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2012年浙江省高等数学竞赛试题与答案(工科类)

发布时间:2014-04-05 15:49:55  

012浙江省高等数学(微积分)竞赛试题

工科类

一计算题:(每小题14分,满分70分)

ab1.求极限limlogx(x?x)。 x???

2.设函数f:R?R可导,且?x,y?R,满足f(x?y)?f(x)?y?xy,求f(x)的表达式。

。 ?xsinxdx(n为正整数)

4.计算??x?ymin?x,2y?dxdy,D为y3.计算 0

D n?2?x与y?x2围成的平面有界闭区域。

3??x?acos?5.求曲线?,(0????)的形心,其中a?0为常数。 3??y?asin?

二、(满分20分) n11证明:?lnn???1?lnn,n???。 ni?1 i

三、(满分20分)

设u:R?R所有二阶偏导连续,证明u可表示为u(x,y)?f(x)g(y)的充分必要条件为2

?2u?u?uu?。 ?x?y?x?y

四、(满分20)

在草地中间有一个底面半径为3米的圆柱形的房子。外墙脚拴一只山羊,已知拴山羊的绳子长为?米,外墙底面半径为3米,求山羊能吃到草的草地面积。

五、(满分20分) 证明

?(?1)k?1nk?11n1C??。 kk?1kkn

1

工科类答案

一、计算题

xa(?xb?limloxa1、若a?b limloxgxg

x???

x???

x???

?(x1b?

a

?a)?

x???

?ba

lim?loxg(?1a x

abab

同理,当a<b时,limlogx(x?x)=b, 所以limlogx(x?x)=max(a,b)

x???

2、解:由假设,?y?0,有

f(x?y)?f(x)

?1?x ?f可导?f??(x)?1?x

y

2

同理f??(x)?1?x?f?(x)?1?x f(x)?x?x/2? c3、解:

?

n?

xsinxdx???

j?1

n

j?j???

xsinxdx???

j?1

n

n

?

?x?j????sinxdx

?n?xsinxdx?2???j?1??n??2n??n?n?1??n2??2n

j?1

?

4、解:D1? D3?原积分?

??

x,y?x?y?

??x,y?x

2

?x?1,D2???x,y?x/2?y?x,0?x?1/2?

?

?y?x,1/2?x?1,D4?

???x,y?x

x

2

?y?x/2,0?x?1/2

?

??(y?x)xdxdy???(x?y)xdxdy???(x?y)xdxdy???

(x?y)ydxdy

D1D2D3D4

??dxy?x)xdy?1dx?2(x?y)xdy??dx1(y?x)xdy??dx?(x?y)2ydy

x

2

x

2x

11x

1201201x2x2

132111111?x?x2?x41?(x4?x5?x6)11?x467885123202

1

20

112?(x4?x6?x7)24621

1

20

?

111111253

?????

24?724?532?24?532?1664?2117920

5、解:xc?

?

L

xds/?ds?0,yc??yds/?ds

L

L

L

而ds?

??3asin?cos?d? ??2

?

?

L

ds??3asin?cos?d???

?

basin?cos?d??3a

?/20

L

yds??asin3?x3asin?cos?d??6a2?

?

6

sin4?cos?d??a2

5

?xc?0 yc?

2a 5

2

二、证明:显然 ?j?1

jj111dx???dx j?2 j?1xjx

nnj1 n111???1???1???dx?1??dx?1?lnn j?1x 1xjjj?1j?2j?2n

1n?111n?1j?1111dx???lnn 另一方面???????nj?1jxnnj?1jj?1j

三、证明:u?f(x)g(y)时,显然有uuxy?uxuy

2反之,若uuxy?uxuy成立,即有(uuxy?uxuy)/u?(nux)y?0 u

?ux/u?f1(x) 也即lnu??f1(x)dx?g1(y)?f2(x)?g1(y) ?u?f(x)g(y)

四、解:(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点,拴羊点在x轴上x?3点,则羊跑最远的曲线在x?3的区域内是渐开线 即 x?3(cost?(?/3?t)sint) y?3(sint?(?/3?t)cost) 记在x?3山羊能吃到草的草地面积为S1

S1?2?33/2ydx?2?

?/3?/309sin2tdt?2?(3sint?(??3t)cost)(3t??)costdt?2??/3?/3

00?/309sin2tdt ?2?0223?(??3t)sintcost?(??3t)cost???dt?2?9sin2tdt

?/3?11?????3(??3t)sin2t?(??3t)2(t?sin2t)????6(??3t)(t?sin2t)?9sin2t?dt 022??0??

?/3?19?11?????3???3t??t2?cos2t???t?sin2t??9?

?t2?cos2t?dt 022?22??0?0???/3?/3?/3

?t31???9??sin2t??34??/30??39 11?3

??所以山羊能吃到草的草地面积S? 9218

(方法二) 山羊能吃到草的草地面积S可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到达的面积S1和 绳子绕向房子时转过?? 其扫过的面积可近似为扇形 ?3?3??2r 2

3

S1???/3

0???3??d???3/9 所以S?11?3/18 nk?11n1?1n1k?1kk?1kkC???(?1)Cntdt??(?1)kCntdt ?00ktk?1k?1kn2五、证明:?(?1)k?1

nn11?(1?t)11?x(1?t)n?1??dt??dt??dx 000tt1?x1

n

而???

k?1k?1

0?ntk?1dt?k?1?11?tn01?tdt

?等式成立 4

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