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2014年全国初中数学联合竞赛(初二)试题及解答

发布时间:2014-04-02 17:33:15  

2014年全国初中数学联合竞赛(初二)试题

参考答案及评分标准

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1. 若x?0,y?

0为( )

A.1. B. 2. C.3. D. 4.

【答】B

. ?

???0??

?50y?5y?3y?2 25y?5y?y

2.已知△ABC中,AB=AC=2,点D在BC边的延长线上,AD=4,则BD·CD=( )

A.16. B.15. C.13. D.12.

【答】D.

过点A作BD的垂线,垂足为E,则由勾股定理可得:

AE2=AB2-BE2=AD2-DE2

故BD·CD=(DE+BE)(DE-BE)

=DE-BE=AD-AB=4-2=12

3.已知x,y为整数,且满足(?

( )

A.1个. B. 2个. C.3个. D.4个.

【答】C.

2222221x111211)(2?2)??(4?4),则x?y的可能的值有yxy3xy

1

显然x?y(否则原式不成立),故原式两边可同时乘上(11,化为: ?)xy

1121111???(?)(?) x4y43xyx4y4

(1)若11?4?0,则x??y,故x?y?0; 4xy

112112y,则 ??0?(?)?1?x?x4y43xy2?3y

6y4??2为整数. 2?3y2?3y(2)若 因为x,y为整数,所以3x?

易得:当y=1时,x=-2,符合题意,此时x?y??1;

当y=2时,x=-1,符合题意,此时x?y?1.

所以x?y的可能的值有3个.

4.用1g、3g、6g、30g的砝码各一个,在一架没有刻度的天平上称量重物,如果天平两端均可放置砝码,那么,可以称出的不同克数的重物的种数为( )

A.21. B. 20. C.31. D.30.

【答】C.

由1g、3g、6g可称出1g~10g中任何一个整数克的重物,因为还有一个30g,所以进而可以称出20g~40g中任何一个整数克的重物,而11g~19g通过验证可知,不可能被称出,所以可以称出的不同克数的重物的种数为31.

5.已知实数x,y,z

1?(x?y?z),则xyz的值为( ) 2

A.6. B. 4. C.3. D.不确定.

【答】A

.

1(x?y?z)2

?1)2?1)2?1)2?0 ?

?1?x?2???1??y?3?xyz?6

?z?1??12

6.已知△ABC的三边长分别为2,3,4,M为三角形内一点,过点M作三边的平行线,交各边于D、E、F、G、P、Q(如图),如果DE=FG=PQ=x,则x=( )

A.

1813

. B.

2013

. C.

2213

. D.

2413

.

【答】D.

由相似可得:

x2

x3x4

???

FGABPQACDEBC

???

CGBCBQBCBGBC

, ,

A.

C

BC

xxx24所以???2,解得x?.

23413

+

CQ

B

GQ

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1.如果关于x的方程|x?3|?|x?2|?|x?1|?a恰好只有一个解,则实数a=________. 【答】-1.

?x?4,(x?3)

??x?2,(2?x?3)?

构造函数y?|x?3|?|x?2|?|x?1|??

??3x?6,(1?x?2)???x?4,(x?1)

它的图像如下:

当a=-1时,它与y=a恰好只有一个解,

即当a=-1时,关于x的方程|x?3|?|x?2|?|x?1|?a恰好只有一个解.

3

2.使得不等式

【答】 144. 9n8??对唯一的整数k成立的最大正整数n为_________. 17n?k15

9n878???n?k?n 17n?k1589

87由题意可知n?n?2?n?144, 98

当n=144时,126<k<128,当且仅当k=127时,不等式成立,所以n的最大值为144.

3.已知P为等腰△ABC内一点,AB=BC,∠BPC=108°,D为AC的中点,BD与PC交于点E,如果点P为△ABE的内心(三角形的三条内角平分线的交点),则∠PAC=______.

【答】 48°. 因为?BPC?108??90??1

2?BAE

所以?BAE??BCP?36? 所以?CPB?180??108??36??36??

所以?BAC?48? 故?PAC?90??

4.已知n为正整数,且n?2n?6n?12n?25为完全平方数,则n=_________.

【答】8.

显然, n=1,n=2均不符合题意,当n?3时,易知 43234?BAC 11?48???36??48? 22C

(n2?n?2)2?n4?2n3?5n2?4n?4?n4?2n3?6n2?12n?25

(n2?n?4)2?n4?2n3?9n2?8n?16?n4?2n3?6n2?12n?25

而n?2n?6n?12n?25为完全平方数,所以 432

n4?2n3?6n2?12n?25?(n2?n?3)2

化简得n?6n?16?0.

