三角形时,(1)中的结论仍成立 如图7,△ABC是钝角三角形,∠BAC>90O

原题改为:在钝角△ABC中,AD,CE分别是BC,AB边上的高,AD,CE相交于F,

BF的中点为P,AC的中点为Q,连结PQ,DE, (1)求证:直线PQ垂直且平分线段DE

证明:连结PD,PE,QD,QE,则PD,PE分别是Rt△BDF的Rt△BEF的中线

11

所以 PD=BF PE=BF

F22

P

B

E

图7DC

所以 PD= PE,点P在线段DE的垂直平分线上

同理可证:QD=QE

所以 点Q在线段DE的垂直平分线上 因而 直线PQ垂直平分线段DE

b

是有理数 d

aadad?cx?d??b?

ax?bcc?a?c 当c?0时,s??cx?dcx?dccx?d

22、解:(1)当a?c?0,d?0时,s?

aadad是有理数,cx?d是无理数,b?是有理数,要使s为有理数,只有b?=0,ccc即 bc?ad

综上知,当a?c?0,且d?0或c?0且ac?bd时,s是有理数 其中

(2)当c?0,d≠0时,且a≠0,s是无理数

aadad?cx?d??b?ax?b?a? 当c?0时,s??cx?dcx?dccx?d

aad其中是有理数,cx?d是无理数,b?是有理数 cc

所以 b?ad≠0时,bc?ad,s是无理数 c.

综上知,当c?0,a?0,d?0或c?0且ac?bd时,s是无理数

23、解:设第n次操作后,线段AB上所标注的数字和是an,那么第n+1次操作后,使得除A、B两点外,其他的数字都再加上一次(两边各加上一半),而A、B两点的数字,则再加上它们的一半,即

an?1?an??an?2002??02002??2an?1001?n?1? 22

又 a1?2002?0?2002

?3003所以 a2?2a1?1001

a11?2a10?1001?2?2a9?1001??1001

?22?a9??2?1??1001

?23?a8?22?2?1?1001

? ??

?210?a1?29?28?27???2?1?1001

?1024?2002??1024?1??1001

1026025

答:经过11次操作后,在线段AB上标注的所有数字的和为1026025

??

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