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初中数学竞赛专题培训(1):因式分解(1)

发布时间:2014-04-05 13:54:51  

成为数学尖子生的四大要求:认真,踏实,坚持,自律初中数学竞赛专题培训第一讲:因式分解(一)

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 1.运用公式法

在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2

-b2

=(a+b)(a-b); (2)a2

±2ab+b2

=(a±b)2

; (3)a3

+b3

=(a+b)(a2

-ab+b2

); (4)a3

-b3

=(a-b)(a2

+ab+b2

). 下面再补充几个常用的公式: (5)a2

+b2

+c2

+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2

(6)a3

+b3

+c3

-3abc=(a+b+c)(a2

+b2

+c2

-ab-bc-ca);

(7)an

-bn

=(a-b)(an-1

+an-2

b+an-3

b2

+…+abn-2

+bn-1

)其中n为正整数; (8)an

-bn

=(a+b)(an-1

-an-2

b+an-3

b2

-…+abn-2

-bn-1

),其中n为偶数; (9)an

+bn

=(a+b)(an-1

-an-2

b+an-3

b2

-…-abn-2

+bn-1

),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式. 例1 分解因式: (1)-2x5n-1yn

+4x

3n-1

yn+2-2xn-1yn+4

(2)x3

-8y3

-z3

-6xyz; (3)a2

+b2

+c2

-2bc+2ca-2ab; (4)a7

-a5b2

+a2b5

-b7

解 (1)原式=-2xn-1yn

(x4

n-2x2

ny2

+y4

) =-2xn-1yn

[(x2

n)2

-2x2

ny2

+(y2)2

] =-2xn-1yn

(x2

n-y2)2

=-2xn-1yn

(xn

-y)2

(xn

+y)2

. (2)原式=x3

+(-2y)3

+(-z)3

-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2

+4y2

+z2

+2xy+xz-2yz). (3)原式=(a2

-2ab+b2

)+(-2bc+2ca)+c2

=(a-b)2+2c(a-b)+c2

=(a-b+c)2

本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下: 原式=a2

+(-b)2

+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2

(4)原式=(a7

-a5b2

)+(a2b5

-b7

) =a5

(a2

-b2

)+b5

(a2

-b2

) =(a2

-b2

)(a5

+b5

)

=(a+b)(a-b)(a+b)(a4

-a3

b+a2b2

-ab3

+b4

) =(a+b)2

(a-b)(a4

-a3

b+a2b2

-ab3

+b4

) 例2 分解因式:a3

+b3

+c3

-3abc.

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6). 分析 我们已经知道公式

(a+b)3

=a3

+3a2

b+3ab2

+b3

的正确性,现将此公式变形为

a3

+b3

=(a+b)3

-3ab(a+b).

这个

式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导.

解 原式=(a+b)3

-3ab(a+b)+c3

-3abc =[(a+b)3+c3

]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[(a+b)2

-c(a+b)+c2

]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2

+b2

+c2-ab-bc-ca).

说明 公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:我们将公式(6)变形为 a3

+b3

+c3

-3abc

显然,当a+b+c=0时,则a3

+b3

+c3

=3abc;当a+b+c>0时,则a3

+b3

+c3

-3abc≥0,即a3

+b3

+c3

≥3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立.

如果令x=a3

≥0,y=b3

≥0,z=c3

≥0,则有

等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论. 例3 分解因式:x15

+x14

+x13

+…+x2

+x+1.

1

成为数学尖子生的四大要求:认真,踏实,坚持,自律 分析 这个多项式的特点是:有16项,从最高次项x开始,15

原式=x-9x+8 3

x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an

-bn

来分解. 解 因为

x16

-1=(x-1)(x15

+x14

+x13

+…x2

+x+1), 所以

说明 在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用. 2.拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解. 例4 分解因式:x3

-9x+8.

分析 本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧. 解法1 将常数项8拆成-1+9. 原式=x3

-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9

=(x-1)(x2

+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8).

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x. 原式=x3

-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2

+x-8).

解法3 将三次项x3

拆成9x3

-8x3

. 原式=9x3

-8x3

-9x+8 =(9x3

-9x)+(-8x3

+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2

+x+1) =(x-1)(x2

+x-8). 解法4 添加两项-x2

+x2

. 2

=x3

-x2

+x2

-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2

+x-8).

