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2014年全国初中数学联赛决赛(初二)试题及其解答

发布时间:2014-03-31 18:20:28  

2014年全国初中数学联合竞赛初二年级试题参考答案

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1.若x?0,y?

0??

)(

A.1

【答】B.

B.2C.3D.4

已知等式可化为x?15y?

0,即???0,所以x?

25y,于是A.16

【答】D.?B.15?58y?2.29y)2.已知△ABC中,AB?AC?2,点D在BC边的延长线上,AD?4,则BD?CD=(C.13D.12

作AH?BC于点H,则H为BC的中点,所以

BD?CD?(BH?DH)(DH?CH)?(DH?CH)(DH?CH)?DH2?CH2

?AD2?AC2?42?22?12.

3.已知x,y为整数,且满足(?

A.1个

【答】C.B.2个1x111211)(2?2)??(4?4,则x?y的可能的值有(yxy3xyC.3个D.4个)

x?yx2?y22x4?y4

由已知等式得?22??44,显然x,y均不为0,所以x?y=0或3xy?2(x?y).xyxy3xy

若3xy?2(x?y),则(3x?2)(3y?2)??4.又x,y为整数,可求得??x??1,或

?y?2,?x??2,所以??y?1.

x?y?1或x?y??1.

因此,x?y的可能的值有3个.

4.用1g、3g、6g、30g的砝码各一个,在一架没有刻度的天平上称量重物,如果天平两端均可放置砝码,那么,可以称出的不同克数的重物的种数为()

A.21B.20C.31D.30

【答】

C.

可以称出的重物的克数可以为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40,共31种.

5.已知实数x,y,z

A.6

【答】A.

由B.4?C.31(x?y?z),则xyz的值为2D.不确定()??1(x?y?z)可

得?1)2?1)2??1)2?0,所以2

x?2,y?3,z?1,xyz?6.

6.已知△ABC的三边长分别为2,3,4,M为三角形内一点,过点M作三边的平行线,交各边于

,如果DE?FG?PQ?x,则x=D、E、F、G、P、Q(如图)

A.()18

13B.20

13C.22

13D.24

13

【答】D.

设BC?a,AC?b,AB?c,ME?m,MF?n,MP?k.

由平行线的性质可得DEAEPQCQ,,即??BCACABAC

11nCx?b?(x?n),x?b?n,所以(BPG

x??1?,abcbabb

xn1112224.?1?,两式相加,得(x???2,所以x???11111113cbabc????abc234

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

1.如果关于x的方程|x?3|?|x?2|?|x?1|?a恰好只有一个解,则实数a=

【答】?1..

?4?x,?6?3x,?f(x)?|x?3|?|x?2|?|x?1|???2?x,

??x?4,x?1,1?x?2,2?x?3,x?3,

结合函数的图象知:当且仅当a??1时,关于x的方程|x?3|?|x?2|?|x?1|?a恰好只有一个解.

2.使得不等式

【答】144.由条件得

所以n?144.9n8??对唯一的整数k成立的最大正整数n为17n?k15.7k8k?17k?182k?1k?1871由k的唯一性,得所以?,??,?且?,????8n9n8n9nnn9872

7k8??可得126?k?128,k可取唯一整数值127.8n9

故满足条件的正整数n的最大值为144.当n?144时,由

3.已知P为等腰△ABC内一点,AB?BC,?BPC?108?,D为AC的中点,BD与PC交于点E,如果点P为△ABE的内心(三角形的三条内角平分线的交点),则?PAC?.

【答】48?.

由题意可得?PEA??PEB??CED??AED,

而?PEA??PEB??AED?180?,

所以?PEA??PEB??CED??AED?60?,

从而可得?PCA?30?.

又?BPC?108?,所以?PBE?12?,从而?ABD?24?.

所以?BAD?90??24??66?,11?PAE?(?BAD??CAE)?(66??30?)?18?,22

所以?PAC??PAE??CAE?18??30??48?.

4.已知n为正整数,且n4?2n3?6n2?12n?25为完全平方数,则n=

【答】8.

易知n?1,n?2均不符合题意,所以n?3,此时一定有(n2?n?2)2?n4?2n3?5n2?4n?4?n4?2n3?6n2?12n?25,

(n2?n?4)2?n4?2n3?9n2?8n?16?n4?2n3?6n2?12n?25,

而n4?2n3?6n2?12n?25为完全平方数,所以一定有n4?2n3?6n2?12n?25?(n2?n?3)2,整理得n2?6n?16?0,解得n?8(负根n??2舍去).

第二试

一、(本题满分20分)设b为正整数,a为实数,记M?a2?4ab?5b2?2a?2b?

的情况下,求M可能取得的最小整数值,并求出M取得最小整数值时a,b的值.解11,在a,b变动4M?(a?2b)2?2(a?2b)?1?b2?2b?1?33?(a?2b?1)2?(b?1)2?,44

注意到b为正整数,所以M?(1?1)2?319?,所以M可能取得的最小整数值为5.44

当M?5时,(a?2b?1)2?(b?1)2?317?5,故(a?2b?1)2?(b?1)2?.44

1,所以4因为b为正整数,所以(b?1)2是整数且不小于4,所以一定有b?1?2,且(a?2b?1)2?

b?1,a?13或a?

.22

二.(本题满分25分)在直角△ABC中,D为斜边AB的中点,E、F分别在AC、BC上,?EDF?90?,已知CE?4,AE?2,BF?CF?

3,求AB.2解延长ED到点M,使DM?ED,连接MB、MF.又因为D为AB的中点,所以△BDM≌△ADE.所以AE?BM,?A??ABM,所以AC//BM,所以?CBM?180???C?90?,故△BMF是直角三角形,于是有BM2?BF2?MF2.

又在直角△CEF中,有CE2?CF2?EF2.又由?EDF?90?和DM?ED可得EF?MF,

于是可得CE?CF?BM?BF?AE?BF,

所以BF2?CF2?CE2?AE2?12,即(BF?CF)(BF?CF)?12.又BF?CF?

22222223,所以BF?CF?8,即BC?8.22222因此AB?AC?BC?6?8?100,所以AB?10.

三.(本题满分25分)设不全相等的非零实数a,b,c满足bcacab???1,求2a2?bc2b2?ac2c2?aba?b?c的值.

解由111bcacab???1得???1.2222222a2b2c2a?bc2b?ac2c?ab?1?1?1bcacab

2a22b22c2111设x?,y?,z?,则xyz?8,且???1,bcacabx?1y?1z?1

通分即得(y?1)(z?1)?(x?1)(z?1)?(x?1)(y?1)?(x?1)(y?1)(z?1),

展开后整理得xyz?x?y?z?2,所以x?y?z?6.2a22b22c2

即???6,所以a3?b3?c3?3abc,分解因式得bcacab

(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]?0.

又a,b,c不全相等,所以(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0,故a?b?c?

0.

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