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2014年全国初中数学联合竞赛试题

发布时间:2014-04-07 17:49:55  

2014年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

(本卷由蕲春县思源学校李先传老师提供影印件,由石老师录入电脑)

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

11112111. 已知x, y为整数,且满足(?)(?则x+y的可能的值有( ))??(?),xyx2y23x4y4

A.1 B.2 C.3 D.4

2.已知非负实数x,y,z满足x?y?z?1,则t?2xy?yz?2zx的最大值为( )

A.(3月23日上午8:30——9:30) 12459 B. C. D. 257916

3.在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,BE⊥AC于E,交AD于P,已知BP=3,PE=1.则AE=( )

A. B.2 C. D.6 2

4.6张不同的卡片上分别写有数字2,2,4,4,6,6,从中取出3张,则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是( )

A.1223 B. C. D. 2534

35.设?t?表示不超过实数t的最大整数,令??t?t??t?,已知实数x满足x?1?18,则3x

1??x??????( ) ?x?

A.11 B.3? C.(3?5) D.1 22

6.在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=1,D在BC上,E在AB上,使得△ADE为等腰直角三角形,∠ADE=90°,则BE=( )

A.4?2 B.2? C.1(?1) D.?1 2

111则a bc? .???1,a?b?cb?c?ac?a?b二、填空题(本题满分28分,每小题7分) 1. 已知实数a,b,c满足a?b?c?12. 使得不等式9n8??对唯一的整数k成立的最大正整数n为 . 17n?k15

3.已知P为等腰△ABC内一点,AB=BC,∠BPC=108°,D为AC的中点,BD与PC交于E,如果P为△ABC内心,则∠PAC =

4.已知正整数a,b,c满足:1?a?b?c,a?b?c?111,b?ac,则b? .

2

第二试

(3月23日上午9:50——11:20)

一、(本题满分20分)设实数a,b满足a2(b2?1)?b(b?2a)?40,a(b?1)?b?8,求11的值. ?22ab

二、(本题满分20分)如图,在□ABCD中,E为对角线BD上一点,且满足∠ECD=∠ACB, AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F,证明:∠DFE=∠AFB.

三、(本题满分25分)设n是整数,如果存在整数x,y,z满足n?x?y?z?3xyz,则称n具有性质P.在1,5,2013,2014这四个数中,哪些数具有性质P,哪些数不具有性质P?并说明理由.

333

2014年全国初中数学联合竞赛试题

1111211113

(?)(2?2)??(4?4)????y?xyx3xyx2yy

22

3?

x

?x??1,?2

????(x,y)?(?1,2),(?2,1) ?(x,y)?(1,0.4),(?1,2),(2,0.5),(?2,1)?取整数解

?x?y?1,?1

y?z?1?x

2. 【分析】x?y?z?1?y?z?1?x,t?2xy?yz?2zx?????yz?t?2x?2x2

316?28t(y?z)2?(y?z)2?4yz?(1?x)2?4(t?2x?2x2)??7(x?)2?

77

?

3216?28t34

?7(x?)2?0?t?,此时x?,代入可得y?z?

77777

3. 【分析】

易知?BEC∽?BDP?

BPBDBPBD3BD

??????BD?6?CD,BC?2 BCBE2BDBE2BD4CE?BC2?BE2?24?16?22,PD?BP2?BD2??6?3

tan?BPD?

BD

?PD

63

?

AEAE

??tan?APE?AE?2 1PE

A

EP

3

B

D

C

1

4. 【分析】枚举所有结果,单边计数,是(2,2,4),(2,2,6),(2,4,4),(2,4,6),(2,6,6)共5种,其中能够成三角形只有(2,4,4),(2,6,6)两种,故其概率为P?

2

5

5. 【分析】x3?1?121121?(x?)(x?)?3?18 ?18?(x?)(x?1?)?32??x?xxxx?令x?1322则p?3p?18?0?(p?3)(p?3p?6)?0,p?3p?6?0,p?3,?p,x

13?53?53?1?3?x2?3x?1?0?x??, ,??3 ,0?x22222

23?53?3?5?1?3?5?2?时,?x???????2??1; x22223?5??