说明 由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中

技巧性最强的一种. 例5 分解因式: (1)x9

+x6

+x3

-3; (2)(m2

-1)(n2

-1)+4mn; (3)(x+1)4

+(x2

-1)2

+(x-1)4

; (4)a3

b-ab3

+a2

+b2

+1. 解 (1)将-3拆成-1-1-1. 原式=x9

+x6

+x3

-1-1-1 =(x9

-1)+(x6

-1)+(x3

-1)

=(x3

-1)(x6

+x3

+1)+(x3

-1)(x3

+1)+(x3

-1) =(x3-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x2

+x+1)(x6

+2x3

+3). (2)将4mn拆成2mn+2mn. 原式=(m2

-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2

-m2

-n2

+1+2mn+2mn =(m2n2

+2mn+1)-(m2

-2mn+n2

) =(mn+1)2

-(m-n)2

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1). (3)将(x2

-1)2

拆成2(x2

-1)2

-(x2

-1)2

. 原式=(x+1)4

+2(x2

-1)2

-(x2

-1)2

+(x-1)4

=[(x+1)4

+2(x+1)2

(x-1)2

+(x-1)4

]-(x2

-1)2

=[(x+1)2

+(x-1)2]2

-(x2

-1)2

=(2x2

+2)2

-(x2

-1)2

=(3x2

+1)(x2

+3). (4)添加两项+ab-ab.

原式=a3b-ab3+a2+b2

+1+ab-ab =(a3

b-ab3

)+(a2

-ab)+(ab+b2

+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2

+1) =a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b2

+1) =[a(a-b)+1](ab+b2

+1) =(a2

-ab+1)(b2

+ab+1).

成为数学尖子生的四大要求:认真,踏实,坚持,自律 说明 (4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂, 说明 由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验. 3.换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰.

例6 分解因式:(x2

+x+1)(x2

+x+2)-12.

分析 将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难.我们不妨将x2

+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了. 解 设x2

+x=y,则

原式=(y+1)(y+2)-12=y2

+3y-10 =(y-2)(y+5)=(x2

+x-2)(x2

+x+5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5).

说明 本题也可将x2

+x+1看作一个整体,比如今x2

+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试. 例7 分解因式:

(x2

+3x+2)(4x2

+8x+3)-90.

分析 先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合. 解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(2x2

+5x+3)(2x2

+5x+2)-90. 令y=2x2

+5x+2,则 原式=y(y+1)-90=y2

+y-90 =(y+10)(y-9)

=(2x2

+5x+12)(2x2+5x-7) =(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1).

说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础. 例8 分解因式:

(x2

+4x+8)2+3x(x2

+4x+8)+2x2

解 设x2

+4x+8=y,则

原式=y2

+3xy+2x2

=(y+2x)(y+x) =(x2

+6x+8)(x2

+5x+8) =(x+2)(x+4)(x2

+5x+8).

都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式. 例9 分解因式:6x4

+7x3

-36x2

-7x+6. 解法1 原式=6(x4

+1)+7x(x2

-1)-36x2

=6[(x4

-2x2

+1)+2x2

]+7x(x2

-1)-36x2

=6[(x2

-1)2+2x2

]+7x(x2

-1)-36x2

=6(x2

-1)2

+7x(x2

-1)-24x2

=[2(x2

-1)-3x][3(x2

-1)+8x] =(2x2

-3x-2)(3x2

+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).

说明 本解法实际上是将x2

-1看作一个整体,但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体. 解法2

原式=x2

[6(t2

+2)+7t-36]

=x2

(6t2

+7t-24)=x2

(2t-3)(3t+8) =x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8] =(2x2

-3x-2)(3x2

+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).

例10 分解因式:(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2

).

分析 本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式. 解 原式=[(x+y)2

-xy]2

-4xy[(x+y)2

-2xy].令x+y=u,xy=v,则 原式=(u2

-v)2

-4v(u2-2v) =u4

-6u2

v+9v2

=(u2

-3v)2

=(x2

+2xy+y2

-3xy)2

=(x2

-xy+y2)2

3

成为数学尖子生的四大要求:认真,踏实,坚持,自律练习

1.分解因式:

(2)x10

+x5

-2;

(4)(x5

+x4

+x3

+x2

+x+1)2

-x5

2.分解因式:

(1)x3

+3x2

-4; (2)x4

-11x2y2

+y2

(3)x3

+9x2

+26x+24; (4)x4

-12x+323.

3.分解因式:

(1)(2x2

-3x+1)2

-22x2

+33x-1; 4

(2)x4

+7x3

+14x2

+7x+1;

(3)(x+y)3

+2xy(1-x-y)-1;

(4)(x+3)(x2

-1)(x+5)-20.

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