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1993年—2011年上海市初中数学竞赛(新知杯试题含答案)

发布时间:2014-04-07 17:49:51  

2011年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷

一、 填空题(每题10分,共80分)

1. 已知关于x的两个方程:x2

?x?3m?0??①,x2

?x?m?0??②,其中m?0。若方程①中有一个根是

方程②的某个根的3倍,则实数m的值是___________。

2. 已知梯形ABCD中,AB//CD,?ABC?90?,BD?AD,BC?5,BD?13,则梯形ABCD的面积为

_______________。

3. 从编号分别为1,2,3,4,5,6的6张卡片中任意抽取3张,则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为

______________。

4. 将8个数?7,?5,?3,?2,2,4,6,13排列为a,b,c,d,e,f,g,h,使得

?a?b?c?d?2??e?f?g?h?2

的值最小,则这个最小值为____________。

5. 已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是边AB,BC上的点,使得AE?3,BF?2,线段AF与DE相

交于点G,则四边形DGFC的面积为_____________。

6. 在等腰直角三角形ABC中,?ACB?90?,P是?ABC内一点,使得PA?11,PB?7,PC?6,则边AC

的长为______________。

7. 有10名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场),规定获胜得2分,平局得1分,负得0分。比赛结束后,

发现每名选手的得分各不相同,且第2名的得分是最后五名选手的得分和的

4

5

,则第2名选手的得分是_________。8. 已知a,b,c,d都是质数(质数即素数,允许a,b,c,d有相同的情况),且abcd是35个连续正整数的和,

则a?b?c?d的最小值为_________。

二、 解答题(第9,10题,每题15分,第11,12题,每题20分,共70分) 9. 如图,矩形ABCD的对角线交点为O,已知?DAC?60?,角DAC的平分线与边DC交于点S,直线OS与AD

相交于点L,直线BL与AC相交于点M。求证:SM//LC。 解

L

D

C

A

10. 对于正整数n,记n!?1?2???n。求所有的正整数组?a,b,c,d,e,f?,使得a!?b!?c!?d!?e!?f!,且

a?b?c?d?e?f。

11. (1)证明:存在整数x,y,满足x2

?4xy?y2

?2022;

(2)问:是否存在整数x,y,满足x2

?4xy?y2

?2011?证明你的结论。 解

12. 对每一个大于1的整数n,设它的所有不同的质因数为p1,p2,...,pk,对于每个pi?1?i?k?,存在正整数ai,

使得pii?n?pi

记p?n??p1a1aai?1, ?p2a2???pkk例如,p?100??26?52?89。 a

(1)试找出一个正整数n,使得p?n??n;

(2)证明:存在无穷多个正整数n,使得p?n??1.1n。 解

附:历届新知杯试题下载地址:

2001暂缺

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