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初中数学竞赛专题培训(9):一元二次方程

发布时间:2014-04-05 13:54:55  

初中数学竞赛专题培训 第九讲 一元二次方程

一元二次方程是中学代数的重要内容之一,是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础,其内容非常丰富,本讲主要介绍一元二次方程的基本解法.

方程ax2

+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程.

一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法.

对于方程ax2

+bx+c=0(a≠0),△=b2

-4ac称为该方程的根的判别式.当△>0时,方程有两个不相等的实数根,即

当△=0时,方程有两个相等的实数根,即

当△<0时,方程无实数根.

分析 可以使用公式法直接求解,下面介绍的是采用因式分解法求解.

因为

所以

例2 解关于x的方程:

x2-(p2+q2

)x+pq(p+q)(p-q)=0. 解 用十字相乘法分解因式得 [x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0, 所以x1=p(p-q),x2=q(p+q).

例3 已知方程(2000x)2

-2001×1999x-1=0的较大根为a,方

程x2

+1998x-1999=0的较小根为β,求α-β的值.

解 由方程(2000x)2

-2001×1999x-1=0得

(20002

x+1)(x-1)=0,

(x+1999)(x-1)=0,

故x1=-1999,x2=1,所以β=-1999.所以

α-β=1-(-1999)=2000.

例4 解方程:(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1).

分析 本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1),将方程变

3x-1=4x+1,

所以x=-2,这样就丢掉了x=1这个根.故特别要注意:用含有未知数的整式去除方程两边时,很可能导致方程失根.本题正确的解法如下.

解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0, (x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0, (x-1)(x+2)=0, 所以 x1=1,x2=-2.

例5 解方程:x2

-3|x|-4=0.

分析 本题含有绝对值符号,因此求解方程时,要考虑到绝对值的意义.

1

解法1 显然x≠0.当x>0时,x2

-3x-4=0,所以x1=4,x2=-1(舍去).当x<0时,x2

+3x-4=0,所以x3=-4,x4=1(舍去). 所以原方程的根为x1=4,x2=-4.

解法2 由于x2=|x|2

,所以

|x|2

-3|x|-4=0,

所以 (|x|-4)(|x|+1)=0,

所以 |x|=4,|x|=-1(舍去).

所以 x1=4,x2=-4.

例6 已知二次方程 3x2

-(2a-5)x-3a-1=0

有一个根为2,求另一个根,并确定a的值.

解 由方程根的定义知,当x=2时方程成立,所以 3×22-(2a-5)×2-3a-1=0,

故a=3.原方程为

3x2

-x-10=0,即(x-2)(3x+5)=0,

例7 解关于x的方程:ax2

+c=0(a≠0).

分析 含有字母系数的方程,一般需要对字母的取值范围进行讨论.

当c=0时,x1=x2=0;

当ac>0(即a,c同号时),方程无实数根. 例8 解关于x的方程:

(m-1)x2

+(2m-1)x+m-3=0. 2

分析 讨论m,由于二次项系数含有m,所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程);当m-1≠0时,再分△>0,△=0,△<0三种情况讨论. 解 分类讨论.

(1)当m=1时,原方程变为一元一次方程

x-2=0,

所以x=2.

(2)当m≠1时,原方程为一元二次方程.

△=(2m-1)2

-4(m-1)(m-3)=12m-11.

例9 解关于x的方程: a2

(x2

-x+1)-a(x2

-1)=(a2

-1)x.

解 整理方程得

(a2

-a)x2

-(2a2

-1)x+(a2

+a)=0.

(1)当a2

-a≠0,即a≠0,1时,原方程为一元二次方程,因

式分解后为

[ax-(a+1)][(a-1)x-a]=0,

(2)当a2

-a=0时,原方程为一元一次方程,当a=0时,x=0;当a=1时,x=2.

例10 求k的值,使得两个一元二次方程

x2+kx-1=0,x2

+x+(k-2)=0

有相同的根,并求两个方程的根.

解 不妨设a是这两个方程相同的根,由方程根的定义有 a2

+ka-1=0, ① a2+a+(k-2)=0. ②

①-②有 ka-1-a-(k-2)=0, 即 (k-1)(a-1)=0, 所以k=1,或a=1.

(1)当k=1时,两个方程都变为x2

+x-1=0,所以两个方程有两个相同的根

没有相异的根;

(2)当a=1时,代入①或②都有k=0,此时两个方程变为

x2

-1=0,x2

+x-2=0.

解这两个方程,x2

-1=0的根为x2

1=1,x2=-1;x+x-2=0的根为x1=1,x2=-2.x=1为两个方程的相同的根. 例11 若k为正整数,且关于x的方程

(k2-1)x2

-6(3k-1)x+72=0

有两个不相等的正整数根,求k的值. 解 原方程变形、因式分解为 (k+1)(k-1)x2

-6(3k-1)x+72=0,

[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0,

4,7.所以k=2,3使得x1,x2同时为正整数,但当k=3时,x1=x2=3,

与题目不符,所以,只有k=2为所求.

例12 关于x的一元二次方程x2

-5x=m2

-1有实根a和β,且|α|+|β|≤6,确定m的取值范围.

解 不妨设方程的根α≥β,由求根公式得

|α|+|β|=α+β=5<6,

符合要求,所以m2

≤1.

例13 设a,b,c为△ABC的三边,且二次三项式x2

+2ax+b2

与x2

+2cx-b2

有一次公因式,证明:△ABC一定是直角三角形. 证 因为题目中的两个二次三项式有一次公因式,所以二次方程x2

+2ax+b2

=0与x2

+2cx-b2

=0必有公共根,设公共根为x0 ,则

两式相加得

3

若x0=0,代入①式得b=0,这与b为△ABC的边不符,所以公共根x0=-(a+c).把x0=-(a+c)代入①式得

(a+c)2

-2a(a+c)+bg2=0,

整理得

a2

=b2

+c2

所以△ABC为直角三角形.

例14 有若干个大小相同的球,可将它们摆成正方形或正三角形,摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球,求球的个数.

解 设小球摆成正三角形时,每边有x个球,则摆成正方形时每边有(x-2)个球.此时正三角形共有球

此时正方形共有(x-2)2

个球,所以

即 x2

-9x+8=0, x1=1,x2=8.

因为x-2≥1,所以x1=1不符合题意,舍去.所以x=8,此时共有球(x-2)2=36个.

练 习 九

1.解方程:

(2)20x2+253x+800=0;

(3)x2

+|2x-1|-4=0.

4

2.解下列关于x的方程:

(1)abx2

-(a4

+b4

)x+a3b3

=0;(2)(2x2

-3x-2)a2

+(1-x2

)b2

=ab(1+x2

).

3.若对任何实数a,关于x的方程x2

-2ax-a+2b=0都有实数根,求实数b的取值范围.

4.若方程x2

+ax+b=0和x2

+bx+a=0有一个公共根,求(a+b)2

000

的值.

5.若a,b,c为△ABC的三边,且关于x的方程

4x2

+4(a2

+b2

+c2

)x+3(a2b2

+b2c2

+c2a2

)=0有两个相等的实数根,

试证△ABC是等边三角形.

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