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2014年全国初中数学联赛(含答案)试题分享

发布时间:2014-03-31 18:20:14  

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

说明:第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1.已知x,y为整数,且满足(?1

x111211)(2?2)??(4?4),则x?y的可能的值有( C ) yxy3xy

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2.已知非负实数x,y,z满足x?y?z?1,则t?2xy?yz?2zx的最大值为 ( A ) 45912 B. C. D.791625

3.在△ABC中,AB?AC,D为BC的中点,BE?AC于E,交AD于P,已知BP?3,PE?1,则AE= ( B ) A.

A

B

C

D

4.6张不同的卡片上分别写有数字2,2,4,4,6,6,从中取出3张,则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 ( B )

A.1223 B. C. D.2534

35.设[t]表示不超过实数t的最大整数,令{t}?t?[t].已知实数x满足x?11,则?18{x}?{? 3xx

( D )

11 B

.3 C

.(3 D.1 22

6.在△ABC中,?C?90?,?A?60?,AC?1,D在BC上,E在AB上,使得△ADE为等腰直角三角形, ?ADE?90? ,则BE的长为 ( A )

1A

.4? B

.2 C

.1) D

1 2A.

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

1.已知实数a,b,c满足a?b?c?1,

2.使得不等式111???1,则abc?__0__. a?b?cb?c?ac?a?b9n8??对唯一的整数k成立的最大正整数n为 144 . 17n?k15

3.已知P为等腰△ABC内一点,AB?BC,?BPC?108?,D为AC的中点,BD与PC交于点E,如果点P为△ABE的内心,则?PAC?48?.

4.已知正整数a,b,c满足:1?a?b?c,a?b?c?111,b2?ac,则b?

第二试 (A)

一、(本题满分20分)设实数a,b满足a(b?1)?b(b?2a)?40,a(b?1)?b?8,求值.

解 由已知条件可得ab?(a?b)?40,ab?(a?b)?8.

设a?b?x,ab?y,则有x?y?40,x?y?8, ……………………5分 联立解得(x,y)?(2,6)或(x,y)?(6,2). ……………………10分 若(x,y)?(2,6),即a?b?2,ab?6,则a,b是一元二次方程t2?2t?6?0的两根,但这个方程的判别式??(?2)?24??20?0,没有实数根; ……………………15分 若(x,y)?(6,2),即a?b?6,ab?2,则a,b是一元二次方程t2?6t?2?0的两根,这个方程的判别式??(?6)?8?28?0,它有实数根.所以 22222222211的?a2b2

11a2?b2(a?b)2?2ab62?2?2?2?22???8. ……………………20分 2222ababab2

二.(本题满分25分)如图,在平行四边形ABCD中,且满足?ECD??ACB, E为对角线BD上一点,

AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F. 证明:?DFE??AFB.

证明 由ABCD是平行四边形及已知条件知?ECD??ACB??DAF. ……………………5分

BF

又A、B、F、 D四点共圆,所以?BDC??ABD??AFD,所以△ECD∽△DAF, ……………………15分 EDCDAB. ……………………20分 ??DFAFAF

又?EDF??BDF??BAF,所以△EDF∽△BAF,故

?DFE??AFB. ……………………25分 所以

333 三.(本题满分25分)设n是整数,如果存在整数x,y,z满足n?x?y?z?3xyz,则称n具有性

质P.在1,5,2013,2014这四个数中,哪些数具有性质P,哪些数不具有性质P?并说明理由. 解 取x?1,y?z?0,可得1?13?03?03?3?1?0?0,所以1具有性质P.

