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竞赛学案9

发布时间:2014-04-05 17:02:07  

本溪县高级中学数学竞赛辅导学案9:三角函数(一)

学案9:三角函数(一)

一、基础知识

【定义1】 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方

向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。

【定义2】 角度制,把一周角360等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L,则其弧度数的绝对

值|α|=L

r

,其中r是圆的半径。

【定义3】 三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设它的坐标为(x,y),到原点的距

离为r,则正弦函数sinα=yr,余弦函数cosα=xy

r,正切函数tanα=x

,余切函数cotα

=xy,正割函数secα=r

rx

,余割函数cscα=y. 【定理1】 同角三角函数的基本关系式:

倒数关系:__________________________;商数关系:___________________________;平方关系:_____________________________

【定理2】 诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)。

【定理3】 正弦函数的性质

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【定理4】 余弦函数的性质

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

【定理5】 正切函数的性质:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【定理6】 两角和与差的基本关系式:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【定理7】 和差化积与积化和差公式:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【定理8】 倍角公式:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【定理9】 半角公式:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【定理10】 万能公式:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【定理11】 辅助角公式:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【定理12】正弦定理:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【定理13】 余弦定理:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【定理14】 图象之间的关系:y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象;经左右

平移得y=sin(x+?)的图象(相位变换);纵坐标不变,横坐标变为原来的1

?

,得到

本溪县高级中学数学竞赛辅导学案9:三角函数(一)

y=sin?x(??0)的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(?x+?)(?>0)的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(?x+?)(?, ?>0)(|A|叫作

?

振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asin?x的图象。

?

??????x?【定义4】 函数y=sinx?记作y=arcsinx(x∈[-1, ??的反函数叫反正弦函数,??,??

?cos???cos???

???【变式】 已知α,β为锐角,且x·(α+β-)>0,求证:???2. ??2?sin???sin??

x

x

?

?22??1]),函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数,记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx????

x?????????

2,2?????的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数,记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).

定理15 三角方程的解集,如果a∈(-1,1),方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kx?arccosa, k∈Z}. 如果a∈R,方程tanx=a的解

集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式:arcsina+arccosa=??

2;arctana+arccota=2

. 定理16 若x????0,??

2??

,则sinx<x<tanx. 二、方法与例题

【题型一、结合图象解题】

例、求方程sinx=lg|x|的解的个数。

【题型二、三角函数性质的应用】

例、设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。

【题型三、最小正周期的确定】 例、求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。

【题型四、三角最值问题】

例、已知函数y=sinx+?cos2

x,求函数的最大值与最小值。

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【变式1】设0<?<π,求sin?

2

(1?cos?)的最大值。

【变式2】若A,B,C为△ABC三个内角,试求sinA+sinB+sinC的最大值。

【变式3】求y?sinxcosx

1?sinx?cosx

的值域。

【变式4】已知a?an?12?10=1, an=a(n∈N+),求证:an>

?

n?1

2n?2

.

【题型五、图象变换】

例、已知f(x)=sin(?x+?)(?>0, 0≤?≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M??3??

?4,0?

?

对称,且在区间???0,??

2??

上是单调函数,求?和?的值。

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【题型六、三角公式的应用】

例、已知sin(α-β)=513,sin(α+β)=- 513,且α-β∈?????3??

?2,???,α+β∈??2,2???

求sin2α,cos2β的值。

【变式1】已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且1cosA?1cosC??2

cosB

,试求cosA?C

2的值。

【变式2】求证:tan20?+4cos70?.

【解】 tan20?+4cos70?=sin20?cos20

?

+4sin20?

?sin20??4sin20?cos20?sin20??2sin40?

cos20??

cos20?

?sin20??sin40??sin40?2sin30?cos10??sincos20??40?

cos20

?

sin80??sin40?2sin60?coscos20??20??cos20?

?.

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