haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题

发布时间:2014-04-03 10:57:32  

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题

一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填均得零分)

1. 已知x+y=x1+y1≠0,则xy的值为( ) --

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

2. 如图,直线l1与直线l2相交,∠α=60o,点P在∠α内(不在l1,l2上).小明用下面的方法作P的对称点:先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1,再以l2

为对称轴作P1关于l2的对称点P2,然后再以l1为对称轴作P2关于l1的

对称点P3,以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4,……,如此继续,

得到一系列点P1,P2,P3,…,Pn.若Pn与P重合,则n的最小值是( )

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

3. 甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛,如果任意安排四位同学的跑步顺序,那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是( )

1111(A(B) (C) (D)46812

kk4. 如图,两个反比例函数y= 和y= (其中k1>k2>0)在第一象限xx

内的图象依次是C1和C2,设点P在C1上,PC⊥x轴于点C,交C2

于点A,PD⊥y轴于点D,交C2于点B,则四边形PAOB的面积为( )

k(A)k1+k2 (B)k1-k2 (C)k1·k2 (D k2

5. 在平面直角坐标系中,如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点,将二次函数y=-x2

27+6x-的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,则在此红色区域内部及其边界上的整4

点的个数是( )

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

6. 小明把棱长为4的正方体分割成了29个棱长为整数的小正方体,

则其中棱长为1的小正方体有( )

(A)22个 (B)23个 (C)24个 (D)25个

7. 如图,⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D,与直角边AC相交

于点E,且DE∥BC.已知AE=22,AC=32,BC=6,则⊙O

的半径是( )

(A)3 (B)4 (C)43 (D)23

8. 7条长度均为整数厘米的线段:a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,满足a1<a2<a3<a4<a5<a6<a7,且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形.若a1=1厘米,a7=21厘米,则a6=( )

(A)18厘米

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题 第1页 共10页 (B)13厘米 (C)8厘米 (D)5厘米

二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)

9. 若干名同学制作迎奥运卡通图片,他们制作的卡通图片张数

的条形统计图如图所示,设他们制作的卡通图片张数的平均

数为a,中位数为b,众数为c,则a,b,c的大小关系为

_________.

10.△ABC中,∠A和∠B均为锐角,AC=6,BC=3,且sinA

3=cosB的值为_________. 3

11.如图,四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90o,BC=CD,E是

AD延长线上一点,若DE=AB=3cm,CE=4,则AD的

长是_________.

12.已知△ABC为钝角三角形,其最大边AC上有一点P(点P与点A,C不重合),过点P

作直线l,使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似,这样的直线l可作的条数是_________.

13.小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶

来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是_________分钟.

14.如图,矩形ABCD中,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,

DA上,点P在矩形ABCD内.若AB=4cm,BC=6cm,AE=CG

=3cm,BF=DH=4cm,四边形AEPH的面积为5cm2,则四边形

PFCG的面积为_________cm2.

三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分)

15.(本题满分12分)小王、小李两同学玩“石头、剪刀、布"的划拳游戏.游戏规则为:胜

一次得

3

分,平一次得

1分,负一次得0分,一共进行7次游戏,游戏结束时,得分高者为胜.

(1)若游戏结束后,小王得分为10分,则小王7次游戏比赛的结果是几胜几平几负?

(2)若小王前3次游戏比赛的结果是一胜一平一负,则他在后面4次比赛中,要取得怎样

的比赛结果,才能保证胜小李?

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题 第2页 共10页

16.(本题满分12分)在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b+2(k≠0)的图象与x轴、y

轴的正半轴分别交于A,B两点,且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3.

(1)用b表示k;

(2)求△OAB面积的最小值.

17.(本题满分12分)如图,AB,AC,AD是圆中的三条弦,点E

在AD上,且AB=AC=AE.请你说明以下各式成立的理由:

(1)∠CAD=2∠DBE;

(2)AD2-AB2=BD·DC.

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题 第3页 共10页

18.(本题满分14分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,

OA=10厘米,OC=6厘米,现有两动点P,Q分别从O,A同时出发,点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动,点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动,已知点P的运动速度为1厘米/秒.

(1)设点Q的运动速度为 12 厘米/秒,运动时间为t秒,

①当△CPQ的面积最小时,求点Q的坐标;

②当△COP和△PAQ相似时,求点Q的坐标.

(2)设点Q的运动速度为a厘米/秒,问是否存在a的值,

使得△OCP与△PAQ和△CBQ这两个三角形都相似?若

存在,请求出a的值,并写出此时点Q的坐标;若不存

在,请说明理由.

