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2014年全国初中数学联合竞赛(初二组)决赛题及参考解答及评分细则

发布时间:2014-04-07 17:50:00  

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2014年全国初中数学联合竞赛(初二组)决赛

试题参考答案及评分标准

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1、C 2、D 3、B 4、B 5、A 6、C

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1、?9 2、1 3、15 4、3 5

三、(本大题满分20分)

如图,已知凸四边形ABCD中,?ABC??ADC?180?,AC平分?BAD,过C作AB的垂线交AB于E. 求证:AE?1(AB?AD). 2

证明:如图,作B、E关于AC的对称点E’、B’,连接EB’,……………………5分 因为AC为?BAD的平分线,

故E?,B?在AD的延长线上,且?CBE??CB'E',……(10分)

故?CB'D??ABC?180??ADC??CDB'

所以CB'?CD,(15分)

又CE'⊥DB',故BE?B'E'?DE', 所以AE?AE???B'

11(AE?AE?)?(AB?AD)(20分) 22四、(本大题满分25分)

1已知三个一次函数y?x?1、y?1?x和y?x?b, 2

(1)若这三个函数图像能够围成三角形,求实数b的取值范围;

(2)若这三个函数图像所围成的三角形面积为4时,求实数b的值. 3

解:(1)设直线l1:y?x?1与l2:y?1?x交于点P(0,1),(5分)

只有当直线l3:y?1x?b过P(0,1)时,三直线不能构成三角形,此时b?1, 2

故当b?1时,三直线围成三角形. (10分)

?y?x?1?x1?2b?2?(2)联立?解得; ?1y?x?b?y1?2b?1?2?

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即直线l1,l3的交点A(2b?2,2b?1) 22?x??b??y?1?x??2?33联立?解得?, 121y?x?b??y?b?2?2?33?

2221,b?) (15分) 3333

则三直线围成的三角形为?ABP, 1其面积S?ABP?|x1?x2|?|1?b| 2

122442 ?|(?b?)?(2b?2)|?|1?b|?(1?b)? (20分) 23333即直线l2,l3的交点B(?b?

故(1?b)?1,则1?b?1或者1?b??1

解得b?0,或者b?2.

所以,所求的实数b?0,或者b?2. (25分)

五、(本题满分25分)设不全相等的非零实数a,b,c满足2bcacab???1,求a?b?c的值. 2222a?bc2b?ac2c?ab

解 由bcacab???1得2a2?bc2b2?ac2c2?ab

1

2a?1bc2?12b?1ac2?12c?1ab2?1.…………………………5分 2a22b22c2

设x?,y?,z?,则xyz?8,且bcabac

111???1,…………………10分 x?1y?1z?1

通分即得(y?1)(z?1)?(x?1)(z?1)?(x?1)(y?1)?(x?1)(y?1)(z?1), 展开后整理得xyz?x?y?z?2,所以x?y?z?6. …………………15分 2a22b22c2

???6,所以a3?b3?c3?3abc,分解因式得 即bcacab

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(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]?0.……………………………………20分 又a,b,c不全相等,所以(a?b)?(b?c)?(c?a)?0,故a?b?c?0.……25分 222

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