解得n=8.

4

2

第二试

一.(本题满分20分)设b为正整数,a为实数,记M?a2?4ab?5b2?2a?2b?11,4在a,b变动的情况下,求M可能取得的最小整数值,并求出M取得最小整数值时a,b的值.

解 M?(a?2b)2?2(a?2b)?1?b2?2b?1?33……5分 ?(a?2b?1)2?(b?1)2?,44

319注意到b为正整数,所以M?(1?1)2??, 44

所以M可能取得的最小整数值为5. …………………………………………………10分 当M?5时,(a?2b?1)2?(b?1)2?

故(a?2b?1)2?(b?1)2?3?5, 417. ………………………………………………………15分 4

2因为b为正整数,所以(b?1)是整数且不小于4

所以一定有b?1?2,且(a?2b?1)2?

所以b?1,a?

二.(本题满分25分)在直角△ABC中,D为斜边AB的中点,E、F分别在AC、BC上,∠EDF=90°,已知CE=4,AE=2,BF?CF?1, 413或a?.…………………………………………………………20分 22 3

2,求AB.

解 方法一:延长ED到点M,使DM=ED,连接MB、MF.

又因为D为AB的中点,所以△BDM≌△ADE. ………………………………………5分 所以AE=BM,∠A=∠ABM,

所以AC∥BM,

所以∠CBM=180°-∠C=90°,

故△BMF是直角三角形,

于是有BM2+BF2=MF2. ………………………………………………………………10分 又在直角△CEF中,有CE2+CF2=EF2.

又由∠EDF=90°和DM=ED可得EF=MF,

于是可得CE2+CF2= BM2+BF2=AE2+BF2,………………………………………15分 所以BF2- CF2= CE2- AE2=12,

5

即(BF+CF)(BF-CF)=12. …………………………………………………………20分 又BF?CF?3

2,所以BF+CF=8,即BC=8.

因此AB2=AC2+BC2=62+82=100,所以AB=10. ………………………………25分

E

方法二:以C为原点,BC所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系. 设CF=a,则由已知条件可得,BF=a+1.5

所以,点E的坐标为(0,4),点A的坐标为(0,6),点F的坐标为(a,0),点B的坐标为(2a+1.5,0)

因为D为AB的中点,所以D的坐标为(a+0.75,3).

所以ED所在直线的斜率为?

因为ED⊥DF,所以?

所以BC=2a+1.5=8

因此AB2=AC2+BC2=62+82=100,所以AB=10.

三.(本题满分25分)

设不全相等的非零实数a,b,c满足

解 方法一

由13,DF所在直线的斜率为?4 a?0.750.751×4=-1,解得a=3.25 a?0.75bcacab???1,求a?b?c的值. 2a2?bc2b2?ac2c2?ab111bcacab???1. 得???12222222a2b2c2a?bc2b?ac2c?ab?1?1?1bcacab

2a22b22c2

设x?,y?,z?, bcabac

6

则xyz?8,且111???1,…………………………………………10分 x?1y?1z?1

通分即得(y?1)(z?1)?(x?1)(z?1)?(x?1)(y?1)?(x?1)(y?1)(z?1),

展开后整理得xyz?x?y?z?2,所以x?y?z?6.……………………………15分 2a22b22c2

即???6,所以a3?b3?c3?3abc, bcacab

分解因式得(a?b?c)[(a?b)?(b?c)?(c?a)]?0.

又a,b,c不全相等,所以(a?b)?(b?c)?(c?a)?0,故a?b?c?0.…25分 方法二: 由222222bcacab???12222a?bc2b?ac2c?ab bcacab2c2

得2 ?2?1?2?22a?bc2b?ac2c?ab2c?ab

因为c为非零实数,所以ba2c??2a2?bc2b2?ac2c2?ab b(2b2?ac)?a(2a2?bc)2a3?2b3?2abc2c进一步整理得??(2b2?ac)(2a2?bc)(2b2?ac)(2a2?bc)2c2?ab a3?b3?abcc即?(2b2?ac)(2a2?bc)2c2?ab

即(a3?b3?abc)(2c2?ab)?c(2b2?ac)(2a2?bc)

整理得a3?b3?c3?3abc.

分解因式得(a?b?c)[(a?b)?(b?c)?(c?a)]?0.

又a,b,c不全相等,所以(a?b)?(b?c)?(c?a)?0,故a?b?c?0. 222222

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