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因式分解(竞赛题)含答案

发布时间:2014-04-06 13:00:53  

因式分解

一、导入: 有两个人相约到山上去寻找精美的石头,甲背了满满的一筐,乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。甲就笑乙:“你为什么只挑一个啊?”乙说:“漂亮的石头虽然多,但我只选一个最精美的就够了。”甲笑而不语,下山的路上,甲感到负担越来越重,最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下,到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!

启示:人生中会有许多的东西,值得留恋,有的时候你应该学会去放弃。

二、知识点回顾:

1.运用公式法

在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:

(1)a-b=(a+b)(a-b);

(2)a±2ab+b=(a±b);

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b);

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b).

下面再补充几个常用的公式:

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c);

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca);

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+?+ab+b)其中n为正整数;

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-?+ab-b),其中n为偶数;

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-?-ab+b),其中n为奇数.

运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.

三、专题讲解

nnn-1n-2n-32n-2n-1nnn-1n-2n-32n-2n-1nnn-1n-2n-32n-2n-133322222223322332222222例1 分解因式:

(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz;

解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)

=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]

=-2xn-1yn(x2n-y2)2

=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2.

(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).

例2 分解因式:a+b+c-3abc.

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6).

333

分析 我们已经知道公式

(a+b)=a+3ab+3ab+b

的正确性,现将此公式变形为

a+b=(a+b)-3ab(a+b).

这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导.

解 原式=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc

=[(a+b)3+c]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[(a+b)-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca).

说明 公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:我们将公式(6)变形为 a+b+c-3abc

3333332222233333333223 333333 显然,当a+b+c=0时,则a+b+c=3abc;当a+b+c>0时,则a+b+c-3abc≥0,即a+b+c≥3abc,

而且,当且仅当a=b=c时,等号成立.

如果令x=a≥0,y=b≥0,z=c≥0,则有

等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.

※※变式练习

1分解因式:x+x+x+?+x+x+1.

分析 这个多项式的特点是:有16项,从最高次项x开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式a-b来分解.

解 因为

x-1=(x-1)(x+x+x+?x+x+1),

所以

161514132nn151514132333

说明 在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用.

2.拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵

消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.

例3 分解因式:x-9x+8.

分析 本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧.

解法1 将常数项8拆成-1+9.

原式=x-9x-1+9

=(x-1)-9x+9

=(x-1)(x+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x+x-8).

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x.

原式=x-x-8x+8

=(x-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x+x-8).

解法3 将三次项x拆成9x-8x.

原式=9x-8x-9x+8

=(9x-9x)+(-8x+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x+x+1)

=(x-1)(x+x-8).

解法4 添加两项-x+x.

原式=x-9x+8

=x-x+x-9x+8

=x(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x+x-8).

说明 由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种. ※※变式练习

1分解因式:

(1)x+x+x-3;

(2)(m-1)(n-1)+4mn;

(3)(x+1)+(x-1)+(x-1);

(4)ab-ab+a+b+1.

解 (1)将-3拆成-1-1-1. 33224224229632232232222333333323322333

原式=x+x+x-1-1-1

=(x-1)+(x-1)+(x-1)

=(x-1)(x+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)

=(x-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x+x+1)(x+2x+3).

(2)将4mn拆成2mn+2mn.

原式=(m-1)(n-1)+2mn+2mn

=mn-m-n+1+2mn+2mn

=(mn+2mn+1)-(m-2mn+n)

=(mn+1)-(m-n)

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1).

(3)将(x-1)拆成2(x-1)-(x-1).

原式=(x+1)+2(x-1)-(x-1)+(x-1)

=[(x+1)+2(x+1)(x-1)+(x-1)]-(x-1)

=[(x+1)+(x-1)]-(x-1)

=(2x+2)-(x-1)=(3x+1)(x+3).

(4)添加两项+ab-ab.

原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab

=(ab-ab)+(a-ab)+(ab+b+1)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1)

=a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b+1)

=[a(a-b)+1](ab+b+1)

=(a-ab+1)(b+ab+1).

说明 (4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到

拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验.

3.换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰.

例4 分解因式:(x+x+1)(x+x+2)-12.

分析 将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难.我们不妨将x+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了.

解 设x+x=y,则

原式=(y+1)(y+2)-12=y+3y-10

222222222233223322222222222224224224222242222222222222222222633363333963963

=(y-2)(y+5)=(x+x-2)(x+x+5)

=(x-1)(x+2)(x+x+5).

说明 本题也可将x+x+1看作一个整体,比如今x+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试.

例5 分解因式:

(x+3x+2)(4x+8x+3)-90.

分析 先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合.

解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90

=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90

=(2x+5x+3)(2x+5x+2)-90.