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题 第4页 共10页

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题参考答案

一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分) 1. 答案:C 解:x?y?

11x?y

, ∵ x?y?0,∴ xy?1. ??

xyxy

2. 答案:B

解:按题意作图(如图所示),n=6.

3. 答案:A

6)

(第2题)

解:通过列表或画树状图,可知四位同学的比赛顺序共有24种情况,其中由甲交给乙共有6

种情况:甲乙丙丁、甲乙丁丙、丙甲乙丁、丁甲乙丙、丙丁甲乙、丁丙甲乙,故所求概率是

4. 答案:B

解:如图,设P(m,n),因为点P在C1上,

所以mn=k1,A(m,

k2k

),B(2,n). mn

(第4题)

61?. 244

S四边形PAOB?S四边形PCOD?SΔOCA?SΔOBD

?mn?

kk1

(m?2?n?2)?k1?k2. 2mn

5. 答案:C

解:二次函数y??x2?6x?

在x?

2739

的图象与x轴有两个交点(,0),(,0). 422

39

与x?之间共有3个整数2,3,4. 22

55

,满足0≤y≤的整数是0,1,整点有4个;

44

当x=2,4时,y?当x=3时,y?

99

,满足0≤y≤的整数是0,1,2,整点有3个.

44

故共得7个整点.

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题 第5页 共10页

6. 答案:C

解:若分割出棱长为3的正方体,则棱长为3的正方体只能有1个,余下的均为棱长为1的正

方体,共37个,不满足要求.设棱长为2的正方体x个,棱长为1的正方体y个,则 ?x?y?29,解得?x?5, ?8x?y?64.?y?24.??

7. 答案: D

解:AB?(32)?6?36.∵ DE∥BC,

∴ △AED∽△ACB, ∴

22EDAE

,ED?6??4. ?

CBAC32

(第7题)

B

2

2

过点O作OF⊥DE,F是垂足,连结OD,则FD?由△OFD∽△BCA,得

8. 答案:B

1

ED?2. 2

2ODFD

,故所求半径OD?36??23. ?

BACA2

解:只有当a2=2,a3=a1+a2= 3,a4=a2+a3= 5,a5=a3+a4= 8,a6=a4+a5= 13时,7条线段中的任

意3条都不能构成三角形,故a6= 13.

二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分) 9. 答案:b>a>c

解:共有10名同学制作图片,制作的张数为4,4,4,4,5,5,5,6,6,6,a=4.9,b=5,

c=4,∴ b>a>c.

10. 答案:

3

3

,∴ CD?AC?sinA?23. 3

A

C

解:如示意图,在△ABC中作高CD,

∵ AC=6,sinA?

D (第10题)

DB?(3)2?(23)2?.∴ cosB?

DB. ??

BC33

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题 第6页 共10页

11. 答案:5

解:连结AC,易证△CDE≌△CBA(SAS),∠ACE=90°.

因为CA=CE=42cm,所以AE=8 cm,故AD=5 cm.

12. 答案:2条或3条

解:如图所示,其中∠ABP1=∠C,∠CBP2=∠A,当点P位

于点A至P1之间(包括点P1)或位于点C至P2之间(包括点P2)时,满足条件的直线共有3条;而当点P位于点P1至P2之间(不包括点P1,P2)时,满足条件的直线共有2条.

13. 答案:4

B

C

D

(第11题)

E

(第12题)

C

解:设18路公交车的速度是x米/分,小王行走的速度是y米/分,同向行驶的相邻两车的间距

为s米.

每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则 6x?6y?s. ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则 3x?3y?s. ② 由①,②可得 s?4x,所以

s

?4. x

即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟. 14. 答案:8

解:∵ SΔAEH?3cm2,SΔEBF?2cm2,

S长方形ABCD?24cm,

2

∴ S四边形EFGH?24?(3?2)?2?14(cm). 易证四边形EFGH是平行四边形, ∴ SΔHEP?SΔPFG?

14

?7(cm2). 2

2

(第14题)

∵ SΔPEH?2cm2,∴ SΔPFG?5cm2.

∴ S四边形PFCG?5?3?8(cm2),即四边形PFCG的面积为8cm2.

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题 第7页 共10页

三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分)

15. 解:(1)设小王胜x次,平y次,x,y为自然数,则

?3x?y?10,??x?y?7, ……3分

??0?x?4.

解得x=3,y=1或x=2,y=4.