23?3?53??1?3?5??2???2?1; 时,?x?????22223??x?

BC?BC?a?1?a?, ACB3a即x?ⅰ)当x?ⅱ)当x?6. 【分析】作EF⊥BC于F,易知△DEF≌△ADC,DF=AC=1,EF=CD=a, 又可知BF?3a,在Rt△ABC中,tan60??

EF

1?a?2?3,在Rt△BEF中,

BE?2EF?2a?2(2?)?4?2

1. 【分析】 a?b?c?1,Da

A1111111???1????1 a?b?cb?c?ac?a?b1?2c1?2a1?2bC

?(1?2a)(1?2b)?(1?2c)(1?2b)?(1?2c)(1?2a)?1 (1?2a)(1?2b)(1?2c)

?3?4(a?b?c)?4(ab?bc?ca)?1?2(a?b?c)?4(ab?bc?ca)?8abc

?b?c?1?a????8abc?0?abc?0

2. 【分析】

故 9n878???n?k?n,因给定的n且k唯一, 17n?k15898n7n,此时k?127 ??2?n?14498

7k863k64分子分母再放大??????????? 8n972n72其实本题是填空,可以等比放大,天马行空,

126k128???k?127,n?144 144n144

3. 【分析】至今无解,

?

B

222C 224. 【分析】?(a?c)?(a?c)?4ac?(111?b)?4b?0 b?ac,a?c?111?b,

?b?37,1?a?b?c,3a?a?b?c?3c?3a?111?3c?a?37,b?37,本人在D:\Documents\Desktop\填空题第4题.xls中调用函数进行筛选处理,最终得到

(a,b,c)?(27,36,48),之前各种方法试尽,无果,实在无奈,更痛苦的是找不到本题考点;

一、【分析】a2(b2?1)?b(b?2a)?40?a2b2?(a?b)2?40,

a(b?1)?b?8?ab?(a?b)?8.

?a?b?2?a?b?6,或 ???ab?6?ab?2

①若??a?b?22,则a,b是一元二次方程x?2x?6?0的两根,??0,不符; ?ab?6

?a?b?62②若?则a,b是一元二次方程x?6x?2?0的两根, ??0,故 ?ab?2

11(a?b)2?2ab36?4?2???8 224ab(ab)

二、【证明】∵□ABCD

∴∠ACB=∠DAF

∵∠ECD=∠ACB

∴∠ECD=∠ACB=∠DAF

∵A、B、F、 D四点共圆

∴∠BDC=∠ABD=∠DFA ∴△ECD∽△DAF DECDAB ??DFAFAF

∵∠EDF=∠BDF=∠BAF

∴△EDF∽△BAF

∴∠DFE=∠AFB ∴

三.【分析】∵1?0?0?3?1?0?0?1,此时x=1,y=0,z=0,∴1具有性质P.

∵2?2?1?3?2?2?1?5,此时x=2,y=2,z=1,∴5具有性质P. 333333

x3?y3?z3?3xyz?(x?y)3?z3?3xy(x?y)?3xyz

?(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx)

1(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx) 2

1?(x?y?z)(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2 2???

不失一般性,令x?y?z?0,并记

f(x,y,z)?x3?y3?z3?3xyz?1(x?y?z)(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2, 2??

ⅰ)若(x?y,y?z,x?z)?(1,0,1),即x?z?1,y?z,则f(x,y,z)?3z?1; ⅱ)若(x?y,y?z,x?z)?(0,1,1),即x?y?z?1 ,则f(x,y,z)?3z?2;

ⅲ)若(x?y,y?z,x?z)?(1,1,2),即x?z?2,y?z?1 ,则f(x,y,z)?9z?9; 综上所述,形如3k?1或3k?2或9k(k?N)的数都具有性质P.

所以1,5和2014都具有性质P;但2013?223?9?6?3k?9k,所以2013不具有性质P.

本题有相当难度,是数论上的问题

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