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希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题

发布时间:2013-09-26 11:14:13  

希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题

一、选择题:(每题4分,共40分)

1.如果a<0,

2.已知,y=ax7+bx5+cx3+dx+e,其中a,b,c,d,e为常数,当x=2时,y=23;当x=-2时,y=-35,那么e的值是 [ ]

A.6. B.-6. C.12. D.-12

1中,一定是[ ] a

1133 A.a最小,a最大

,a最大; C. 最小,a最大; D. 最小,a最大. aa3.如果-1<a<0, 那么a,a3

4.方程x-7|x|+12=0的根的情况是 [ ]

A.有且仅有两个不同的实根.B.最多有两个不同的实根

C.有且仅有四个不同的实根.D.不可能有四个实根

5.若三角形的三边长度均为整数,其中两边长的差是7,且三角形的周长是奇数,则第三边长可能是 [ ]

A.9 . B.8. C.7. D.6. 2

6.在四边形ABCD中,∠A=60°,∠ABC=∠ADC=90°,BC=2,CD=11,自D作DH⊥AB于H,则DH的长是 [ ]

A.7.5. B.7. C.6.5. D.5.5.

7.已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实数根的平方和是7

A.11或3. B.11. C.3. D.5

8.在ΔABC的三边AB,BC,CA上分别取AD,BE,CF,使AD=

积是ΔABC的面积的[ ] A. 1,则a的值为[ ] 7111AB,BE=BC,CF=AC,则ΔDEF的面4441357; B.; C.; D.. 88416

9.一个凸多边形恰好有三个内角是钝角,这样的多边形的边数的最大值是 [ ]

A.5. B.6. C.7 .D.8

10.设n为大于1的自然数,则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是[ ]

A.3n23n+3. B.5n25n5. C.9n29n+9 .D.11n211n11.

二、填空题:(每题4分,共40分)

1.已知关于x的二次方程x2+px+2=0的两根为x1和x2,且x1-x2

,那么p的值为_____.

2.如果(1-3x)=a0+a1x+a2x+a3x+a4x+a5x,那么|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值为______.

3.如图30,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=10厘米,AC与BD相交于G,且∠AGD=60°,设E是CG的中点,F是AB的中点,则EF的长为________.

4.如图31中,以A,B,C,D,E,F,G,H这些点为端点的线段共有______条.

5.若a,b,c是实数,且

+b+c=4,则(a-2b+c)222199452345=______.

6.编写一本数学书的页数总共用6869个数字,(例如一本10页的书,

它的页数是一位数的9个,两位数的1个,总共用去数字9+2=11个),

那么这本数学书的页数是________.

7.一个口袋内装有红、蓝、白三种不同颜色的小球,其中蓝球数

至少是白球数的一半,但至多是红球数的

至少是55个,则红球至少有________.

8.如图32,正方形ABCD内有一个内接△AEF,若∠EAF=45°,

AB=8厘米,EF=7厘米,则△EFC的面积是______.

9. 若a,b,c是实数,且

,ab+1,白球与蓝球的总和 3bc21c+=0,那么的值是_____. 4a2

10.已知:a≠0,14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c) 2,那么,a∶b∶c=______.

三、解答题(每题10分,共20分)

1. 如图33,五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠BAE=∠BCD=120°,∠ABC+∠AED=180°,

连接AD.求证:AD平分∠CDE.

2.如图34,甲、乙、丙三人同时分别从A、B、C出发,甲向C,乙、丙向A前进,过了2时,甲与乙于M点相遇;又过了

之间的距离为

公里?

1小75小时,丙于N点追及乙,已知B点恰为N,C的中点,M与N1410公里;又知甲比丙提前1小时到达目的地,问A与B,B与C之间各多少7

答案2提示

一、选择题

提示:

2.由题设知,当x=2时,

23=a227+b225+c223+d22+e ①

当x=-2时,-35=a2(-2)7+b2(-2)5+c2

(-2)3+d2(-2)+e,即35=-a227-b225-c223-d22+e ②

①+②,则得2e=-12,所以e=-6.故选(B).

