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# 2012年浙江省高等数学竞赛试题与答案(工科类)

012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题

ab1．求极限limlogx(x?x)。 x???

2．设函数f:R?R可导，且?x,y?R，满足f(x?y)?f(x)?y?xy，求f(x)的表达式。

。 ?xsinxdx（n为正整数）

4．计算??x?ymin?x,2y?dxdy，D为y3．计算 0

D n?2?x与y?x2围成的平面有界闭区域。

3??x?acos?5．求曲线?，(0????)的形心，其中a?0为常数。 3??y?asin?

?2u?u?uu?。 ?x?y?x?y

?(?1)k?1nk?11n1C??。 kk?1kkn

1

xa(?xb?limloxa1、若a?b limloxgxg

x???

x???

x???

?(x1b?

a

?a)?

x???

?ba

lim?loxg(?1a x

abab

x???

2、解：由假设，?y?0，有

f(x?y)?f(x)

?1?x ?f可导?f??(x)?1?x

y

2

?

n?

xsinxdx???

j?1

n

j?j???

xsinxdx???

j?1

n

n

?

?x?j????sinxdx

?n?xsinxdx?2???j?1??n??2n??n?n?1??n2??2n

j?1

?

4、解：D1? D3?原积分?

??

x,y?x?y?

??x,y?x

2

?x?1,D2???x,y?x/2?y?x,0?x?1/2?

?

?y?x,1/2?x?1,D4?

???x,y?x

x

2

?y?x/2,0?x?1/2

?

??(y?x)xdxdy???(x?y)xdxdy???(x?y)xdxdy???

(x?y)ydxdy

D1D2D3D4

??dxy?x)xdy?1dx?2(x?y)xdy??dx1(y?x)xdy??dx?(x?y)2ydy

x

2

x

2x

11x

1201201x2x2

132111111?x?x2?x41?(x4?x5?x6)11?x467885123202

1

20

112?(x4?x6?x7)24621

1

20

?

111111253

?????

24?724?532?24?532?1664?2117920

5、解：xc?

?

L

xds/?ds?0，yc??yds/?ds

L

L

L

??3asin?cos?d? ??2

?

?

L

ds??3asin?cos?d???

?

basin?cos?d??3a

?/20

L

yds??asin3?x3asin?cos?d??6a2?

?

6

sin4?cos?d??a2

5

?xc?0 yc?

2a 5

2

jj111dx???dx j?2 j?1xjx

nnj1 n111???1???1???dx?1??dx?1?lnn j?1x 1xjjj?1j?2j?2n

1n?111n?1j?1111dx???lnn 另一方面???????nj?1jxnnj?1jj?1j

2反之，若uuxy?uxuy成立，即有(uuxy?uxuy)/u?(nux)y?0 u

?ux/u?f1(x) 也即lnu??f1(x)dx?g1(y)?f2(x)?g1(y) ?u?f(x)g(y)

S1?2?33/2ydx?2?

?/3?/309sin2tdt?2?(3sint?(??3t)cost)(3t??)costdt?2??/3?/3

00?/309sin2tdt ?2?0223?(??3t)sintcost?(??3t)cost???dt?2?9sin2tdt

?/3?11?????3(??3t)sin2t?(??3t)2(t?sin2t)????6(??3t)(t?sin2t)?9sin2t?dt 022??0??

?/3?19?11?????3???3t??t2?cos2t???t?sin2t??9?

?t2?cos2t?dt 022?22??0?0???/3?/3?/3

?t31???9??sin2t??34??/30??39 11?3

??所以山羊能吃到草的草地面积S? 9218

(方法二) 山羊能吃到草的草地面积S可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到达的面积S1和 绳子绕向房子时转过?? 其扫过的面积可近似为扇形 ?3?3??2r 2

3

S1???/3

0???3??d???3/9 所以S?11?3/18 nk?11n1?1n1k?1kk?1kkC???(?1)Cntdt??(?1)kCntdt ?00ktk?1k?1kn2五、证明：?(?1)k?1

nn11?(1?t)11?x(1?t)n?1??dt??dt??dx 000tt1?x1

n

k?1k?1

0?ntk?1dt?k?1?11?tn01?tdt

?等式成立 4