取x?y?2,z?1,可得5?23?23?13?3?2?2?1,所以5具有性质P.…………………5分 为了一般地判断哪些数具有性质P,记f(x,y,z)?x?y?z?3xyz,则 333

f(x,y,z)?(x?y)3?z3?3xy(x?y)?3xyz

?(x?y?z)3?3(x?y)z(x?y?z)?3xy(x?y?z)

=(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx)

1?(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx) 2

1?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2]. 2

1即f(x,y,z)?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2] ① 2

……………………10分

不妨设x?y?z,

如果x?y?1,y?z?0,x?z?1,即x?z?1,y?z,则有f(x,y,z)?3z?1;

如果x?y?0,y?z?1,x?z?1,即x?y?z?1,则有f(x,y,z)?3z?2;

如果x?y?1,y?z?1,x?z?2,即x?z?2,y?z?1,则有f(x,y,z)?9(z?1);

由此可知,形如3k?1或3k?2或9k(k为整数)的数都具有性质P.

因此,1,5和2014都具有性质P. ……………………20分

若2013具有性质P,则存在整数x,y,z使得2013?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx).注意到3

3|2013,从而可得3|(x?y?z)3,故3|(x?y?z),于是有9|(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx),即9|2013,但2013=9×223+6,矛盾,所以2013不具有性质P. ……………………25分

第二试 (B)

一.(本题满分20分)同(A)卷第一题.

二.(本题满分25分)如图,已知O为△ABC的外心,AB?AC,D为△OBC的外接圆上一点,过点A作直线OD的垂线,垂足为H.若BD?7,DC?3,求AH.

解 延长BD交⊙O于点N,延长OD交⊙O于点E,由题意得?NDE??ODB??OCB??OBC??CDE,所以DE为?BDC的

平分线. ……………………5分

又点D在⊙O的半径OE上,点C、N在⊙O上,所以点C、N关

于直线OE对称,DN?DC. ……………………10分 N延长AH交⊙O于点M,因为O为圆心,AM?OD,所以点A、M关于直线OD对称,AH?MH.因此MN?AC?AB. ……………………15分 又?FNM??FAB,?FBA??FMN,所以△ABF≌△NMF,所以MF?BF,FN?AF. ……………………20分

因此,AM?AF?FM?FN?BF?BN?BD?DN?BD?DC

?7?3?10,即2AH?10,所以AH?5. ……………………25分

三.(本题满分25分)

设n是整数,如果存在整数x,y,z满足n?x3?y3?z3?3xyz,则称n具有性质P.

(1)试判断1,2,3是否具有性质P;

(2)在1,2,3,…,2013,2014这2014个连续整数中,不具有性质P的数有多少个? 解 取x?1,y?z?0,可得1?13?03?03?3?1?0?0,所以1具有性质P;

取x?y?1,z?0,可得2?13?13?03?3?1?1?0,所以2具有性质P;…………………5分 若3具有性质P,则存在整数x,y,z使得3?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx),从而可得3

3|(x?y?z)3,故3|(x?y?z),于是有9|(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx),即9|3,这是不可能的,所以3不具有性质P. ……………………10分

(2)记f(x,y,z)?x?y?z?3xyz,则 333

f(x,y,z)?(x?y)3?z3?3xy(x?y)?3xyz

?(x?y?z)3?3(x?y)z(x?y?z)?3xy(x?y?z)

=(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx) 3

1?(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx) 2

1?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2]. 2

1即f(x,y,z)?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2] ① 2

……………………15分

不妨设x?y?z,

如果x?y?1,y?z?0,x?z?1,即x?z?1,y?z,则有f(x,y,z)?3z?1;

如果x?y?0,y?z?1,x?z?1,即x?y?z?1,则有f(x,y,z)?3z?2;

如果x?y?1,y?z?1,x?z?2,即x?z?2,y?z?1,则有f(x,y,z)?9(z?1);

由此可知,形如3k?1或3k?2或9k(k为整数)的数都具有性质P.……………………20分

又若3|f(x,y,z)?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx),则3|(x?y?z),从而3|(x?y?z),进而可知9|f(x,y,z)?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx).

综合可知:当且仅当n?9k?3或n?9k?6(k为整数)时,整数n不具有性质P.

又2014=9×223+7,所以,在1,2,3,…,2013,2014这2014个连续整数中,不具有性质P的数共有224×2=448个. ……………………25分 333

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