4.原方程可化为|x|2-7|x|+12=0.推出(|x|-4)(|x|-3)=0.从而|x|=4或|x|=3解得x=±3,x=±4,故选(C).

5.不妨设三角形三边长度为a,b,c.且ab=7,则a与b为一奇一偶,又题设知a+b+c为奇数,所以c一定是偶数,又三角形两边之差小于第三边,即c>a

边长可能是8,故选(B).

6.如图35,自C作DH的垂线CE交DH于E.

∵DH⊥AB,CB⊥AB.

∴CB∥DH又CE⊥DH.

∴四边形BCEH是矩形,则HE=BC=2,在Rt△AHD中,∠A=60°,∴∠ADH=30°,又 ∠ADC=90°∴∠CDE=60°,则在Rt△

CED

7.设方程的两个实根为x1,x2,则

b=7,所以第三

整理②式得,a+8a-33=0,解得a=3或a=-11.将a=3代入①式得3+1633-8>0.将a=-11代入①式得(-11)+162(-11)-8<0矛盾.故选(C).

8.如图36,连接AE.

222

9.设∠A,∠B,∠C均为钝角,则90°<A<180°,90°<B<180°,90°<C<180°.270°<A+B+C<540°.

n边形中其余n-3个角均小于等于90°.

∵∠A+∠B+∠C+∠D+…+∠N<540°+(n3)290°.

n边形的n个角和为(n-2)3180°.

∴(n-2)2180°<540°+(n-3)290°推出.n<7,∴n的最大值为6.

又极端情况为三钝角相邻,三个角的各边接近为一条角线,如图37可画出恰有三个钝角的六边形,故选(B).

10.解一:欲使9n29n+9为某自然数的平方,有9n2-9n+9=9(n2-n+1),必须使n2-n+1为某自然数的平方,而n>1时有n2-2n+1<n2-n+1<n2,即n2-n+1不可能为某自然数的完全平方,故选(C).

解二:当n=2时,3n2-3n+3=9,

当n=3时,5n2-5n-5=25,

当n=4时,11n2-11n-11=121均为完全平方数,所以排除(A),(B),(D).选(C).

二、填空题

提示:

1.由题设的方程的两根为x1,x2,得

523452. 解法一:∵(1-3x)=a0+a1x+a2x+a3x+a4x+a5x.

其中a0>0,a2>0,a4>0,a1<0,a3<0,a5<0.

∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.

将x=-1代入原等式两端得

[1-33(-1)]=a0+a12(-1)+a22(-1)+a32(-1)+a42(-1)+a52(-1)

即1024=a0-a1+a2-a3+a4-a5.

∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=1024-a0=1023

解法二:将(1-3x)用乘法分式逐项展开,得

(1-3x)=1-15x+90x-270x+405x-243x

∴|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=90+270+405+243=1023.

3.如图38,连接BE.

∵AB=CD,AD∥BC.

∴四边形ABCD是等腰梯形,又∠BGC=∠AGD=60°.

∴△BCG为等边三角形,BE是CG边的中垂线.

∴BE⊥CG即△ABE是直角三角形.

4.线段有AB,AG,AE,GE,DH,DE,HE,DF,DC,FC,

Ad,BG,BH,BF,GF,HF,BC,BE,EC共20条.

52345552345

6.一位数9个,需9个数字,两位数90个,需2390个数字,三位数900个,需33900个数字,四位数9000个,需439000个数字.而9+2390+33900<6869<9+2390+33900+439000.即2889<6869<38889.

设需用x个四位数码.则9+9032+90033+4x=6869.解得x=995.

所以书的页数为1000+995-1=1994.

