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2014年全国初中数学联合竞赛初二年级试题参考答案

发布时间:2014-03-31 18:20:25  

2014年全国初中数学联合竞赛初二年级试题参考答案

说明:第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1.若x?0,y?

0?

B )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2.已知△ABC中,AB?AC?2,点D在BC边的延长线上,AD?4,则BD?CD=( D )

A.16 B.15 C.13 D.12

3.已知x,y为整数,且满足(?1

x111211)(2?2)??(4?4),则x?y的可能的值有 ( C ) yxy3xy

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

4.用1g、3g、6g、30g的砝码各一个,在一架没有刻度的天平上称量重物,如果天平两端均可放置砝码,那么,可以称出的不同克数的重物的种数为 ( C )

A.21 B.20 C.31 D.30

5.已知实数x,y,z

1?(x?y?z),则xyz的值为 ( A ) 2

A.6 B.4 C.3 D.不确定

6.已知△ABC的三边长分别为2,3,4,M为三角形内一点,过点M作三边的平行线,交各边于

,如果DE?FG?PQ?x,则x= ( D ) D、E、F、G、P、Q(如图)

A.18202422 B.C. D. 1313 1313

?1. 二、填空题:(本题满分28分,每小题7分) 1.如果关于x的方程|x?3|?|x?2|?|x?1|?a恰好只有一个解,则实数a=

2.使得不等式9n8??对唯一的整数k成立的最大正整数n为 144 . 17n?k15

3.已知P为等腰△ABC内一点,AB?BC,?BPC?108?,D为AC的中点,BD与PC交于点E,如果点P为△ABE的内心(三角形的三条内角平分线的交点),则?PAC?

4.已知n为正整数,且n4?2n3?6n2?12n?25为完全平方数,则n= 48?.

第二试

一、(本题满分20分)设b为正整数,a为实数,记M?a2?4ab?5b2?2a?2b?

的情况下,求M可能取得的最小整数值,并求出M取得最小整数值时a,b的值.

解 M?(a?2b)2?2(a?2b)?1?b2?2b?1?

11,在a,b变动433?(a?2b?1)2?(b?1)2?,………………5分 44

注意到b为正整数,所以M?(1?1)2?319?,所以M可能取得的最小整数值为5. 44

……………………10分

317?5,故(a?2b?1)2?(b?1)2?.…………………15分 44

12因为b为正整数,所以(b?1)是整数且不小于4,所以一定有b?1?2,且(a?2b?1)2?,所以4

13b?1,a?或a?. ……………………20分 22

二.(本题满分25分)在直角△ABC中,D为斜边AB的中点,E、F分别在AC、BC上,

3?EDF?90?,已知CE?4,AE?2,BF?CF?,求AB. 2

解 延长ED到点M,使DM?ED,连接MB、MF. 又因为D为AB的中点,所以△BDM≌△ADE. …………5分

所以AE?BM,?A??ABM,所以AC//BM,所以?CBM?180???C?90?,故△BMF是直角三角形,于是有当M?5时,(a?2b?1)2?(b?1)2?

BM2?BF2?MF2. ……………………10分

又在直角△CEF中,有CE?CF?EF. 222又由?EDF?90?和DM?ED可得EF?MF, ……………………15分 于是可得CE?CF?BM?BF?AE?BF,

所以BF?CF?CE?AE?12,即(BF?CF)(BF?CF)?12. ……………………20分 又BF?CF?

222222222223,所以BF?CF?8,即BC?8. 22222因此AB?AC?BC?6?8?100,所以AB?10. ……………………25分

三.(本题满分25分)设不全相等的非零实数a,b,c满足bcacab???1,求2a2?bc2b2?ac2c2?aba?b?c的值.

解 由111bcacab???1. 得???12222222a2b2c2a?bc2b?ac2c?ab?1?1?1bcacab

2a22b22c2111???1,…………………10分 设x?,y?,z?,则xyz?8,且bcabacx?1y?1z?1

通分即得(y?1)(z?1)?(x?1)(z?1)?(x?1)(y?1)?(x?1)(y?1)(z?1),

展开后整理得xyz?x?y?z?2,所以x?y?z?6. …………………15分 2a22b22c2

???6,所以a3?b3?c3?3abc,分解因式得

即bcacab

(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]?0.

又a,b,c不全相等,所以(a?b)?(b?c)?(c?a)?0,故a?b?c?0. ………………25分 222

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