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初中数学竞赛专题培训(14):中位线及其应用 - 副本

发布时间:2014-04-05 13:54:51  

成为数学尖子生的四大要求:认真,踏实,坚持,自律1

初中数学竞赛专题培训 第十四

中位线是三角形与梯形中的一条重要线段,由于它的性质与线段

的中点及平行线紧密相连,因此,它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用.

讲 中位线及其应用

(1)求证:GH∥BC;

例1 如图2-53所示.△ABC中,AD⊥BC于D,E,F

ABC的面积.

分析 由条件知,EF,EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线.利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系,不难求出△ABC的高AD及底边BC的长.

解 由已知,E,F分别是AB,BD的中点,所以,EF是△ABD的一

条中位线,所以

由条件AD+EF=12(厘米)得

EF=4(厘米),

从而 AD=8(厘米),

由于E,G分别是AB,AC的中点,所以EG是△ABC的一条中位线,

所以

BC=2EG=2×6=12(厘米),

显然,AD是BC上的高,所以

例2 如图 2-54 所示.△ABC中,∠B,∠C的平分线BE,CF相交

于O,AG⊥BE于G,AH⊥CF于H.

(2)若AB=9厘米,AC=14厘米,BC=18厘米,求GH.

分析 若延长AG,设延长线交BC于M.由角平分线的对称性可以

证明△ABG≌△MBG,从而G是AM的中点;同样,延长AH交BC于N,H是AN的中点,从而GH就是△AMN的中位线,所以GH∥BC,进而,利用△ABC的三边长可求出GH的长度.

(1)证 分别延长AG,AH交BC于M,N,在△ABM中,由已知,BG

平分∠ABM,BG⊥AM,所以

△ABG≌△MBG(ASA).

从而,G是AM的中点.同理可证

△ACH≌△NCH(ASA),

从而,H是AN的中点.所以GH是△AMN的中位线,从而,HG∥MN,

HG∥BC.

(2)解 由(1)知,△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH,所以

AB=BM=9厘米,AC=CN=14厘米.

又BC=18厘米,所以

BN=BC-CN=18-14=4(厘米), MC=BC-BM=18-9=9(厘米).

从而

MN=18-4-9=5(厘米),

1

2 成为数学尖子生的四大要求:认真,踏实,坚持,自律 说明 (1)在本题证明过程中,我们事实上证明了等腰三角形顶角

平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及

垂线)性质定理的逆定理:“若三角形一个角的平分线也是该角对 所以 A′B′⊥B′C′, 边的垂线,则这条平分线也是对边的中线,这个三角形是等腰三角形”.

所以四边形A′B′C′D′是矩形,所以

AB⊥PQ,

(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的:“若 A′C′=B′D′. ①

三角形一个角的平分线也是该角对边的中线,则这个三角形是等 说明 在解题过程中,人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、

腰三角形,这条平分线垂直于对边”.同学们不妨自己证明. (3)从本题的证明过程中,我们得到启发:若将条件“∠B,∠C

的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示),或改为“∠B,∠C的外角平分线”(如图2-56所示),

其余条件不变,那么,结论GH∥BC仍然成立.同学们也不妨试证.

例3 如图2-57所示.P是矩形ABCD内的一点,四边形BCPQ是平

行四边形,A′,B′,C′,D′分别是AP,PB,BQ,QA的中点.求证:A′C′=B′D′.

分析 由于A′,B′,C′,D′分别是四边形APBQ的四条边AP,

PB,BQ,QA的中点,有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形,A′C′与B′D′则是它的对角线,从而四边形A′B′C′D′应该是矩形.利用ABCD是矩形的条件,不难证明这一点.

证 连接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′,这四条线段依次是

△APB,△BPQ,△AQB,△APQ的中位线.从而

A′B′∥AB,B′C′∥PQ, C′D′∥AB,D′A′∥PQ,

所以,A′B′C′D′是平行四边形.由于ABCD是矩形,PCBQ是

平行四边形,所以

AB⊥BC,BC∥PQ.

从而

2

扩大已知的作用.如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验,对寻求思路起了不小的作用.因此注意归纳总结,积累经验,对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的.

例4 如图2-58所示.在四边形ABCD中,CD>AB,E,F分别是AC,

BD的中点.求证:

分析 在多边形的不等关系中,容易引发人们联想三角形中的边的

形中构造中位线,为此,取AD中点.

证 取AD中点G,连接EG,FG,在△ACD中,EG是它的中位线(已

知E是AC的中点),所以

同理,由F,G分别是BD和AD的中点,从而,FG是△ABD的中位

线,所以

在△EFG中,

EF>EG-FG. ③

由①,②,③

成为数学尖子生的四大要求:认真,踏实,坚持,自律

例5 如图2-59所示.梯形ABCD中,AB∥CD,E为BC的中点,

AD=DC+AB.求证:DE⊥AE.

3

分析 显然ADEF是平行四边形,对角线的交点O平分这两条对角

分析 本题等价于证明△AED是直角三角形,其中∠AED=90°. 在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下,添

梯形的中位线作为辅助线,若能证明,该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半,则问题获解.

证 取梯形另一腰AD的中点F,连接EF,则EF是梯形ABCD的中位线,所以

因为AD=AB+CD,所以

从而

∠1=∠2,∠3=∠4,

所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°).从而 ∠AED=∠2+∠3=90°,

所以 DE⊥AE.

例6 如图2-60所示.△ABC外一条直线l,D,E,F分别是三边的中点,AA1,FF1,DD1,EE1都垂直l于A1,F1,D1,E1.求证:

AA1+EE1=FF1+DD1.

线,OO1恰是两个梯形的公共中位线.利用中位线定理可证. 证 连接EF,EA,ED.由中位线定理知,EF∥AD,DE∥AF,所以

ADEF是平行四边形,它的对角线AE,DF互相平分,设它们交于O,

作OO1⊥l于O1,则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线,所以

即 AA1+EE1=FF1+DD1.

练习十四

1. 已知△ABC中,D为AB的中点,E为AC上一点,AE=2CE,CD,

BE交于O点,OE=2厘米.求BO的长.

2.已知△ABC中,BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线,AH⊥

BD于H,AF⊥CE于F.若AB=14厘米,AC=8厘米,BC=18厘米,求FH的长.

3

4 成为数学尖子生的四大要求:认真,踏实,坚持,自律 3.已知在△ABC中,AB>AC,AD⊥BC于D,E,F,G分别是AB, 6.如图2-63所示.D,E分别在AB,AC上,BD=CE,BE,CD的中

BC,AC的中点.求证:∠BFE=∠EGD.

4.如图2-61所示.在四边形ABCD中,AD=BC,E,F分别是CD,点分别是M,N,直线MN分别交AB,AC于P,Q.求证:AP=AQ.

AB的中点,延长AD,BC,分别交FE的延长线于H,G.求证:∠

AHF=∠BGF.

5.在△ABC中,AH⊥BC于H,D,E,F分别是BC,CA,AB的中点

(如图2-62所示).求证:∠DEF=∠HFE.

4 7.已知在四边形ABCD中,AD>BC,E,F分别是AB,CD

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