令y=2x+5x+2,则

原式=y(y+1)-90=y+y-90

=(y+10)(y-9)

=(2x+5x+12)(2x+5x-7)

=(2x+5x+12)(2x+7)(x-1).

说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础.

※※变式练习

1.分解因式:

(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x.

解 设x+4x+8=y,则

原式=y+3xy+2x=(y+2x)(y+x)

=(x+6x+8)(x+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x+5x+8).

说明 由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式.

1.双十字相乘法

分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax+bxy+cy+dx+ey+f),我们也

可以用十字相乘法分解因式.

例如,分解因式2x-7xy-22y-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变

形为

2x-(5+7y)x-(22y-35y+3),

可以看作是关于x的二次三项式.

对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为 22222222222222222222222222222

即:-22y+35y-3=(2y-3)(-11y+1).

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

2

所以,原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]

=(x+2y-3)(2x-11y+1).

上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得

到下图:

它表示的是下面三个关系式:

(x+2y)(2x-11y)=2x-7xy-22y;

(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;

2(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3.

这就是所谓的双十字相乘法.

用双十字相乘法对多项式ax+bxy+cy+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:

(1)用十字相乘法分解ax+bxy+cy,得到一个十字相乘图(有两列);

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式

中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.

例1 分解因式:

(1)x-3xy-10y+x+9y-2;

(2)x-y+5x+3y+4;

(3)xy+y+x-y-2;

(4)6x-7xy-3y-xz+7yz-2z.

解 (1)

原式=(x-5y+2)(x+2y-1).

(2) 22222222222222

原式=(x+y+1)(x-y+4).

(3)原式中缺x项,可把这一项的系数看成0来分解.

2

原式=(y+1)(x+y-2).

(4)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).

说明 (4)中有三个字母,解法仍与前面的类似.

2.求根法

我们把形如anx+an-1x+?+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),

g(x),?等记号表示,如

f(x)=x-3x+2,g(x)=x+x+6,?,

当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)

f(1)=1-3×1+2=0;

f(-2)=(-2)-3×(-2)+2=12.

若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.

定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a. 根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x)

要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根. 22252nn-1

定理2

的根,则必有p是a0的约数,q是an的约数.特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为

an的约数.

我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解. 例2 分解因式:x-4x+6x-4.

分析 这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验-4的约数:±1,±2,

±4,只有

f(2)=2-4×2+6×2-4=0, 3232

即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x-2.

解法1 用分组分解法,使每组都有因式(x-2).

原式=(x-2x)-(2x-4x)+(2x-4)

=x(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)

=(x-2)(x-2x+2).

解法2 用多项式除法,将原式除以(x-2),

22322

所以

原式=(x-2)(x-2x+2).

说明 在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数不

一定是多项式的根.因此,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.

※※变式练习

432 1. 分解因式:9x-3x+7x-3x-2.

分析 因为9的约数有±1,±3,±9;-2的约数有±1

,±2

为:

所以,原式有因式9x-3x-2.

解 9x-3x+7x-3x-2

=9x-3x-2x+9x-3x-2

=x(9x-3x-2)+9x-3x-2

=(9x-3x-2)(x+1)

=(3x+1)(3x-2)(x+1)

说明 若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式

22223243224322

可以化为9x-3x-2,这样可以简化分解过程. 2

总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x),

而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了.

3.待定系数法

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用.

在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数

尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法.

例3 分解因式:x+3xy+2y+4x+5y+3.

分析 由于

(x+3xy+2y)=(x+2y)(x+y),

若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可

求出m和n,使问题得到解决.

解 设

x+3xy+2y+4x+5y+3

=(x+2y+m)(x+y+n)

=x+3xy+2y+(m+n)x+(m+2n)y+mn,

比较两边对应项的系数,则有

22222222

解之得m=3,n=1.所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1).

说明 本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下.

※※变式练习

432 1.分解因式:x-2x-27x-44x+7.

分析 本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7

的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式.如果原式能分解,只能分解为(x+ax+b)(x+cx+d)的形式.

解 设

原式=(x+ax+b)(x+cx+d)

=x+(a+c)x+(b+d+ac)x+(ad+bc)x+bd,

所以有 4322222

由bd=7,先考虑b=1,d=7有

所以

原式=(x-7x+1)(x+5x+7).

说明 由于因式分解的唯一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=1,d=7代入方程

组后,无法确定a,c的值,就必须将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止. 22

本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法,使我们找到了

二次因式.由此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地.

四、巩固练习:

1. 分解因式:(x+xy+y)-4xy(x+y).

分析 本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式.

解 原式=[(x+y)-xy]-4xy[(x+y)-2xy].令x+y=u,xy=v,则

原式=(u-v)-4v(u-2v)

=u-6uv+9v

=(u-3v)

=(x+2xy+y-3xy)

=(x2-xy+y2)2.

五、反思总结 222224222222222222

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