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初二版5月稿

发布时间:2014-04-03 09:09:40  

建立一次函数模型 解决方案设计问题

济宁市梁山县小路口镇初级中学 郑继海

(适用于初二版 5月刊)

日常生活中,存在着大量的一次函数问题,如:手机套餐的选择问题,商品的销售方案问题,调运方案问题等,如何解决这些方案设计问题?“方案设计问题”的特点是:题目内容较长、数量较多、数量关系复杂,因此大多数同学都感到困难.

解决这类问题的一般步骤有:

(1)建立一次函数模型.

在审清题意,找出等量关系的前提下设出自变量和函数,并把和自变量有关的其它各量也都表示出来,然后列出函数关系式.为了正确的找出各量之间的关系,分析题意时通常用表格或示意图来理清各量之间的关系.

(2)根据实际问题和题目的要求求出自变量的取值范围.

这是方案设计问题中的关键一步.一般要由题目的限制条件得到不等式(组),然后求出不等式组的解集,就是该函数的自变量取值范围.

(3)设计方案.

一般来说,在自变量取值范围内,有几个符合题意的自变量的值,就有几种方案.

(4)根据一次函数的性质,设计最优方案.

根据一次函数的增减性质,可求出一次函数的最大值或最小值,从而设计最优方案.

下面仅举几例谈谈如何建立一次函数模型解决方案设计问题.

一、生产方案的设计

例1、 某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A、B两种产品,共50件.已知生产一件A种产品需用甲种原料

9千克、乙种原料3千克,可获利润700元;生产一件B种产品,需用甲种原料4千克、乙种原料10千克,可获利润1200元.

(1)要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来;

(2)生产A、B两种产品获总利润是y(元),其中一种的生产件数是x,试写出y与x之间的函数关系式,并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?

给你支招:本题中共出现了9个数据,其中涉及甲、乙种原料的数量、生产A、B两种产品的总件数及两种产品所获得的利润,为了清楚地、完整地整理题目所涉及的各个信息,我们采用如下的列表法.

解:(1)设安排生产A种产品x件,则生产B种产品是(50-x)件.由题意得

(1)?9x?4(50?x)?360 ? (2)3x?10(50?x)?290?

解不等式组得30≤x≤32.

因为x是整数,所以x只取30、31、32,相应的(50-x)的值是20、19、18.

所以,生产的方案有三种,即第一种生产方案:生产A种产品30件,B种产品20件;第二种生产方案:生产A种产品31件,B种产品19件;第三种生产方案:生产A种产品32件,B种产品18件.

(2)设生产A种产品的件数是x,则生产B种产品的件数是50-x.由题意得

y=700x+1200(50-x)=-500x+6000.(其中x只能取30,31,32).

因为 -500<0, 所以 此一次函数y随x的增大而减小,

所以 当x=30时,y的值最大.

因此,按第一种生产方案安排生产,获总利润最大,最大利润是:-500·3+6000=4500(元).

二、营销方案的设计

例2、一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元,销售价是每份1元,卖不掉的报纸还可以0.20元的价格退回报社.在一个月内(以30天计算),有20天每天可卖出100份,其余10天每天只能卖出60份,但每天报亭从报社订购的份数必须相同.若以报亭每天从报社订购的份数为自变量x,每月所获得的利润为函数y.

(1)写出y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;

(2)报亭应该每天从报社订购多少份报纸,才能使每月获得的利润最大?最大利润是多少? 给你支招:本题要 注意每天卖出的报纸份数不同,再就是卖不出去的报纸要退回报社.

解:(1)由已知,报亭每月向报社订购报纸30x份,销售(20x+60×10)份,可得利润0.3(20x+60×10)=6x+180(元);退回报社10(x-60)份,亏本0.5×10(x-60)=5x-300(元),

故所获利润为y=(6x+180)-(5x-300)=x+480,即y=x+480.

自变量x的取值范围是60≤x≤100,且x为整数.

(2)因为y是x的一次函数,且y随x增大而增大,故当x取最大值100时,y最大值为100+480=580(元).

三、优惠方案的设计 例3、某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售.现有三家运输公司可供选择,这三家运输公司提供的信息如下: 解答下列问题: (1)若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总

和恰好是甲公司的2倍,求A,B两市的距离(精确到个位);

(2)如果A,B两市的距离为s千米,且这批水果在

包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元/小时,那么要使果品公司支付的总费用(包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和)最小,应选择哪家运输公司?

给你支招:题目中涉及三家运输公司,我们应分别把由每家公司运送所需费用y表示为路程s的函数,然后根据s的值讨论哪种方案最优.

解:(1)设A,B两市的距离为x千米,则三家运输公司包装与装卸及运输的费用分别是:甲公司为(6x+1500)元,乙公司为(8x+1000)元,丙公司为(10x+700)元,依题意,得

(8x+1000)+(10x+700)=2×(6x+1500),

解得x=2162≈217(千米); 3

(2)设选择甲、乙、丙三家公司的总费用分别为y1,y2,y3(单位:元),则三家运输公司包装及运输所需的时间分别为:甲(sss+4)小时;乙(+2)小时;丙(+3)小时.从而 6010050

s+4)×300=11s+2700, 60

sy2=8s+1000+(+2)×300=14s+1600, 50

sy3=10s+700+(+3)×300=13s+1600, 100y1=6s+1500+(

现在要选择费用最少的公司,关键是比较y1,y2,y3的大小.

∵s>0,∴y2>y3总是成立的,也就是说在乙、丙两家公司中只能选择丙公司;在甲和丙两家中,

究竟应选哪一家,关键在于比较y1和y3的大小,而y1与y3的大小与A,B两市的距离s的大小有关,要一一进行比较.

当y1>y3时,11s+2700>13s+1600,解得s<550,此时表明:当两市距离小于550千米时,选择丙公司较好;

当y1=y3时,s=550,此时表明:当两市距离等于550千米时,选择甲或丙公司都一样;

当y1<y3时,s>550,此时表明:当两市的距离大于550千米时,选择甲公司较好.

四.调运方案的设计

例4、某市的C县和D 县上个月发生水灾,急需救灾物质10吨和8吨.该市的A县和B县伸出援助之手,分别募集到救灾物质12吨和6吨,全部赠给C县和D 县.已知A、B两县运货到C、D两县的运费(元/吨)如表所示:

(1)设B县运到C县的救灾物质为x吨,求总运费w关于x的函数关系式,并指出x的取值范围;

(2)求最低总运费,并说明运费最低时的运送方法.

给你支招:本根据需求,库存在A,B两城的救灾物资需全部运出,运输的方案决定于从某城运往某地的吨数.也就是说.如果设从B城运往C地x吨,则余下的运输方案便就随之确定,此时所需的运费y(元)也只与x(吨)的值有关题中所给的信息量大,数据也较多,为梳理各个量之间的关系,我们可以采用如下的图示整理信息.

C县 10-x B县 A县

6-12-(10-x) D县

解:(1)w=30x+80(6-x)+40(10-x)+50[12-(10-x)]= -40x+980.

自变量X的取值范围是:0≤x≤6.

(2)由(1)可知,w随x增大而减少,∴当x=6时,总运费最低.最低总运费

w=-40×6+980=740(元).

此时的调运方案是:把B县的6吨全部运到C县,再从A县运4吨到C县,A县余下的8吨全部运到D县.

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