即小王的比赛结果为3胜1平3负,或2胜4平1负. ……2分

(2) 小王在前3次划拳游戏中,为一胜一平一负,积4分;则小李在前3次划拳游戏中,

为一负一平一胜,也积4分.

设在后4次比赛中,小王胜x次,平y次,则小王得分为3x+y,小李得分为3(4-x-y)+y,

?3x?y?3(4?x?y)?y,?小王要胜出应有:?x?y?4, ……4分

??0?x?4.

x?4, 解得??y?0; ??x?3, ?y?1;??x?3, ?y?0;??x?2, ?y?2;??x?2, ?y?1;??x?1, ?y?3.?

即小王四胜、三胜一平、三胜一负、二胜二平、二胜一平一负,

或一胜三平都能保证胜小李. ……3分

16.解:(1)令x?0,得y?b?2,b??2;

令y?0,得x??b?2?0,k?0. ……2分 k

b?2A,B两点的坐标分别为A(?,0),B(0,b?2), k

1b?2△OAB的面积为S?(b?2)?(?). 2k

1b?2b?2由题意,得 (b?2)?(?)???b?2?3, 2kk

b2?2b解得 k??,b?0. …… 4分 2(b?5)

(b?2)(b?5)b2?7b?10(2) 由(1)得S == ……1分 bb

10210)?7?2 ……3分 =b??7=(?bb

10?0,即b?时,S有最小值7?2, 当?b

所以,△OAB面积的最小值为7?2. ……2分

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题 第8页 共10页

17. 解:(1) 如图,连接BC,∵ AB=AC=AE,∴ ∠5 = ∠2,∠2 + ∠3 = ∠6.

又 ∠4 +∠5 = ∠6 = ∠2 +∠3, ∴ ∠4 = ∠3.

A

而 ∠1 = ∠4 +∠3, ∴ ∠1 = 2∠4.

即 ∠CAD=2∠DBE. ……6分 (2) 设BC与AD的交点为G,

∵ ∠2= ∠5,∠BAG=∠DAB, ∴ △BAG∽△DAB.

B

G

E C

(第17题)

∴ AB2?AG?AD. ……2分 ∴ AD2?AB2?AD2?AG?AD?AD(AD?AG)

= AD?DG. ……2分

又 ∵ ∠5 =∠ADC,∠DBG=∠1,

∴ △BDG∽△ADC. ∴

DBDG

,AD?DG?BD?DC. ?

ADDC

∴ AD2?AB2?BD?DC. ……2分

18. 解:(1)

①SΔCPQ?S矩形OABC?SΔOCP?SΔPAQ?SΔBCQ

?60??

111111?6?t?10?t)?t??10(6?t)?t2?3t?30 222224

1

(t?6)2?21 (0≤t≤10). 4

……2分

故当t=6时,SΔCPQ最小值为21, 此时点Q的坐标为(10,3). ② 如图,当∠1=∠2时,

……1分

OCQA

, ?

OPPA

1t

6∴ ?, t10?t

12

t?6t?60?0, 2

解得t1??6?239,t2??6?2(舍去).

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题 第9页 共10页

当∠1=∠3时,610?t,解得 t?7. ?1tt2 ……2分 因此,当t??6?239或7时,即当Q点的坐标为(10,?3?39)或(10,△COP和△PAQ相似. ……1分 7)时2

(2) 假设存在a的值,使△OCP与△PAQ,△CBQ这两个三角形都相似, 设此时P,Q运动的时间为t秒,则OP=t,AQ=at.

① 当∠1=∠3=∠4时,

解得t1?2,

此时a?OCPABC610?t10,?. ???OPAQBQtat6?att2?18(舍去). 84,Q点的坐标为(10,). ……3分 33

……1分

OCQABC6at10,?. ???OPAPBQt10?t6?at② 当∠1=∠3=∠5时,∠CPQ=∠CQP=90°不成立; ③ 当∠1=∠2=∠4时,

?6t?at2, ① 即有 ?6at?10t. ②

由②,得 at?36?10t, 6

(36?10t)t代入①,得 60?6t?, 6

整理,得5t2?36t?180?0,△<0,

方程无实数解; ……3分 ④ 当∠1=∠2=∠5时,由图可知∠1=∠PCB>∠5,

故不存在这样的a值. ……1分 综上所述,存在a的值,使△OCP与△PAQ和△CBQ这两个三角形都相似, 此时a?

48,点Q的坐标为(10,). 33

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题 第10页 共10页

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com