7.设红、蓝、白三种小球的个数分别为x,y,z.则

∴y+z≤y+2y=3y.

x≥3y=57,∴红球至少有57个.

8.延长EB到G,使BG=DF,连接AG(图39),∵AB=AD,∴△ABG≌△ADF, ∴∠2=∠3,又∠1+∠2=45°,∴∠1+∠3=45°,∠EAF=45°.

在△AEF和△AEG中,AE=AE,AF=AG,∠EAF=∠EAG∴△AEF≌△AEG,EF=EG=7. S△EFC=SABCD-SABEFD=SABCD-2S△AEG

10.由题设得

14a2+14b2+14c2=a2+4b2+9c2+4ab+6ac+12bc

∴13a2+10b2+5c2-4ab-6ac-12bc=0.

(4a-4ab+b)+(9a-bac+c)+(9b-12bc+4c)=0.

即(2a-b)2+(3a-c)2+(3b-2c)2=0.

∴2a-b=0,3a-c=0,3b-2c=0.

即b=2a,c=3a,3b=2c,∴a∶b∶c=1∶2∶3.

三、解答题

1. 证一:如图40,连接AC,将△ABC绕A点旋转120°到△AEF.

∵AB=AE,∠BAE=120°,∴AB与AE重合.又∠ABC+∠AED=180°.

∴D,E,F在一条直线上,AC=AF.在△ACD和△AFD中,DE+EF=DE+BC=CD.AF=AC, 222222

∴△ACD≌△AFD,∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE.

证二:如图41连接AC.

∵BC+DE=CD,AB=AE,∠ABC+∠AED=180°.

∴将△ABC,绕C点顺时针方向旋转至

△FGC,同时将△AED绕D点逆时针方向旋转至△FGD.

则AB与AE重合成FG,AC旋转后成CF,AC=CF,AD旋转后成DF,AD=DF,CD=CD. ∴△ACD≌△FCD,∴∠ADC=∠FDC=∠ADE.即AD平分∠CDE.

证三:如图42.

∵BC+DE=CD.在CD上,取CF=DE,则FD=BC.连接BF,FE,AF,AC.

在△BCF和△FDE中,BC=FD,CF=DE,∠BCF=120°,

∠FDE=540°-120°-120°-180°=120°(五边形内角和=540°)

∴△BCF≌△FDE.∴BF=FE,∠1=∠3,∠2=∠4.

在△ABF和△AEF中,AB=AE,BF=FE,

在△ACF和△ADE中,AF=AE,CF=DE,∠AFC=60°+∠2=60°+∠4=∠AED,

∴△ACF≌△ADE,∠ADE=∠ACF,AC=AD,∠ACF=∠ADF,

∴∠ADE=∠ADF,∴AD平分∠CDE.

证四:如图43,延长BC,ED相交于F,自A向BC和DE的延长线引垂线AG,AH,垂足分别为G,H连接AF与CD相交于K.

在Rt△ABG和Rt△AEH中,AB=AE,∠ABG=180°-∠AED=∠AEH,

∴△ABG≌△AEH,∴AG=AH,∠BAG=∠EAH.

在△CDF中,∠FCD=180°-∠BCD=60°,∠CDF=180°-∠CDE.

∠CDE=540°-(180°+120°+120°)=120°

∴∠CDF=60°,∴△CDF是等边三角形.

∴CD=CF=FD.在Rt△AGF和Rt△AHF中AG=AH,AF=AF,∴△AGF≌△AHF,

∴∠AFG=∠AFH=30°,∴FK平分∠CFD,FK垂直平分CD.又∵BC+DE=CD,BG=EH.

在Rt△ADK和Rt△ADH中AD=AD,DK=DH,∴△ADK≌△ADH,∠ADK=∠ADH即AD平分∠CDH.

2.如图44,N点在M点左侧.设甲、乙、

又设AB的距离为x公里,则

答:A,B之间距离为30公里,B,C之间距离为10公里.

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