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竞赛学案8

发布时间:2014-04-05 15:49:52  

本溪县高级中学数学竞赛辅导学案8:数列求和的方法

学案8:数列求和的方法

1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 (1)等差数列的求和公式:Sa1?an)n(n?n?

n(2?na?1)

12

d ?na1(q?1)

(2)等比数列的求和公式S?

n??a1(1?qn)??1?q

(q?1)

(切记:公比含字母时一定要讨论)n

2.公式法: ?k2?12?22?32???n2?

n(n?1)(2n?1)

k?1

6

?n

k3?13?23?33???n3

??n(n?1)?2

k?1

??2?? 3.错位相减法:比如?an?等差,?bn?等比,求a1b1?a2b2???anbn的和. 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式:1n(n?1)?1n?1

n?1

1n(n?2)?12(1n?1n?2) 1(2n?1)(2n?1)?12(12n?1?1

2n?1

) n?n!?(n?1)!?n!

5.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。6.合并求和法:如求1002?992?982?972???22?12的和。 7.倒序相加法:

8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等

例1、求和:①Sn?1?11?111???11????

1 n个

②S(x?1x)2?(x2?11

n?x2)2???(xn?xn)2

③求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…前n项和Sn

例2、求和:Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1

例3、求和S2242(2n)2

n?1?3?3?5???

(2n?1)(2n?1)

本溪县高级中学数学竞赛辅导学案8:数列求和的方法

例4、已知数列?an?,an??2[n?(?1)n],求Sn。

【变式】已知f(x)?a2n

1x?a2x???anx,且a1,a2,a3,?an成等差数列,n为正偶数,又f(1)?n2

,f(?1)?n,试比较f(12

)与3的大小。

例5、已知数列{a的通项a?6n?5(n为奇数)

n}n???2

n(n为偶数),求其前n项和Sn.

例6、求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值

例7、在数列{a1n}中,an?n?1?2n?1?????n

n?1,又b2n?a,求数列{bn}的前nn?an?1

项的和.

例8、求和:111

cos0?cos1??cos1?cos2??????cos88?cos89?

本溪县高级中学数学竞赛辅导学案8:数列求和的方法

例9、求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值

【变式】数列{an}:a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an,求S2002.

?

【变式】已知数列{a}:a8

nn?(n?1)(n?3),求?(n?1)(an?an?1)的值.

n?1

【练习1】

1999

已知数列{an}中,a1?1,a2?2,anan?1an?2?an?an?1?an?2,且an?1an?2?1,则S1999??ann?1(1999年河南省高中数学竞赛) 【练习2】设f(x)?

4x4x?2

,那么和式f(

123

10001001)?f(1001)?f(1001

)??+f(

1001)的值等于: 。(1986年全国高中数学联赛)

【练习3】对于每个自然数n,抛物线y?(n2?n)x2?(2n?1)x?1与x轴交于An,Bn两点,以

|AnBn|表示两点间的距离,则|A1B1|?|A2B2|???|A1992B1992|的值是________(1992

年全国

高中数学联赛)

【练习4】 n2(n?4)个正数排成n行n列,

a11a12a13a14?a1n

a21a22a23a24?a2n a31a32a33a34?a3n a41a42a43a44?a4n

……

an1

an2

an3

an4

?ann

其中每一行数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有的公比都有相等,已知

a13

24?1,a42?8,a43?

16

,求S?a11?a22?a33???ann。(1990年全国高中数学联赛)

【练习5】设数列{an}前n项和Sn?2an?1(n?1,2,?),数列{bn}满足:b1?3,

bk?1?ak?bk(k?1,2,?)。求数列{bn}的前n项和。(1996年全国高中数学联赛,第二试

第一题)

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